NKU_期权定价(3)

OptionPricing张骅月[e-mail]eZhangContentsNankaiUniversityhuayueZhang衍生品定价的方法1博弈论方法2资产组合复制法3二叉树模型4概率角度定价5衍生品定价的方法•前面我们讨论了期权价格的上下限以及看涨看跌期权的平价公式（欧式）。•一份期权的公平的确切的价格应该为多少呢？•例：（看涨期权的公平价格）有一只股票现价为$100。在一年以后，股价可以是$90或$120。概率并未给定。即期利率是5%。一年后到期的执行价格为$105的股票期权的公平价格是多少？•下面我们将用两种方法来回答这个问题，这两个方法是：博弈论方法、资产组合定价法。NankaiUniversityhuayueZhang博弈论方法•在下面的三种方法中我们都假设股票在到期日的价格只能是两种特定价格中的一个。将现在视为0时刻，到期日视为1时刻，本例中假设1时刻股价为$120或$90.•V=期权的价格；S=股票的价格。•构造资产组合Π：a股股票的期权和b股股票则：•Π0=aV+bS•上升状态：Π1=（120-105）a+120b•下降状态：Π1=a×0+90bNankaiUniversityhuayueZhang博弈论方法•选择a和b，使得并不取决于股票涨跌结果。这样，我们就有：•（120-105）a+120b=a×0+90b•从上式可得15a=-30b，我们可以作出a=-2，b=1的投资选择，此时有•Π0=-2V+1×100•Π1=-2×15+1×120=90•由于1.05Π0=Π1，故100-2V=90/1.05，即V=7.14.NankaiUniversityhuayueZhang博弈论方法•假设交易商愿意以$7.25的价格出售（或购买）期权。博弈论定价方法告诉我们期权价格被高估了。•我们的策略：买入1股股票，卖出2股期权•该头寸的成本为•100-7.25×2=85.5•我们借入$85.5进行投资，一年后冲销该头寸得$90，故我们得到利润为：•90-85.5×1.05=90-89.775=0.225•Q:交易商以$7的价格出售（或购买）期权，交易策略？NankaiUniversityhuayueZhang博弈论方法•假设在时刻t股票处于上涨的状态时价格为Su，那么衍生品价格为U；股票处于下跌的状态时价格为Sd，那么衍生品价格为D。SuUS0V0SdD我们通过买1股股票衍生品和卖出a股股票构造资产组合。故资产组合的初始价值是：Π0=V0-aSNankaiUniversityhuayueZhang博弈论方法•选择a的值使得资产组合的价值与股票的最终状态无关，于是•上升时：Πu=U-aSu•下降时：Πd=D-aSd•令Πu=Πd得：U-aSu=D-aSd•故•而Π0=V0-aS0，Π1=U-aSu•于是V0=aS0+(U-aSu)e-rtNankaiUniversityhuayueZhangudU-Da=S-S资产组合复制•假设股票在0时刻为S0，该股票在t时刻有两种可能价格：SuUS0V0SdD•构造资产组合Π：a单位的股票和b单位的债券，来复制期权，由于•上升状态：Πu=aSu+bert=U•下降状态：Πu=aSd+bert=DNankaiUniversityhuayueZhang资产组合复制•于是有：•于是衍生品的定价公式为：•即NankaiUniversityhuayueZhang−=Δ()Δ-rt-rtuduudududDSUSU-DVU-Da==,b=U-SeeS-SSS-SS-S−00-rtudududDSUSU-DV=S+eS-SS-S00()-rtuV=aS+U-aSe资产组合复制•将上面表达式中的含有U的项和含有D的项分开，则衍生品价格为：•忽略指数项，则U的系数是•而D的系数恰好为•故衍生品价格可记为NankaiUniversityhuayueZhang()()+000rtrt-rt-rtduududeS-SS-eSV=eUeDS-SS-S0rtdudeS-Sq=S-S01rtuudS-eS-q=S-S()0[1]-rtV=eqU+-qD风险中度概率•对于•现在我们来考虑q的取值范围：•若q0，则e-rtS0Sd，此时买进该股票是包赚不赔的。•若q1，那么1-q0，则Sue-rtS0，此时卖空该股票是包赚不赔的。•故在无套利假设下数值q是满足概率条件的，我们称其为风险中度概率。于是NankaiUniversityhuayueZhang0rtdudeS-Sq=S-S1()0[1]E[]-rt-rtqV=eqU+-qD=eV风险中性概率测度•由•可得。•此公式也可以由下图理解：SuS0SdNankaiUniversityhuayueZhang0rtdudeS-Sq=S-S0+(1-)rtudeS=qSqSq1-q资产组合复制•例：股票现在的价值为$50，一年期利率为4%，一年后股票的价值可能是$55或$40。试问下列衍生品的合理价格：(1)执行价为$48的看涨期权；(2)执行价为$53的看涨期权；(2)执行价为$45的看跌期权.•解：由可知•解得。•于是由，可知期权的合理价格为NankaiUniversityhuayueZhang0+(1-)rtudeS=qSqS×1.045055+40(1-)=qq()0[1]-rtV=eqU+-qD=0.8q资产组合复制•(1)执行价格为$48的看涨期权，U=7，D=0，故•(2)执行价格为$53的看涨期权，U=2，D=0，故•(3)执行价格为$45的看跌期权，U=0，D=5，故NankaiUniversityhuayueZhang[]××≈01=0.87+0.205.381.04V[]××≈01=0.82+0.201.541.04V[]××≈01=0.80+0.250.961.04V资产组合复制•除了风险中度概率q外，还需要大家熟悉一个量就是德尔塔量，它被定义为•该值正是博弈论方法中出现的a。•在投资决策过程中，德尔塔量的含义是用来对冲一股期权的标的股票数量。NankaiUniversityhuayueZhangudU-DΔ=S-S练习•1.假设某股票现价为60美元，一年后该股票可能涨至80美元，也可能跌至50美元。若有一交易商要推出执行价为65美元、一年后到期的看涨期权。无风险利率为0.048。求期权的合理价格。•2.若交易商以6.35美元/股的价格售出了100000股的看涨期权，他会持有一个风险很大的头寸。他决定通过购买股票对冲风险。他该买多少股票？一年后他会面临怎样的状况？NankaiUniversityhuayueZhang二叉树模型•二叉树模型（J.C.Cox，S.A.Ross&M.Rubinstein.1979）•把期权的有效期分为很多很小的时间间隔Δt，并假设在每一个时间间隔Δt内证券价格只有两种运动的可能。NankaiUniversityhuayueZhang二叉树模型•1、从开始的S0上升到原先的u倍，即到达uS0；•2、下降到原先的d倍，即到达dS0。•我们进一步假设u1且d1，价格上升的概率为p，下降的概率为1-p。uS0S0dS0•相应地，期权价值分别为Vu和Vd。NankaiUniversityhuayueZhangp1-p二叉树模型•由前面讨论的，我们有。•从而。•故对于单期的情形期权的合理价格是可以确定。•下面我们讨论多期二叉树，首先先考虑二期的情形：•为了研究问题方便，我们假设股票从第一步的两个状态的一个开始，继续保持与第一步相同的规律变动。即股票只可能以u因子增长，以d的因子下降。NankaiUniversityhuayueZhang∆0rtdudeS-Sp=S-S∆rte-dp=u-d()∆0ud[1]-rtV=epV+-pV二叉树模型•故我们可以得到二期股票二叉树图NankaiUniversityhuayueZhang二叉树模型•由于ud=du，故我们可以将刚才的二叉树简化：NankaiUniversityhuayueZhang二叉树模型•假设一项金融衍生品对于股票二叉树中的每一个最终结果都有一个特定的价格。三种可能的价格是U、M和D，分别对应股票价值u2S0、udS0和d2S0。NankaiUniversityhuayueZhang二叉树模型•如何确定衍生品的价格V0？关键是找到衍生品在第一期的价格，假设分别为X和Y。•那么我们可以利用前面讨论的结果先给出X和Y的值，从而确定V0。NankaiUniversityhuayueZhang()∆[1]-rtX=epU+-pM()∆[1]-rtY=epM+-pD022()()()∆∆[1]=[11]-rt-2rtV=epX+-pYepU+2p-pM+-pD二叉树模型•例假设开始时，股价为$20，在两步二叉树中的每个单步二叉树中，股票价格将上升10%或是下降10%。我们假设每个单步二叉树的时间步长是3个月，无风险年利率为12%。问执行价格为$21的欧式看涨期权的价格为多少？NankaiUniversityhuayueZhang二叉树模型•股票价格二叉树为：NankaiUniversityhuayueZhang二叉树模型•u=1.1，d=0.9，r=0.12，Δt=0.25•于是•则B点处期权价值为：NankaiUniversityhuayueZhang0.120.250.90.65231.10.9e∆×−==−rte-dp=u-d-0.120.25()[0.65233.20.34770]2.0257e∆×××+×=[1]=-rtBDEV=epV+-pV二叉树模型•C点处期权价值为0，故A点处期权价值为•也可以根据我们之前推导的公式，一步求得NankaiUniversityhuayueZhang0.120.25(0.65232.02570.34770)1.2823e−×××+×=22020.120.2522()()(0.65233.220.65230.347700.34770)1.2823e∆−××××+×××+×==[11]=-2rtVepU+2p-pM+-pD欧式看跌期权•例一个2年期欧式股票看跌期权，执行价格为52，当前股价为50。我们假设价格为两步二叉树，每个步长为1年，在每个单步二叉树中股票价格或者按比例上升20%，或者按比例下降20%，若无风险利率为5%，求此期权的价格。NankaiUniversityhuayueZhang欧式看跌期权•我们求得•故NankaiUniversityhuayueZhang0.0510.80.62821.20.8e∆×−==−rte-dq=u-d20.051202(0.6282020.62820.371840.371820)4.1923e−××××+×××+×==V欧式看跌期权•采用逐步回推的方式也可得到类似的结果，股票期权的二叉树为：NankaiUniversityhuayueZhang美式期权定价•还是刚才的例子，若为美式看涨期权应该如何定价？方法是从树图的末端向开始的起点倒推计算，在每个节点检验提前执行是否最佳，期权价值是如下两者中较大的：•1、后继两点的期权价值期望的本节点现值；•2、提前执行的收益。•我们将前面的例子按照美式期权计算，可以得到下面结论。NankaiUniversityhuayueZhang美式期权定价•股票期权二叉树NankaiUniversityhuayueZhang美式期权定价•例：为一美式看跌期权定价，S0=$100，X=$100，u=1.1，d=0.9，r=0.05，期权到期时间为t=3.•解：先给出此股票的价格二叉树NankaiUniversityhuayueZhang美式期权定价•期权二叉树NankaiUniversityhuayueZhang美式期权定价•我们曾经计算过此题的q=0.7564，这样通过连锁法我们可以得到后继两点的期权价值期望的本节点现值，比如时刻2最下方节点的连锁法值为•e-0.05(10