二次根式拔高训练题(学生)

-1-二次根式例1．已知a=2+1，b=121，则a与b的关系是（）A．a=bB．ab=1C．a=－bD．ab=－1例2．若a≤1，则3(1)a化简后为（）A．（a－1）1.(1)1.(1)1.(1)1aBaaCaaDaa例3．已知实数a满足aaa19931992，则21992a__________________；例4．化简53262____________________；例5．已知aax1，则24xx__________________例6．设43239的整数部分为a，小数部分为b，则baba41111_____________；例7．设a、b、c是△ABC的三边的长，化简(a–b–c)2+(b–c–a)2+(c–a–b)2的结果是.例8．设a、b为实数，且满足a2+b2－6a－2b+10=0，求abab的值例9．设等腰三角形的腰长为a，底边长为b，底边上的高为h．（1）如果a=6+3，b=6+43，求h；-2-（2）如果b=2（27+1），h=27－1，求a．例10．已知ba、是实数，且11122bbaa，问ba、之间有怎样的关系？请推导。例11．已知x=11,11nnnnynnnn（n为自然数），问：是否存在自然数n，使代数式19x2+36xy+19y2的值为1998？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．例12．如图，一艘轮船在40海里/时的速度由西向东航行，上午8时到达A处，测得灯塔P在北偏东60°方向上；10时到达B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上；当轮船到达灯塔P的正南时，轮船距灯塔P多远？3060CPBA例13．按要求解决下列问题:（1）化简下列各式:281850_____,______,_____,1235=________，…（2）通过观察，归纳写出能反映这个规律的一般结论，并证明．例14．设a=2222222211111111111112233420002001，问与a最接近的整数是多少？-3-答案:一、1．分析：题中a和b的值是通过一个二元方程给出的，一个二元方程求两个未知数，往往要利用非负性来解决问题．解：∵a2+b2－6a－2b+10=0，∴（a2－6a+9）+（b2－2b+1）=0．即（a－3）2+（b－1）2=0，∴a=3，b=1．3131abab=2+3．点拨：应用偶次方的非负性是解本题的关键．2．分析：利用正方形的面积公式S=a2列出比例式．解：设第一个正方形的边长为a，第二个正方形的边长为b，则S1=a2=48，S2=b2=3．∴22484843,333aabb=4．答：第一个正方形的边长是第二个正方形的边长的4倍．-4-点拨：求第一个正方形边长是第二个正方形的边长的几倍，实际上就是求它们的边长之比．3．分析：本题给出了等腰三角形、底边及高，利用等腰三角形高的特殊性质可构成直角三角形，再应用勾股定理求解．解：（1）由a2=（12b）2+h2，得（6+3）2=14（6+43）2+h2．36+123+3=14（36+483+48）+h2．39+123=9+123+12+h2．h2=18，h=18=32．（2）由a2=（12b2）+h2，得a2=[12×2（27+1）]2+（27－1）2a2=（27+1）2+（27－1）2a2=58，∴a=58．点拨：构造一个直角三角形应用勾股定理是解本题的要点．4．分析：假设存在，将已知条件化简，求出x+y=2（2n+1），xy=1，代入19x2+36xy+19y2=1998中看是否有符合条件的2n．解：不存在．∵x+y=211(1)(1)11nnnnnnnnnnnn2=n+1－2(1)nn+n+n+1+n+2(1)nn=4n+2．xy=1111nnnnnnnn=1．假设存在n使代数式19x2+36xy+19y2的值为1998．即19x2+36xy+19y2=1998．19x2+19y2=1962，（x2+y2）=196219．（x+y）2=196238200020002095.1919191919xy．由已知条件，得x+y=2（2n+1）．∵n为自然数，∴2（2n+1）为偶数，∴x+y=209519不为整数．-5-∴不存在这样的自然数n．二、5．解：由已知条件，得∠PAB=30°，∠PBC=60°，过P作PC⊥AB，在Rt△PBC中，∠PBC=60°，则∠BPC=30°，∴BC=12PB，PC=22PBBC．在Rt△APC中，∠PAB=30°，则∠APC=60°，∴∠APB=30°，∴∠APB=∠PAB，∴PB=AB=（10－8）×40=80（海里）．∴BC=12PB=40（海里）．∴PC=228040=403（海里）．答：轮船到达灯塔P的正南方向时，距灯塔P40海里．点拨：利用路程公式求AB，由等腰三角形，得AB=BP，由直角三角形性质得出BC与PB的关系．三、6．分析：将二次根式进行分母有理化，通过（1）观察得出规律．解：（1）24263105（2）由（1）中各式化简情况可得222nnnn．证明如下：2222222nnnnnnnnnnn．7．分析：由（x+y）－20≥0，20－（x+y）≥0，所以x+y=20．再利用两个根式的和等于0，即每一个被开方数等于0．解：∵x+y－20≥0，20－（x+y）≥0，∴x+y=20．∴35233xymxym=0．∴20,1,3520,19,330.60.xyyxymxxymm解方程得四、8．分析：将根式逐个分母有理化，利用互为相反数的两个数的和等于0的求解．解：∵11,1aaaa121,12aaaa183828283aaaa-6-∴（111)(831128283aaaaaaa+a）=(1218382)(83)aaaaaaaa=22(83)(83)(83)()aaaaaa=a+83－a=83．点拨：分母有理化的关键是找出有理化因式．五、9．A分析：将b=121进行分母有理化，得b=2+1，∴a=b=2+1．10．C分析：由a得a≤0，∵ab≠0，ab0，∴b0，∴点P在第三象限．11．B分析：∵a≤1，∴│1－a│=1－a．∴3(1)(1)1aaa．点拨：应用公式2a=a时，要考虑a的取值范围．12．分析：将二次根式进行分母有理化，根据题中给出的条件准确应用=a，计算结果是正确的，因为通过根式化简结果与x的值无关．解：原式=222222222(4)(4)(4)(4)(4)(4)xxxxxxxxxxxxx2222222222424)424)48444xxxxxxxxxx－－x2=－2．附加题分析：通过上式找出规律，得出通项公式22111(1)nn再进行化间，得结果为1+1(1)nn，将自然数n代入求出结果，再判断与a最接近的整数．解：∵n为任意的正整数，222222222222211(1)(1)1(1)[(1)][(1)]2(1)1(1)111.[(1)][(1)](1)(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn∴a=(1+1111(1)(1)(1)12233420002001=2000+111112233420002001-7-=2000+（1－12）+（12－13）+（13－14）+…+111()2001.200020012001因此与a最接近的整数是2001．点拨：用裂项法将分数111(1)1nnnn化成，然后求和．