抛物线知识点全面总结及经典例题

2.4.1抛物线及其标准方程3、实际生活中如探照灯的轴截面、桥梁的拱形、喷泉的纵截面都是抛物线。我们在哪些地方见过或研究过抛物线？1、初中时我们学过二次函数，它的图象是抛物线；2、物理中研究的平抛运动和斜抛运动的轨迹是抛物线或抛物线的一部分，如投篮时篮球的运动轨迹；知识回顾赵州桥复习回顾：我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线距离的比是常数e的点的轨迹.·MFl0＜e＜1(2)当e＞1时，是双曲线;(1)当0e1时,是椭圆;(其中定点不在定直线上)lF·Me＞1那么,当e=1时，它又是什么曲线？·FMl·e=1电脑演示,||||,.MKMFMKMFl点随着运动的过程中始终有即点到定点的距离与它到定直线的距离相等平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点。定直线l叫做抛物线的准线。定义:的轨迹是抛物线。则点若MMNMF,1即:︳︳︳︳··FMlN1.平面上到定点(1,1)A和到定直线:23lxy距离相等的点的轨迹为()(A)直线(B)抛物线(C)双曲线(D)椭圆A求标准方程··FMlN如何建立直角坐标系？想一想设︱KF︱=p则F（，0），l：x=-p2p2设动点M的坐标为（x，y），由定义可知，2)2(22pxypx化简得y2=2px（p＞0）xyo··FMlNK过F做直线FK垂直于直线l，垂足为K。以直线KF为x轴，线段KF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy。方程y2=2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程。其中p为正常数，它的几何意义是:焦点到准线的距离,0,,22ppFx其中焦点准线方程为开口向右对“标准”的理解一般地，我们把顶点在原点、焦点F在坐标轴上的抛物线的方程叫做抛物线的标准方程.但是，一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.yKFMN··oxFMlN··y2=2px（p＞0）图形标准方程焦点坐标准线方程填表：抛物线标准方程的四种不同形式xyolFxyolFxyolFxyolFy2=－2px(p0)x2=－2py(p0)x2=2py(p0)y2=2px(p0)P2(,0)P2x=－P2(－,0)P2x=P2(0,)P2y=－P2(0,－)P2y=26yx例1(1)已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程；26yx（2）已知抛物线的方程是，求它的焦点坐标和准线方程；(3)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)，求它的标准方程．３、例题讲解：3(,0)232x解：（1）因为焦点在x轴的正半轴上，p=3，所以焦点坐标是，准线方程是.216xy112p1(0,)24124y（2）因为抛物线的标准方程，焦点在y轴的正半轴上，，所以焦点坐标是，准线方程是是.22p28xy（3）因为焦点在y轴的负半轴上，并且，p=4,所以所求抛物线的标准方程是．练习1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：2(1)20;yx2(2)2;yx2(3)250;yx2(4)160.xy.练习2根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)焦点是F(0,-2)；(2)准线方程是；1y(3)焦点到准线的距离是2.(5,0),5x11(0,),88y55(,0),88x(0,4),4y28xy24xy22224,4,4,4yxyxxyxy①求抛物线的焦点时一定要先把抛物线化为标准形式；本题小结:②先定位，后定量。(2)抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是___________；212yx例2(1)抛物线22ypx上一点M到焦点的距离是()2paa,则点M到准线的距离是________,点M的横坐标是_____.a2pa(6,62)如图,M点是抛物线上一点,F是抛物线的焦点,以Fx为始边,FM为终边的角,求.24yx60oxFMFMMFOxy练习34例3.点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.20?,.yaxa二次函数的图像为什么是抛物线指出它的焦点坐标准线方程2.4.2抛物线的简单几何性质yox)0,2(pFP(x,y)一、抛物线的几何性质抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。1、范围由抛物线y2=2px（p0）220pxy而0p0x所以抛物线的范围为0x(,)xy关于x轴对称(,)xy由于点也满足，故抛物线(p0)关于x轴对称.(,)xyy2=2pxy2=2px2、对称性yox)0,2(pFP(x,y)定义：抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线的顶点。yox)0,2(pFP(x,y)由y2=2px（p0）当y=0时,x=0,因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。３、顶点4、离心率yox)0,2(pFP(x,y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.yox)0,2(pFP(x,y)4321-1-2-3-4-5-2246810y2=xy2=xy2=2xy2=4x21xyOFABy2=2px2p过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.pp,2pp,2|AB|=2p通径5、2p越大，抛物线张口越大.（二）归纳：抛物线的几何性质图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px2px2py2pyx≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴1例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），求它的标准方程。22变式:顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，并且经过点M（２，），抛物线的标准方程。22例2：已知抛物线的方程为y2=4x,直线l经过点P(-2,1),斜率为k.当k为何值时,直线与抛物线:只有一个公共点;有两个公共点:没有公共点.练1:已知直线过点(0,-2)且与x2=2y恰有一个公共点,求直线方程判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一）把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行（重合）相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离例3：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。1.点A的坐标为(3，1)，若P是抛物线上的一动点，F是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为()(A)3(B)4(C)5(D)624yx例4：已知过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被Q平分,求弦AB所在的直线方程.例6：求抛物线y2=64x上的点到直线4x+3y+46=0的距离的最小值,并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标.例5：已知抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,若x1x2=-1/2,则m的值为________22xy1.已知过抛物线y2=9x的焦点的弦长为12,则弦所在直线的倾斜角是______例7、过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。,22pxyx物线的方程为建立直角坐标系。设抛轴，它的顶点为原点，轴为证明：以抛物线的对称,2),,2(0020xypyOAypyA的方程为则直线的坐标为点2px抛物线的准线是.02ypyD的纵坐标为联立可得点.222),0,2(200ppypxyyAFpF方程为的所以直线的坐标是因为点.02ypyB的纵坐标为联立可得点轴。所以xDB//xyOFABD例8、已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点。（1）是否为定值？呢？（2）是否为定值？22(0)ypxp1122(,)(,)AxyBxy、12xx12yy11||||FAFBxOyFA),(11yxB),(22yx这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.由此可得|y1|=|y2|,，即线段AB关于x轴对称。因为x轴垂直于AB，且，30AOX例9、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个三角形的边长。22(0)ypxp解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则又|OA|=|OB|，所以x12+y12=x22+y22即x12-x22+2px1-2px2=0,(X12-x22)+2p(x1-x2)=0,yxo2112,ypx2222ypxAB(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.X10，X20，2p0,X1=X2.所以113tan303yx211,2yxp1123,||243.ypAByp(x1,y1)(x2,y2)例10.AB、是抛物线22(0)ypxp上的两点,满足OAOB(O为坐标原点).求证:⑴AB、两点的横坐标之积,纵坐标之积分别为定值;⑵直线AB经过一个定点.例11.已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点的纵坐标的最小值。xoyFABMCND解：),(),(),,(2211yxMAByxByxA中点设,2BCADMN,412yypMNBFBCAFAD,)41(2yBFAF2ABBFAF43,2)41(2yy即)41(2yBCAD解：设AB的方程为y=x+b,例12.已知正方形ABCD的一边CD在直线4yx上,顶点AB、在抛物线2yx上,求正方形的边长.由2yxbyx消去x得y2-y+b=0，设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=1,y1y2=b,∴211ABk21112()4yyyy=28b，又AB与CD的距离d=42b,由ABCD为正方形有28b=42b,解得b=-2或b=-6.∴正方形的边长为32或52.