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1平面向量测试题一、选择题（本题有10个小题，每小题5分，共50分）1．“两个非零向量共线”是这“两个非零向量方向相同”的（）A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充要条件D.既不充分也不必要条件2.如果向量(,1)an与(4,)bn共线,且方向相反，则n的值为（）A.2B.2C.2D.03．已知向量a、b的夹角为60，||3a，||2b，若(35)()abmab，则m的值为（）A.3223B.2342C.2942D.42294．已知a=(1,－2),b=(1,x),若a⊥b,则x等于（）A．21B.21C.2D.－25．下列各组向量中，可以作为基底的是（）A)1,2(),0,0(21eeB)9,6(),6,4(21eeC．)4,6(),5,2(21ee)43,21(),3,2(21ee6．已知向量a,b的夹角为120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b）·a=（）A．3B.9C.12D.137．已知点O为三角形ABC所在平面内一点，若0OCOBOA，则点O是三角形ABC的()A．重心B.内心C.垂心D.外心8．设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a·b=4,则x等于（）A．－3B.3C.31D.319．已知BCCDyxBCAB且),3,2(),,(),1,6(∥DA，则x+2y的值为（）A．0B.2C.21D.－210．已知向量a+3b,a-4b分别与7a-5b,7a-2b垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a与b的夹角为（）A．6B.4C.3D.32二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）11．在三角形ABC中，点D是AB的中点，且满足ABCD21，则_______CBCA12．设21,ee是两个不共线的向量，则向量b=)(21Ree与向量a=212ee共线的充要条件是_______________13．圆心为O，半径为4的圆上两弦AB与CD垂直相交于点P，若以PO为方向的单位向量为b，且|PO|=2，则PDPCPBPA=_______________14．已知O为原点，有点A（d,0）、B（0，d），其中d0，点P在线段AB上，且ABtAP（0≤t≤1），则OPOA的最大值为______________2三、解答题15．（12分）设a,b是不共线的两个向量,已知,2,,2baCDbaBCkbaAB若A、B、C三点共线,求k的值.16．（12分）设向量a，b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3，求|3a+b|的值17．（14分）已知|a|=2，|b|=3，a与b夹角为45，求使向量a+b与a+b的夹角是锐角时，的取值范围20．已知向量a、b、c、d及实数x、y满足||||1ab，(3)caxb，dyaxb若ab，cd且||10c.⑴求y关于x的函数关系式()yfx及其定义域;⑵若[1,2]x时,不等式()16fxmx恒成立，求实数m的取值范围．附加题（可不做）1．已知点P分211PP所成的比为－3，那么点1P分PP2所成比为（）A．34B.32C.21D.232．点（2，－1）按向量a平移后得（－2，1），它把点（－2，1）平移到（）A．(2,－1)B.(－2,1)C.(6,－3)D.(－6,3))3高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解一、选择题1．(文)(2010·东北师大附中)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()A．－4B．4C．－2D．2[答案]A[解析]a在b方向上的投影为a·b|b|＝－123＝－4.(理)(2010·浙江绍兴调研)设a·b＝4，若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1，则a与b的夹角等于()A.π6B.π3C.2π3D.π3或2π3[答案]B[解析]由条件知，a·b|b|＝2，a·b|a|＝1，a·b＝4，∴|a|＝4，|b|＝2，∴cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝44×2＝12，∴〈a，b〉＝π3.2．(文)(2010·云南省统考)设e1，e2是相互垂直的单位向量，并且向量a＝3e1＋2e2，b＝xe1＋3e2，如果a⊥b，那么实数x等于()A．－92B.92C．－2D．2[答案]C[解析]由条件知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，∴a·b＝3x＋6＝0，∴x＝－2.(理)(2010·四川广元市质检)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，2)，且m＝ta＋b，n＝a－kb(t、k∈R)，则m⊥n的充要条件是()A．t＋k＝1B．t－k＝1C．t·k＝1D．t－k＝0[答案]D[解析]m＝ta＋b＝(2t－1，t＋2)，n＝a－kb＝(2＋k,1－2k)，∵m⊥n，∴m·n＝(2t－1)(2＋k)＋(t＋2)(1－2k)＝5t－5k＝0，∴t－k＝0.3．(文)(2010·湖南理)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于()A．－16B．－8C．8D．16[答案]D[解析]因为∠C＝90°，所以AC→·CB→＝0，所以AB→·AC→＝(AC→＋CB→)·AC→＝|AC→|2＋AC→·CB→＝AC2＝16.(理)(2010·天津文)如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC→＝3BD→，|AD→|＝1，则AC→·AD→＝()4A．23B.32C.33D.3[答案]D[解析]∵AC→＝AB→＋BC→＝AB→＋3BD→，∴AC→·AD→＝(AB→＋3BD→)·AD→＝AB→·AD→＋3BD→·AD→，又∵AB⊥AD，∴AB→·AD→＝0，∴AC→·AD→＝3BD→·AD→＝3|BD→|·|AD→|·cos∠ADB＝3|BD→|·cos∠ADB＝3·|AD→|＝3.4．(2010·湖南省湘潭市)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝()A．150°B．120°C．60°D．30°[答案]B[解析]∵a＋b＝c，|a|＝|b|＝|c|≠0，∴|a＋b|2＝|c|2＝|a|2，∴|b|2＋2a·b＝0，∴|b|2＋2|a|·|b|·cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－12，∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°.5．(2010·四川双流县质检)已知点P在直线AB上，点O不在直线AB上，且存在实数t满足OP→＝2tPA→＋tOB→，则|PA→||PB→|＝()A.13B.12C．2D．3[答案]B[解析]∵OP→＝2t(OA→－OP→)＋tOB→，∴OP→＝2t2t＋1OA→＋t2t＋1OB→，∵P在直线AB上，∴2t2t＋1＋t2t＋1＝1，∴t＝1，∴OP→＝23OA→＋13OB→，∴PA→＝OA→－OP→＝13OA→－13OB→，PB→＝OB→－OP→＝23OB→－23OA→＝－2PA→，∴|PA→||PB→|＝12.6．(文)平面上的向量MA→、MB→满足|MA→|2＋|MB→|2＝4，且MA→·MB→＝0，若向量MC→＝13MA→＋23MB→，则|MC→|的最大值是()A.12B．1C．2D.43[答案]D[解析]∵MA→·MB→＝0，∴MA→⊥MB→，又∵|MA→|2＋|MB→|2＝4，∴|AB|＝2，且M在以AB为直径的圆上，如图建立平面直角坐标系，则点5A(－1,0)，点B(1,0)，设点M(x，y)，则x2＋y2＝1，MA→＝(－1－x，－y)，MB→＝(1－x，－y)，∵MC→＝13MA→＋23MB→＝13－x，－y，∴|MC→|2＝13－x2＋y2＝109－23x，∵－1≤x≤1，∴x＝－1时，|MC→|2取得最大值为169，∴|MC→|的最大值是43.(理)(2010·山东日照)点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则AN→·AM→的最大值为()A．8B．6C．5D．4[答案]B[解析]建立直角坐标系如图，∵正方形ABCD边长为2，∴A(0,0)，N(2，－1)，AN→＝(2，－1)，设M坐标为(x，y)，AM→＝(x，y)由坐标系可知0≤x≤2①－2≤y≤0②∵AN→·AM→＝2x－y，设2x－y＝z，易知，当x＝2，y＝－2时，z取最大值6，∴AN→·AM→的最大值为6，故选B.7．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝7，则AO→·BC→等于()A.32B.52C．2D．3[答案]B[解析]AO→·BC→＝AO→·(AC→－AB→)＝AO→·AC→－AO→·AB→，因为OA＝OB.所以AO→在AB→上的投影为12|AB→|，所以AO→·AB→＝12|AB→|·|AB→|＝2，同理AO→·AC→＝12|AC→|·|AC→|＝92，故AO→·BC→＝92－2＝52.68．(文)已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝－1，则向量a与向量b的夹角为()A.π6B.π4C.π3D.π2[答案]C[解析]根据向量夹角公式“cos〈a，b〉＝a·b|a||b|求解”．由条件得a·b－a2＝－1，即a·b＝－3，设向量a，b的夹角为α，则cosα＝a·b|a||b|＝32×3＝12，所以α＝π3.9.(理)(2010·黑龙江哈三中)在△ABC中，AB→·BC→∈38，338，其面积S＝316，则AB→与BC→夹角的取值范围是()A.π6，π4B.π6，π3C.π4，π3D.π6，3π4[答案]A[解析]设〈AB→，BC→〉＝α，∵AB→·BC→＝|AB→|·|BC→|cosα，S＝12|AB→|·|BC→|·sin(π－α)＝12|AB→|·|BC→|·sinα＝316，∴|AB→|·|BC→|＝38sinα，∴AB→·BC→＝3cosα8sinα＝38cotα，由条件知38≤38cotα≤338，∴1≤cotα≤3，∵AB→·BC→0，∴α为锐角，∴π6≤α≤π4.10.(理)(2010·南昌市模考)如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且BF→＝2FA→，若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则FD→·FE→的值是()A．－34B．－89C．－14D．不确定[答案]B[解析]∵BF→＝2FA→，∴FA→＝13BA→，∴|FA→|＝13|BA→|＝13，FD→·FE→＝(FA→＋AD→)·(FA→＋AE→)＝(FA→＋AD→)·(FA→－AD→)＝|FA→|2－|AD→|2＝19－1＝－89.7二、填空题11．(2010·苏北四市)如图，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则(AB→＋DC→)·(AC→＋BD→)＝______.[答案]5[解析]设AC与BD相交于点O，则(AB→＋DC→)·(AC→＋BD→)＝[(OB→－OA→)＋(OC→－OD→)]·(AC→＋BD→)＝[(OB→－OD→)＋(OC→－OA→)]·(AC→＋BD→)＝(DB→＋AC→)(AC→＋BD→)＝|AC→|2－|BD→|2＝5.12．(文)(2010·江苏洪泽中学月考)已知O、A、B是平面上不共线三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若|OA→|＝7，|OB→|＝5，则OP→·(OA→－OB→)的值为________．[答案]12[解析]PA→＝PO→＋OA→，PB→＝PO→＋OB→，由条件知，|OA→|2＝49，|OB→|2＝25，|PA→|＝|PB→|，∴|PO→＋OA→|2＝|PO→＋OB→|2，即|PO→|2＋|OA→|2＋2PO→·OA→＝|PO→|2＋|OB→|2＋2PO→·OB→，∴PO→·(OA→－OB→)＝－12，∴OP→·(OA→－OB→)＝12.13.(理)(2010·广东茂名市)O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，则λ＝12时，PA→·(PB→＋PC→)的值为______．[答案]0[解析]由已知得OP→