导数大题练习题答案

导数练习题（B）答案1．（本题满分12分）已知函数dxbacbxaxxf)23()(23的图象如图所示．（I）求dc,的值；（II）若函数)(xf在2x处的切线方程为0113yx，求函数)(xf的解析式；（III）在（II）的条件下，函数)(xfy与mxxfy5)(31的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．解：函数)(xf的导函数为bacbxaxxf2323)(2'…………（2分）（I）由图可知函数)(xf的图象过点（0，3），且0)1('f得03023233cdbacbad…………（4分）（II）依题意3)2('f且5)2(f534648323412babababa解得6,1ba所以396)(23xxxxf…………（8分）（III）9123)(2xxxf．可转化为：mxxxxxx534396223有三个不等实根，即：mxxxxg8723与x轴有三个交点；42381432xxxxxg，x32,32432，4，4xg+0-0+xg增极大值减极小值增mgmg164,276832．…………（10分）当且仅当01640276832mgmg且时，有三个交点，故而，276816m为所求．…………（12分）2．（本小题满分12分）已知函数)(3ln)(Raaxxaxf．（I）求函数)(xf的单调区间；（II）函数)(xf的图象的在4x处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23mxfxxxg在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围．解：（I）)0()1()('xxxaxf（2分）当,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时xfa当;1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时xfa当a=1时，)(xf不是单调函数（5分）（II）32ln2)(,22343)4('xxxfaaf得2)4()(',2)22(31)(223xmxxgxxmxxg（6分）2)0(',)3,1()(gxg且上不是单调函数在区间.0)3(',0)1('gg（8分）,319,3mm（10分）)3,319(m（12分）3．（本小题满分14分）已知函数cbxaxxxf23)(的图象经过坐标原点，且在1x处取得极大值．（I）求实数a的取值范围；（II）若方程9)32()(2axf恰好有两个不同的根，求)(xf的解析式；（III）对于（II）中的函数)(xf，对任意R、，求证：81|)sin2()sin2(|ff．解：（I）,23)(,00)0(2baxxxfcf320)1(abf),323)(1()32(23)(2axxaaxxxf由33210)(axxxf或，因为当1x时取得极大值，所以31332aa，所以)3,(:的取值范围是a；…………（4分）（II）由下表：x)1,(1)332,1(a332a),332(a)(xf+0-0-)(xf递增极大值2a递减极小值2)32(276aa递增依题意得：9)32()32(27622aaa，解得：9a所以函数)(xf的解析式是：xxxxf159)(23…………（10分）（III）对任意的实数,都有,2sin22,2sin22在区间[-2，2]有：230368)2(,7)1(,7430368)2(fff,7)1()(fxf的最大值是7430368)2()(fxf的最小值是函数]2,2[)(在区间xf上的最大值与最小值的差等于81，所以81|)sin2()sin2(|ff．…………（14分）4．（本小题满分12分）已知常数0a，e为自然对数的底数，函数xexfx)(，xaxxgln)(2．（I）写出)(xf的单调递增区间，并证明aea；（II）讨论函数)(xgy在区间),1(ae上零点的个数．解：（I）01)(xexf，得)(xf的单调递增区间是),0(，…………（2分）∵0a，∴1)0()(faf，∴aaea1，即aea．…………（4分）（II）xaxaxxaxxg)22)(22(22)(，由0)(xg，得22ax，列表x)22,0(a22a),22(a)(xg-0+)(xg单调递减极小值单调递增当22ax时，函数)(xgy取极小值)2ln1(2)22(aaag，无极大值．…………（6分）由（I）aea，∵22aaeeaa，∴22aea，∴22aea01)1(g，0))(()(22aeaeaeegaaaa…………（8分）（i）当122a，即20a时，函数)(xgy在区间),1(ae不存在零点（ii）当122a，即2a时若0)2ln1(2aa，即ea22时，函数)(xgy在区间),1(ae不存在零点若0)2ln1(2aa，即ea2时，函数)(xgy在区间),1(ae存在一个零点ex；若0)2ln1(2aa，即ea2时，函数)(xgy在区间),1(ae存在两个零点；综上所述，)(xgy在(1,)ae上，我们有结论：当02ae时，函数()fx无零点；当2ae时，函数()fx有一个零点；当2ae时，函数()fx有两个零点．…………（12分）5．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)(1)1fxxkx．（I）当1k时，求函数()fx的最大值；（II）若函数()fx没有零点，求实数k的取值范围；解：（I）当1k时，2()1xfxx)(xf定义域为（1，+），令()0,2fxx得，………………（2分）∵当(1,2),x时()0fx，当(2,),x时()0fx，∴()(1,2)fx在内是增函数，(2,)在上是减函数∴当2x时，()fx取最大值(2)0f………………（4分）（II）①当0k时，函数ln(1)yx图象与函数(1)1ykx图象有公共点，∴函数()fx有零点，不合要求；………………（8分）②当0k时，1()11()111kkxkkxkfxkxxx………………（6分）令1()0,kfxxk得，∵1(1,),()0,kxfxk时1(1,),()0xfxk时，∴1()(1,1)fxk在内是增函数，1[1,)k在上是减函数，∴()fx的最大值是1(1)lnfkk，∵函数()fx没有零点，∴ln0k，1k，因此，若函数()fx没有零点，则实数k的取值范围(1,)k．………………（10分）6．（本小题满分12分）已知2x是函数2()(23)xfxxaxae的一个极值点（718.2e）．（I）求实数a的值；（II）求函数()fx在]3,23[x的最大值和最小值．解：（I）由2()(23)xfxxaxae可得22()(2)(23)[(2)3]xxxfxxaexaxaexaxae……（4分）∵2x是函数()fx的一个极值点，∴(2)0f∴2(5)0ae，解得5a……………（6分）（II）由0)1)(2()(xexxxf，得)(xf在)1,(递增，在),2(递增，由0)(xf，得)(xf在在)2,1(递减∴2)2(ef是()fx在]3,23[x的最小值；……………（8分）2347)23(ef，3)3(ef∵)23()3(,0)74(4147)23()3(23233ffeeeeeff∴()fx在]3,23[x的最大值是3)3(ef．……………（12分）7．（本小题满分14分）已知函数)0,(,ln)2(4)(2aRaxaxxxf（I）当a=18时，求函数)(xf的单调区间；（II）求函数)(xf在区间],[2ee上的最小值．解：（Ⅰ）xxxxfln164)(2，xxxxxxf)4)(2(21642)('2分由0)('xf得0)4)(2(xx，解得4x或2x注意到0x，所以函数)(xf的单调递增区间是（4，+∞）由0)('xf得0)4)(2(xx，解得-2＜x＜4，注意到0x，所以函数)(xf的单调递减区间是]4,0(.综上所述，函数)(xf的单调增区间是（4，+∞），单调减区间是]4,0(6分（Ⅱ）在],[2eex时，xaxxxfln)2(4)(2所以xaxxxaxxf242242)('2，设axxxg242)(2当0a时，有△=16+4×208)2(aa，此时0)(xg，所以0)('xf，)(xf在],[2ee上单调递增，所以aeeefxf24)()(2min8分当0a时，△=08)2(2416aa，令0)('xf，即02422axx，解得221ax或221ax；令0)('xf，即02422axx，解得221a221ax.①若221a≥2e，即a≥22)1(2e时，)(xf在区间],[2ee单调递减，所以aeeefxf244)()(242min.②若2221eae，即222)1(2)1(2eae时间，)(xf在区间]221,[ae上单调递减，在区间],221[2ea上单调递增，所以min)(xf)221(af)221ln()2(322aaaa.③若221a≤e，即a0≤22)1(e时，)(xf在区间],[2ee单调递增，所以aeeefxf24)()(2min综上所述，当a≥222)1(e时，aeaxf244)(24min；当222)1(2)1(2eae时，)221ln()2(322)(minaaaaxf；当a≤2)1(2e时，aeexf24)(2min14分8．（本小题满分12分）已知函数()(6)lnfxxxax在(2,)x上不具有．．．单调性．（I）求实数a的取值范围；（II）若()fx是()fx的导函数，设22()()6gxfxx，试证明：对任意两个不相等正数12xx、，不等式121238|()()|||27gxgxxx恒成立．解：（I）226()26axxafxxxx，………………（2分）∵()fx在(2,)x上不具有．．．单调性，∴在(2,)x上()fx有正也有负也有0，即二次函数226yxxa在(2,)x上有零点………………（4分）∵226yxxa是对称轴是32x，开口向上的抛物线，∴222620ya的实数a的取值范围(,4)………………（6分）（II）由（I）22()2agxxxx，方法1：2222()()62(0)agxfxxxxxx，∵4a，∴323233444244()22axxgxxxxxx，…………（8分）设2344()2hxxx，3448124(23)()xhxxxx()hx在3(0,)2是减函数，在3(,)2增函数，当32x时，()hx取最小值3827∴从而()gx3827，∴38(())027gxx，函数38()27ygxx