2014年长沙市初中数学学用杯决赛试题

2014年长沙市初中数学“学用杯”数学应用与创新能力大赛初三决赛试题（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）1.设二次函数y=f（x）=ax2＋2ax＋1的图像开口向下，且满足：f（f（1））=f（2），则a的值是（）A.-3B.13C.-35D.-532.若一个六位数a2014b能够被12整除，则这样的六位数的个数为（）A.2B.4C.6D.83.设a=7-1，则表达式3a4＋6a3＋36a-100的值为（）A.8B.10C.12D.164.长度分别13，5，210为三角形的面积为（）A.15B.1C.10D.95.如图1，在△ABC中，已知点M为AB的中点，点N在BC上，且CN=3BN，联接AN交MC于点O，若四边形BNOM的面积为5，则△ABC的面积为（）A.26B.28C.30D.32OABCABCHONM图1图2二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6.已知a＋b＋c=3，a2＋b2＋c2=3，则a2014＋b2014＋c2014=7.如图2，在锐角△ABC中，AB＞AC,点O，H分别为此三角形的外心与垂心。令∠B=，∠C=，则用，表示∠OAH为8.将两枚骰子同时掷两次，若第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y，则由x，y所确定的点M（x，y）在曲线y=12x上的概率为9.设x，y为任意实数，则代数式221+x＋224x-8xy+4y+1＋24y-8y+13的最小值为10.将2020写成k个互不相等的质数的平方和，且使最小，则2020=（表示为k个互不相等的质数的平方和）三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11.在二次函数y=ax2＋bx＋c中，a为整数，a＋b＋c≥1，c≥1，且方程ax2＋bx＋c=0有两个小于1的不相等正数根，求a的最小值12.设N=13＋23＋33＋…＋20133＋20143，试问N能否被1007×2015整除？并证明你的结论。13.有三堆小石子的粒数分别为23，3，16，现进行如下的操作：每次从三堆中的任意一堆中石子中取出2粒石子，再加到另两堆中，一堆一粒。问能否经过若干次这样的操作，使得：（1）三堆小石子的粒数分别为21，10，11；（2）三堆小石子的粒数分别为14，14，14。如能够满足要求，请用最小的操作次数完成，并给出具体过程；如不能满足要求，请你说明理由。14.如图3，PA,PB是⊙O的两条切线，PCD是⊙O的一条割线，交⊙O于点C，D，CD与AB交于点Q（1）若AC=3，BD=5，BC=4，求AD的长度（2）比较PC×QD与PD×CQ的大小关系，并写出推理过程。QCOPDAB