等比数列的前n项和练习-含答案

课时作业11等比数列的前n项和时间：45分钟满分：100分课堂训练1．在等比数列{an}(n∈N＋)中，若a1＝1，a4＝18，则该数列的前10项和为()A．2－128B．2－129C．2－1210D．2－1211【答案】B【解析】由a4＝a1q3＝q3＝18⇒q＝12，所以S10＝1－12101－12＝2－129.2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则此数列奇数项的前n项和为()A.13(2n＋1－1)B.13(2n＋1－2)C.13(22n－1)D.13(22n－2)【答案】C【解析】由Sn＝2n－1知{an}是首项a1＝1，公比q＝2的等比数列．所以奇数项构成的数列是首项为1，公比为4的等比数列．所以此数列奇数项的前n项和为13(22n－1)．3．等比数列{an}中，a1＝1，an＝－512，Sn＝－341，则公比q＝________，n＝________.【答案】－210【解析】由Sn＝a1－anq1－q得1＋512q1－q＝－341⇒q＝－2，再由an＝a1·qn－1⇒n＝10.4．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项；(2)求数列{2an}的前n项和Sn.【解析】本题考查等差与等比数列的基本性质，第一问只需设出公差d，从而得到关于d的方程式求解，第二问直接利用等比数列前n项和公式即可求得．解：(1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得1＋2d1＝1＋8d1＋2d，解得d＝1，d＝0(舍去)，故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝21－2n1－2＝2n＋1－2.课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于()A．31B．33C．35D．37【答案】B【解析】S5＝a11－q51－q＝a11－251－2＝1，∴a1＝131.∴S10＝a11－q101－q＝1311－2101－2＝33，故选B.2．设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋1(n∈N＋)，则f(n)等于()A.27(8n－1)B.27(8n＋1－1)C.27(8n＋3－1)D.27(8n＋4－1)【答案】B【解析】依题意，f(n)是首项为2，公比为8的等比数列的前n＋1项和，根据等比数列的求和公式可得．3．已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a的值等于()A．－4B．－1C．0D．1【答案】B【解析】∵Sn＝4n＋a，∴an＝Sn－Sn－1(n≥2)＝4n＋a－(4n－1＋a)＝3·4n－1(n≥2)．当n＝1时，a1＝S1＝4＋a，又∵{an}为等比数列，∴3×41－1＝4＋a，解得a＝－1.4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝()A．11B．5C．－8D．－11【答案】D【解析】设数列的公比为q，则8a1q＋a1q4＝0，解得q＝－2，∴S5S2＝a11－q51－qa11－q21－q＝1－q51－q2＝－11，故选D.5．(2013·新课标Ⅰ文)设首项为1，公比为23的等比数列{an}的前n项和为Sn，则()A．Sn＝2an－1B．Sn＝3an－2C．Sn＝4－3anD．Sn＝3－2an【答案】D【解析】由题意得，an＝(23)n－1，Sn＝1－23n1－23＝1－2323n－113＝3－2an，选D.6．在等比数列{an}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，则a99＋a100等于()A.b9a8B．(ba)9C.b10a9D．(ba)10【答案】A【解析】由等比数列的性质知a9＋a10，a19＋a20，…，a99＋a100成等比数列．且首项为a(a≠0)，公比为ba.∴a99＋a100＝a·(ba)10－1＝b9a8.7．某商品零售价2008年比2006年上涨25%，欲控制2009年比2006年上涨10%，则2009年应比2008年降价()A．15%B．12%C．10%D．5%【答案】B【解析】设2006年售价为a元．则2008年售价为a(1＋25%)元，2009年售价为a(1＋10%)元．则2009年应比2008年降价：a1＋25%－a1＋10%a1＋25%＝0.12，∴应降低12%，选B.8．等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1＝()A.65B.56C．20D．110【答案】B【解析】设公比为q，由题知：S奇＝a1·a3·…·a2n＋1＝100，S偶＝a2·a4·…·a2n＝120，∴S奇S偶＝a3·a5·a7·…·a2n＋1a2·a4·a6·…·a2n·a1＝100120＝56.∴a1qn＝56，即an＋1＝56，故选B.二、填空题(每小题10分，共20分)9．设等比数列{an}的公比q＝12，前n项和为Sn，则S4a4＝________.【答案】15【解析】因为数列{an}是公比为q的等比数列，且S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a4q3＋a4q2＋a4q＋a4，所以S4a4＝1q3＋1q2＋1q＋1＝15.10．在等比数列{an}中，a1＝14，在前2n项中，奇数项的和为85.25，偶数项的和为170.5时，n的值为________．【答案】5【解析】由q＝S偶S奇，得q＝2.又S奇＝141－4n1－4＝3414，∴n＝5.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在等比数列{an}中，已知a3＝32，S3＝92，求a1与q.【分析】先检验q＝1是否满足；然后列出关于a1，q的方程组进行求解．【解析】∵a3＝32，S3＝92，当q＝1时，a1＝a3＝32，S3＝3a1＝3×32＝92，∴适合题意；当q≠1时，由通项公式及前n项和公式得a1q2＝32，a11－q31－q＝92，∴a1＝6，q＝－12.综上知a1＝32，q＝1或a1＝6，q＝－12.【规律方法】解决此类问题，要抓住两个方面，一是注意对公比q的取值进行分类讨论；二是要准确利用相关公式把已知条件转化为关于a1与q的方程或方程组求解．12．(2013·湖南文，19)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N＋.(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；(2)求数列{nan}的前n项和．【分析】(1)用赋值法求出a1、a2，再用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an；(2)用错位相减法可求出{nan}的前n项和．【解析】(1)令n＝1，得2a1－a1＝a21，即a1＝a21，因为a1≠0，所以a1＝1，令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1两式相减得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1，于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，因此，an＝2n－1.所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)由(1)知，nan＝n·2n－1.记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，①2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②①－②得－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n.从而Bn＝1＋(n－1)·2n.【规律方法】本题主要考查了由递推公式求通项式，由an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求通项及错位相减法．在运用an＝Sn－Sn－1(n≥2)时，一定别忘记“n≥2”这一条件．在用错位相减法时别忘记把Sn的系数化为1.