套利定价理

第四章套利定价理论与市场的有效性•最早由美国学者斯蒂芬·罗斯于1976年提出，这一理论的结论与CAPM模型一样，也表明证券的风险与收益之间存在着线性关系，证券的风险越大，其收益则越高。但是，套利定价理论的假定与推导过程与CAPM模型很不同，罗斯并没有假定投资者都是厌恶风险的，也没有假定投资者是根据均值-方差的原则行事的。他认为，期望收益与风险之所以存在正比例关系，是因为在市场中已没有套利的机会。•传统理论是所有人调整，这里是少数人调整。(CAPM假设中所有人的投资顺序一致，因此环境一旦变化，人们都进行调整。而APT，没有这样强制性的条件，认为能够在市场中发现套利机会的人是少数人。)•套利（arbitrage）：简单的说就是套取利润。•最简单的套利:市场的参与者通过对多个市场的各个商品价格观察，找到价格差异，通过低价买入高价卖出的方式获得利润，如果交易成本忽略不计，利润的获得是稳定，没有风险的。•套利机会的来源：一价原则的偏离。•一价原则：Pa=Pb•Pa是a市场P商品的价格；Pb是b市场P商品的价格•如果二者发生了差异，同时价格差异超越了交易成本就会有套利机会。•现代电子通讯技术和实时执行操作技术的日益发达，套利机会的发现也越来越容易，但机会的存在时间性也越来越差。•证券投资中的套利（arbitrage）：根据一定的定价理论和方法寻找证券定价之间的不一致进行资金转移，从中赚取无风险利润的行为。套利行为需要”同时”进行等量证券的买卖，以便从其价格关系的差异中获得无风险利润。（发达证券市场中投资者可以双向操作，买证券和卖证券，信用交易保证了人们不用担心持有的货币资金和证券限制）•“同时”进行等量证券的买卖的意义:保证了套利结果对投资者的头寸没有影响,不会改变投资者持有的头寸.单纯的买入或者卖出,必然使投资者的头寸改变,增加的头寸或者减少的头寸将使投资者无法避免新的价格风险.•我们根据一定证券价格确定原则，如CAPM，证券的收益与风险成比例关系，如果市场上有与定价规则相违背的情况，就会有套利机会的出现。比如市场上A证券的收益比B证券的收益高，但同时风险没有B证券高，那么这个机会就可以为我们带来稳定的收益，我们卖出B证券，买入A证券，同时承受的风险是负的，这样就可以获得一定的安全利润。•注意：对冲买卖证券都将使你具有证券头寸（正的或负的），而大多数投资者的目的是获取价差收益，因此对于现在正的或负的头寸在将来都是要消除的，也就是卖出或买入相同数量的同样证券，这种在金融领域普遍的行为成为对冲。•有人认为在市场上违背单纯证券之间一般风险与收益成正比，这样的机会不好寻找，或者说即使你找到了，其他有人先于你找到，你操作的时间空间就很狭小，无法保证获得利润，因为套利的结果是证券之间的价格是符合定价原则的（风险和收益成正比）。但证券组合为我们提供了这样的机会，也就是可以找到A组合的收益比B组合的收益高，但同时风险没有B组合高。•因为，证券之间的协方差有正有负，同时还有数额上的差异，我们可以构建一个组合使组合的风险尽量小。同时在市场上寻找收益低于该组合，但风险高于该组合的证券•或者组合，这种机会是可以找到的。•比如，你在市场上找A、B两种证券，满足，A的收益大于B，一般A的风险也比B大，那么我们在A中不断的加入与A负协方差的其他证券，形成A组合,总会使A组合的收益仍然高于B证券,但A组合的风险不断减小，直到低于B。这样我们就可以套利了。•同时市场上一般有数千只证券，它们之间的组合我们可以看作有无穷多个，这种套利机会是很多的，我们不用担心别人先于你进行相同的操作。•套利这种活动是投资银行、基金公司、资产管理公司以及一些私募基金经常做的事情。•在发达的西方金融界有一种神秘而盛行的基金——对冲基金。（hedgingfund）•神秘：它的组建方式不同于一般的基金，采用私募的方式。基金投资者、资金募集方式、信息披露要求、和基金的运作这些都是一般人不了解的。•盛行：在国际金融界存在大量的游资（hotmoney）,游资经常以对冲基金的形式在整个世界寻求利润。同时一些国家大量的富裕人家为了取得高回报，也经常性的作为对冲基金的资金来源。对冲基金的回报一般以每年30%-40%向它们的出资人提供回报。•对冲：在买卖两种方向建立头寸，锁定利润。•由于在现货市场上卖空受到限制，所以经常在一些衍生品市场进行操作。为了保证高额的回报，它们经常通过杠杆方式成倍、成数十倍的放大自己的资金。•套利机会是金融学一个核心问题。•较为复杂套利机会的发现：人们经常寻找套利机会，因为利润的取得是没有风险。在实践中经常构造套利机会。•当投资者构造一个能产生安全利润的零投资组合时，套利机会就会出现，要构造零投资组合，投资者必须能够卖空至少一项资产，然后再去购买（做多头）一项或多项资产。•例题：四种价格相同股票的收益分布（%）名称高实际利率低实际利率高通胀率低通胀率高通胀率低通胀率概率0.250.250.250.25股票A-20204060股票B07030-20股票C90-20-1070股票D15231536四种股票的基本统计特征股票价格期望收益标准差相关系数ABCDA102529.581-0.15-0.290.68B102033.91-0.151-0.87-0.38C1032.548.15-0.29-0.8710.22D1022.258.580.68-0.380.221•我们现在要利用这四种股票，构建只少两个组合P1，P2，（组合也可以只包括一种证券）。套利行为要保证净头寸，也就是进行一买一卖的数量是相同的，买卖的行为后果对于投资者持有的证券价值没有改变。同时还要保证一买一卖能够取得无风险的利润，那么我们就要使得我们构建的组合P1，P2，满足R（P1）大于（P2），还要满足（P1）小于（P2）。组合标准差的计算，离不开协方差。•注意：正的协方差提高了资产组合的方差而负的降低了资产组合的方差。•我们现在还没有观察到套利机会。然而构造一个等权重的A、B、C的资产组合，与D进行比较，等权重的资产组合在所有环境中都比D的表现好。那么套利机会形成，投资者就可以对股票D做空，然后再购买等权重的资产组合。项目均值标准差相关系数三种股票的组合25.836.40.94股票D22.258.58等权重资产组合收益率与D的收益率项目高实际利率低实际利率高通胀低通胀高通胀低通胀A、B、C等权重资产组合23.3323.332036.67股票D15231536假设我们做30万股股票D的空头，然后用300万购买30万股等权重的资产组合，净头寸为零获得的利润分布为：（万）股票投资情况高实际利率低实际利率高通胀低通胀高通胀低通胀A100-20204060B10007030-20C10090-20-1070D-300-45-69-45-108组合0251152•从表中我们获知这种套利行为的净投资为零，但在任何情况下均可以产生正利润。等于一个摇钱树。如果发现这机会，众多投资者倾向于尽量多的卖空D，购买等权重的资产组合。这样的时间持续一段后，我们就会发现D的价格会下降，而A、B、C的价格会上升，套利机会逐渐消失。•因此在金融学中，在一个相对长期的视角来看，市场是均衡的，不存在套利机会，也就是经常我们所说的“天下没有免费的午餐”。寻找套利机会的例子概率股票A股票B股票C股票D股票E0.25-201478-71550.2580-56873760.25-1976-100-15-900.2573971246842套利定价理论的假定前提•①股票的收益率取决于系统因素和非系统因素；•②市场中存在大量的不同资产，是完全竞争的；•③市场中允许卖空，卖空所得款项归卖空者所有；•④投资者偏向获利较多的投资策略。•罗斯的分析是从单因素模型开始的，即有：•ri=E(ri)+biF+ei(4.1)•F表示共同因素对期望值的偏差，bi表示厂商i对共同因素的敏感性，ei表示厂商特定因素的扰动。该因素模型表明厂商的实际收益等于其初始期望收益加上一项未预料的整个经济环境引起的随机变量，再加上另一项由厂商特定事件引起的随机变量。•我们假定，系统F因素测度的是与宏观经济有关的新信息，它具有零期望值。非系统因素eI也具有零期望值，并与F相互独立。•根据APT理论，资产组合充分分散，非系统风险会完全分散掉。•假定有一由n种股票按等权重组成的资产组合，每一股票的权重为wi，因此有∑wi=1，则该资产组合的收益率为:•rP=E(rP)+bPF+eP(4.2)•这里，式中的bP是n种股票的bi的加权平均值，有bP=∑wibI；式中的eP是n种股票与F无关的ei的加权平均值，有eP=∑wiei。这一投资组合的方差分为系统的和非系统的两部分，有•2P=b2P2F+2(eP)(4.3)•关注非系统部分：•2（eP）=2（∑wiei）=∑wi²2(ei)•如果该组合是等权重的，wi=1/n：•2(eP，wi=1/n)=∑(1/n)²2(ei)•=1/n∑[2(ei)/n]=1/n2(ei)•当n足够大的时候，我们有理由相信：•2(eP)≈0，非系统风险是能够分散掉的•随着n增大而非系统风险趋于零的各种资产组合不仅仅包含等权重的资产组合，还有其他形式。任何能满足随n增大每个wi均稳定的减小（特别的，随n增大每个wi²趋于零）的投资组合都讲满足该组合的非系统风险随着n增大而趋于零。•这样，随着投资分散化程度的加强，资产组合的方差将接近于系统方差。•等权重资产组合方差的分解图•充分分散化的投资组合成立的条件：•按比例wi分散于足够大数量的证券中，而每种成分又足以小到使非系统风险可以忽略。•2P=b2P2F，P=bPF(4.3)•rp=E(rp)+bpF(4.4)•我们一般认为基金是可以做到这点的，因此基金有充分分散的优点。•充分分散化的几何表达：•图中的实线显示在不同的系统风险下，一个bA=1的充分分散化资产组合A的收益情况。资产组合A的期望收益是10%。•由于bA=1，因此资产组合的收益为•E(rA)+bAF=10%+1.0×F•如果系统因素F为3%，那么，资产••组合的收益就为10%+3%=13%；如•果系统因素F为-3%，那么，资产•组合的收益就为10%-3%=7%。•图上还有一条虚线，它代表另一充分分散化资产组合B的收益。我们假定其收益的期望值为8%，且bB也等于1。•那么，A和B是否可以在图中的条件下共存呢？•显然不行。因为不论系统因素为多大（二者的bPF相等），A大于B都会导致套利机会的出现。所有的投资者都会愿意买入资产组合A，同时卖空资产组合B，无论系统因素为多大，都可以获得2%的套利毛利润。•如果投资者的套利规模为1000万，套利的毛利润就是20万，还没有风险。在套利活动的作用下，两个资产组合的收益差会逐渐消失，相同贝塔值的充分分散化的资产组合的均衡收益是唯一的。一旦不再唯一，就有套利的机会，而套利会使收益差消除。不同贝塔值的风险溢价与贝塔成比例•假设无风险利率为4%，另一个充分分散化的投资组合C（b为0.5）的收益为6%。现在再考虑一个新的投资组合D，它有资产组合A和无风险资产各占一般组成。新组合的b为0.5，其收益为7%，D与C具有相同的b值。而b值是对系统风险的敏感度，在充分分散的条件下，只有系统风险，因此b值反应了风险问题。在风险一定的条件下，收益不一致，因此存在套利机会。而套利使得每一个b值对应唯一的期望收益。•因此，所有贝塔值不同的资产组合的收益都会在同一条斜线上，一旦出现不在一条线的情况，实际就等于有相同的贝塔值，但期望收益不同，这当然会导致套利。•风险溢价与贝塔（b值）成比例：•我们通过图，还可以看出，风险溢价，由竖向箭线表示，它由无风险利率与该资产组合的收益之间的距离表示。风险溢价在b值为零时也为零，并直接与b值成比例关系。套利定价与CAPM理论•假定市场资产组合是一个充分分散化的资产组合，由于风险溢价与贝塔值成比例，所以，其期望收益等于无风险收益加上其风险溢价水平。其一般形式为•E(rp)=rf+[E(rM)-r