ch5期权-一个套利定价的例子

第五章期权：一个套利定价的例子Review&Preview上一章我们介绍了无套利原理和资产定价的基本原理，以及有关资产定价的一些基本性质。然而我们所讲的只是这些性质的一般形式。本章我们将运用无套利原理为期权定价。Structure5.1期权5.2期权价格的性质和界5.3美式期权以及提前执行5.4完全市场中的期权定价5.5期权和完全市场化5.6本章小结5.7练习5.1Option按照金融资产是否与实物资产直接联系，金融资产可以分为两类：原生金融资产和衍生金融资产。原生金融资产与实物资产直接联系。衍生金融资产是指其价值依赖于原生金融资产的金融工具。即衍生金融资产与实物资产的联系是间接地通过原生金融资产实现的。记一只证券期的支付为，期的价格为。在本章的讨论当中，我们将它统称为“股票”。定义5.1欧式看涨（看跌）期权给与期权购买者在未来某一给定日期、以某一确定价格从（向）期权出售者处买入（卖出）单位股票的权利。期权购买者可以执行其权利的日期叫做到期日，叫做执行价格。买入（卖出）的股票叫做标的证券或者标的资产。1t0tSKKX记为欧式看涨期权期的支付，为欧式看跌期权期的支付。，（5.1）这里。1tcp1tmax0,xxXS0SK（a）欧式看涨期权cXKpKXK0SXKS（b）欧式看跌期权K定义5.2执行价为、到期日为的美式看涨（看跌）期权赋予期权购买者在到期日前任意日期（包括到期日）、以某一确定价格从（向）期权出售者处买入（卖出）单位股票的权利。因为美式期权给予所有者提前执行的权利，所以相对于欧式期权来说，它们给予了所有者更多的权利。也正因为美式期权可以提前行权，使得美式期权变得更加复杂。KtK商务印书馆《英汉证券投资词典》解释：亦作：期权合约。期权合约以金融衍生产品作为行权品种的交易合约。指在特定时间内以特定价格买卖一定数量交易品种的权利。合约买入者或持有者(holder)以支付保证金——期权费(optionpremium)的方式拥有权利；合约卖出者或立权者(writer)收取期权费，在买入者希望行权时，必须履行义务。从其本质上讲，期权实质上是在金融领域中将权利和义务分开进行定价，使得权利的受让人在规定时间内对于是否进行交易，行使其权利，而义务方必须履行。称为看涨期权的内在价值，也就是今天执行期权所带来的支付。那么，看跌期权的内在价值是。如果一份期权的内在价值大于、等于或小于的话，我们相应的称之为实值、平值以及虚值期权。期权是两个参与者之间订立的合约。期权购买者获得了从（对）卖出者买入（卖出）标的证券的权利。当期权购买者行权时，期权购买者所得到的支付正是来自于期权卖出者的支付。这就是说，期权是购买者和卖出者之间的零和交易。从经济的总体来看，期权的净头寸恒为。SKKS00另外，期权的支付总是由标的资产的价格或支付来决定。满足（1）净供给量为，以及（2）支付由其他证券的价格或支付来决定这两个条件的证券也叫做衍生证券。记为欧式看涨期权期的价格，而欧式看跌期权的价格为；记，为相应的美式期权的价格。0(,)cSK0t(,)pSK0t(,)CSK(,)PSK我们想要回答的问题是如何为这些期权定价。依靠无套利原理，我们分两步来回答这个问题。第一步，我们分析期权价格的一些基本性质并且导出期权价格的上界和下界。第二步，在完全市场的假设下，我们导出期权定价的精确公式。5.2期权价格的性质和界期权的价格受多种因素的影响：第一个也是最重要的是标的证券的价格和支付。第二个是期权的合同条款：到期日以及执行价。第三是利率。定理5.1和是非负的。证明依据：期权的支付非负，无套利原理。定理5.2对非增，对非减。证明：，。因此，由无套利原理有（定理4.5）。定理5.3与是的凸函数。证明：以及，(,)cSK(,)pSK(,)cSKK(,)pSKK12KK12,,cSKcSK(,)cSK(,)pSKK12,KK0,112XKXK12,KK0,1不失一般性，设。和同号时，等式成立；异号时不等式严格成立。也就是说，是的凸函数。由及是线性算子可知，也是的凸函数。12KKKV(,)cSKK121XKK121XKXK121XKXK1XK2XKXK,cSKVXK定理5.4记为由只证券组成的组合，价格向量为以及执行价格向量为。那么因此，以组合资产为标的的期权价值要小于以组合中的单个证券为标的资产的相应期权的组合的价值。0N1;;0NSSS1;;0NKKK1,,NTTiiiicSKcSK1,,NTTiiiipSKpSK证明：以组合为标的资产的期权的支付为这里，不等式来自于支付函数的凸性。因为不等式的右边恰好就是期权组合的支付，由无套利原理得知定理成立。定理5.5。证明：首先，，如下图所示。,ScSKNNTiiiiiiiiXKXKXKXKX而，。由无套利原理，。,cSKVXK,ScSKX01S1SK1S欧式看涨期权的价格上界KSVX定理5.6如果存在无风险证券，其收益率也就是利率为，那么证明：考虑这样一个组合，买入一份股票同时卖空份无风险证券，其现值为。它在期的支付为。因为，如下图所示，所以。并且我们知道。综合这两个结果可以得到Fr,1FcSKSKrK1tXKXKXK1FSKr,1FcSKSKr,0cSK,1FcSKSKr综合上面两个定理，我们得到了欧式看涨期权价格的上界和下界：（5.2）1,FSKrcSKSX01S1SKK1SK欧式看涨期权的价格下界定理5.7（看涨—看跌期权的平价关系）如果存在无风险证券且利率为，那么（5.3）证明：考虑如下的两个组合：1.买入份执行价格为的看涨期权和份无风险证券；2.买入份执行价格为的看跌期权和份股票。,1,FcSKKrpSKSFr11KKK1让我们来比较它们在期的支付：显然，组合1和组合2在期的支付完全一样。因此。他们在今天的成本也一定相等，即（5.3）式成立。1XKXKXKKKXKKXKXXKKXXX组合1组合215.3美式期权以及提前行权对于美式期权来说，提前行权只是权利而非义务。如果持有美式期权至到期日，那么它的支付与相应的欧式期权完全一样。正是因为美式期权持有者有权力提前行权，而他只有在更优时才提前行权，所以美式期权的价格永远不会低于相应的欧式期权的价格。（5.4）,,,,,CSKcSKPSKpSK影响提前行权的一个重要因素是标的证券支付的股利。股息、红利合称为股利。股份公司通常在年终结算后，将盈利的一部分作为股息按股额分配给股东。前面的讨论中，我们假设证券只在期才有支付。实际上，证券在期也可能有支付，即股利。01例假设在期，价格为元的股票支付元的股利。这就象公司清算一样：变卖所有的资产得到元，并将之全部用来支付股利。支付股利后，股票价格降为，因为它变成了一份空的要求权。现在让我们来考虑一份以此股票为标的证券的欧式看涨期权，执行价为元，期到期。因为期时股票价格降为，使得期权的支付也为。他现在的价格当然也只能是。那么相应的美式期权又如何呢？其持有者可以在股利消息公布以后、发放以前就提010010010008011000前行权。这样以元买入股票，马上就可得到元的股利。净支付为元。因此，在这个例子中提前执行美式期权是最优的，可以得到元的收益。这显然要优于欧式看涨期权。因此，在分析是否提前行权时，我们必须考虑标的证券发放股利的可能性。8010020205.3.1无股利时提前行权首先考虑看涨期权。没有股利时，美式看涨期权将不会提前行权。为了证明这一定，我们注意到提前行权得到的支付为。但是也就是说，提前行权所得到的价值不会高于把他当做欧式看涨期权卖出所得到的价值。因为在某些状态下严格不等式成立，因此提前行权是次优的。SK11,FFSKSKrSKrcSK有两个因素决定提前行权的成本。第一个因素是货币的时间价值。如果提前行权，我们就得立即支付执行价格而不是等到以后。当利率大于零时，同样的付出越晚越好。这就是上式中的第一个不等式所反映的。为了看清这一点，考虑如下的行权策略：到期日时无论股票价格如何都行权。这样所得到的支付为，即付出而得到，它的现值是。这显然优于立即行权所带来的价值，因为执行价是在到期日支付而不是现在。XKKX1FSKr第二个因素是在到期日不行权的权利。前面的行权策略没有考虑到期日是不行权的情形。如果在到期日、当低于时我们可以选择不行权，那么其所带来的支付显然优于无论如何都执行所带来的支付。这就是上式中第二个不等式的来源。上述两个因素给出来提前行权的代价。因此，如果没有股利，美式看涨期权将不会提前行权，。XKXKXK,,CSKcSK接着考虑美式看跌期权。没有股利时，提前行权可能是最优的。这里，提前行权的成本是放弃了对支付有了更多了解后可能选择不执行的权力；而提前行权的收益是执行价格的时间价值。如果提前行权，持有者现在就可以得到执行价格而不是在将来。,max,,PSKKSpSKmax,1,FKSKrScSK如果，则提前行权是最优的。也就是说，当时应提前行权。当时，上述不等式成立。5.3.2有股利时提前行权假设股票在期时还支付股利，记为发放股利后的股价。美式看涨期权持有者在期有两个选择：（1）支付行权，获得股利后马上抛出股票，得到总额为的支付（2）持有期权直至到期日期。1,FKSKrScSK1,FFKrrcSKKS0tDS0tKDS1t在最有执行策略下：其中，是发放股利前美式看涨期权的价值。相应地，对于看跌期权有：由（5.4）式，有和。因此，对于美式期权来说，股利促使持有者提前执行看涨期权、推迟执行看跌期权。,,max,,CSDKSDKcSK,,CSDK,,max,,PSDKKSDpSK,,,CSDKcSK,,,PSDKpSK在有股利时，看涨期权和看跌期权之间的平价关系也会受到影响。考虑如下组合：1.买入份执行价为的看涨期权和现值为的无风险证券；2.买入份执行价为的看跌期权和份股票。比较它们在期的支付：1K1FKrD1K11显然，组合1和组合2在期的支付完全相同。因此，它们在今天的成本也一定相等，即如果有股利，欧式看涨期权和看跌期权之间的平价关系变为XKXK1FKDr1FKDr1FXDr1FXDr组合1组合21,1,FcSKKrDSpSK5.4完全市场中的期权定价如果证券市场是完全的，那么存在唯一的状态价格向量：。记为标的证券在状态时的支付。那么这里，是风险中性测度。为了得到更为具体的结果，我们必须对股票价格在期的可能取值做进一步的假设，也就是说，我们必须对股票价格的过程作更具体的描述。,S,1QFcSKSKESKrQ1作为一个经典例子，我们考虑股票价格的二叉树过程模型。记为股票现在的价格。二叉树