您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 市场营销 > 期权定价公式及其应用
1.Black-Scholes公式经典的Black-Scholes期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。其公式为),()(),(21dNKedSNTSCrT其中T是到期时间,S是当前股价,是作为当前股价和到期时间的函数的欧式买入期权的价格.(,)CST第九章期权定价公式及其应用一、引言第一节Black-Scholes期权定价公式TrKSTd)2(log121Tdd12K是期权的执行价格,r是无风险证券的(瞬时)收益率,称为股价的波动率{volatility,这是一个需要测算的参数}N称为累积正态分布函数,定义为dydyedN2221)(图1期权价格曲线随到期时间T的变化Black-Scholes公式的方便之处在于除股价的波动率外,其他参数都是直接在市场上可以找到的。例如,如果这里价格以元计,时间以年计,从而涉及的两个比率都指的是年率。那么(以下的等号实际上都是近似等号)6296.1415)25.0(1.0eKerT21log(18/15)0.1(0.15)(0.5)0.250.150.250.210132.80170.075d7267.225.015.012dd把这些值代入公式,得到:利用累积正态函数在点2.8017和2.7267处的近似值,买入期权的价格是3.3749,即)7267.2(15)8017.2(18)25.0(1.0NeNC更精确的计算可得:3749.3)996.0(6296.14)997.0(18C3.3714C2.金融资产的定价问题金融资产的定价问题(assetvaluation)是现代财务金融理论的一个基本问题。对于具有固定现金流的金融产品、如债券等金融工具,其价格都是通过净现值方法来确定的。对于期权来讲,其风险究竟有多大?如何计算出相应的风险溢价以及未来的现金流?这都是较为难解决的问题。3.Black-Scholes公式发展过程(1)巴列切尔公式(Bachelier1900))()()(),(TSKnTTKSKNTKSSNTSCn是标准正态分布的密度函数法国数学家Bachelier·Louis,在其博士论文《TheTheoryofSpeculation》中首次给出了欧式买权的定价公式但他在建立模型时有3个假设与现实不符。第一,假设标的股票的价格服从标准正态分布。这使得股价出现负值的概率大于零,从而与现实明显不符。第二,认为在离到期日足够远的时候,买权的价值可能大于标的股票的价值,这显然也是不可能的。第三,假设股票的期望报酬(即股价变化的平均值)为零,这也违背了股票市场的实际情况。(2)斯普伦克莱(Sprenkle,1961))()1()(),(21dKNAdSNeTSCT在Bachelier的研究基础上,人们对期权定价问题进行了长期的研究。1961年Sprenkle提出了“股票价格服从对数正态分布”的基本假设,并肯定了股价发生随机漂移的可能性。是股票价格的平均增长率,A是对应的风险厌恶程度。Tdd12,)21(log121TKSTd其中(3)博内斯(Boness,1964)),()(),(21dNKedSNTSCT其中,,)21(log121TKSTdTdd121964年,Boness将货币时间价值的概念引入到期权定价过程,但他没有考虑期权和标的股票之间风险水平的差异。(4)塞缪尔森(Samuelson,1965))()(),(21)(dNKedNSeTSCTT其中,)21(log121TKSTdTdd12是期权价格的平均增长率。1965年,著名经济学家萨缪尔森(Samuelson)把上述成果统一在一个模型中。在1973年Black和Scholes提出Black—Scholes期权定价模型.我们可以看到,所有这些公式都与后来的Black-Scholes公式有许多相似的地方。1969年,他又与其研究生Merton合作,提出了把期权价格作为标的股票价格的函数的思想。20世纪60年代末,两人开始合作研究期权的定价问题,并找到了建立期权定价模型的关键突破点,即构造一个由标的股票和无风险债券的适当组合(买入适当数量的标的股票,同时按无风险利率借入适当金额的现金)。该组合具有这样的特点,即无论未来标的资产价格如何变化,其损益特征都能够完全再现期权在到期日的损益特征。Black和Scholes得到了描述期权价格变化所满足的随机偏微分方程,即所谓的B—S方程。从而得出了期权定价模型的解析解,这就是B—S模型。Merton也对期权定价理论和实践的发展做出了独立的和开创性的贡献,他几乎在与Black和Scholes同一时间,得到了期权定价模型及其他一些重要的成果。1976年,Merton把B—S期权定价模型推广到股票价格变化可能存在跳跃点的场合,并包含了标的股票连续支付股利的情况,从而把该模型的实用性又大大推进了一步,学术界将其称为Merton模型。另外Cox,Ross和Rubinstein等人还提出了二项式期权定价模型。他们最初的动机是以该模型为基础,从而为推导B-S模型提供一种比较简单和直观的方法。但是,随着研究的不断深入,二项式模型不再是仅仅作为解释B-S模型的一种辅助性工具,它已经成为建立复杂期权(如美式期权和非标准的变异期权)定价模型的基本手段。二、Black-Scholes期权定价公式(一)基本假设:1.股票价格满足的随机微分方程中,,为常数;2.股票市场允许卖空;3.没有交易费用或税收;4.所有证券都是无限可分的;5.证券在有效期内没有红利支付;6.不存在无风险套利机会;7.交易是连续的;8.无风险利率为常数.(二)股票价格的轨道在通常情况下,假设股票价格St满足下列随机微分方程:ˆttttttdSSdtSdw00tttdSSrdtˆw为概率空间),,(Pt上的Brownian运动(1)(三)期权套期保值寻找期权定价公式(函数)的主要思想:构造以某一种股票以及以该股票为标的的期权的一个证券组合,所构造的证券组合正好是一个无风险资产的复制。命题1设),(ttStC函数关于t一阶连续偏导数,关于x二阶连续有界偏导数,且满足终值条件:为期权现价格(t时刻的价格),)(),(TTTShSTC(,)tx则是下列偏微分方程的解:2222211(,)(,)(,)(,)02(,)()TTStSrStStSrtSTShS),(St为要套期保值此期权,投资者必须卖空2(,)tS股此股票(7)下面求复制期权的证券组合期权价格的分解:00ttttttttCnSCnSSS由此可知证券组合(portfolio)0(,)tttttCnSnS是自融资证券组合(四)方程(7)解的概率表示命题2设),(xtsy是下列随机微分方程的解:)()(),(),(),(tsxydwdsrydyxtssssxtsxts其中sw是定义在),,(Pt上的P-Brownian运动。又设),(xt是方程(7)式具有有界偏导数的解,则Feynman-Kac公式成立:])([),(),(txtTdsrpyheExtTts],0[),(TRtx(五)Black-Scholes公式定理1a)股票价格设所满足的方程(1)中的系数均为常数,则期权价格由下式给出:221()()()22(,)[()]1()2TstrdstQTtyTtyrTtrTtttSEehSehSeedy证明:a)由于tS所满足的方程(1)中的系数为常数,由tS所满足的随机微分方程可得到,tS的显示表达式:由条件期望性质可得a)的结果。对看涨期权(Calloption)由于()()hssX可令为执行集(exerciseset):(1())()()tQQQd(1)(2)(3)1(())tttCNdsS注⒈Black-Scholes公式不仅告诉我们Calloption的价格,且以证券组合的形式给出:债券的套期保值证券组合或者说复制Calloption的证券组合。1(())tNds股股票,需购买注⒉设Calloption和Putoption的价格分别为tCtP和,则有()rTttttCPSXe第二节期权价值的敏感性因素分析影响期权价值的因素一共有五个,即标的资产市场价格St、执行价格X、无风险利率r、距离到期日时间T-t和标的资产价格的波动率。一、标的资产价格变化对期权价值的一阶影响通常用Delta来表示期权价值对标的资产价格St变动的敏感性。1()cttDeltaCSNd从而可以近似地表示为:cDelta01010101exp{()}exp()CrttCSrttS期权组合而言,其Delta值为:iin二、标的资产价格对期权价值的二阶影响Gamma指的是期权Delta对于股票价格的一阶偏导数,也就是期权价值对于股票价格的二阶偏导数。买权Gamma的计算公式为:另一方面,由卖权Gamma的计算公式,我们可以知道卖权的Gamma值等于买权的Gamma值,即:pcGammaGamma212222()dtcttCeGammaSSTt⑴Gamma具有非负性。也就是说,无论对于买权还是卖权,在其他因素不变时,其Delta值都随着股票价格的上升而上升,随着股票价格的下降而下降。⑵Gamma与st的关系。当期权处于平价状态附近(也就是在附近),其Gamma相对比较大;当期权处于较深的亏价或盈价状态时,其Gamma接近于零。⑶Gamma与时间变量T-t的关系。如果期权处于平价状态,在其他因素不变的情况下,其Gamma值随着到期日的临近而变大。三、无风险利率对期权价值的影响买权价格对无风险利率变化的敏感度由Rho值来衡量,其公式为:()2()()rTttcCRhoTtXeNdr()2()()rTttpPRhoTtXeNdr由上面的计算公式,可得到Rho的如下特点:⑴Rhoc一般大于零,而Rhop一般小于零。只有在到(T=t),Rhoc和RhoP才会等于零。⑵相对于影响期权价值的其他因素而言,r的影响要小得多。⑶因为Rho的绝对值与T-t成正比,因此对于距到期日时间较长的期权,r对于其价值的影响不容忽视。四、标的资产价格波动率对期权价值的影响方差或标准差是布莱克-斯科尔斯模型中的重要变量,也称波动率,是股票连续计息收益率的标准差,它也是公式中唯一不可直接观测的变量买权价格对很小的波动率变化的反映被称为Vega,即:121()()tctCVegaSTtNd由买权价值与卖权价值可知卖权Vega与买权Vega完全相同cpVegaVega当期权处于平价状态时,其Vega值较大;当期权处于较深的盈价或亏价状态时,相应的Vega值较小。因此,期权Vega随变化的曲线是一个倒U形。五、到期时间长短对期权价值的影响由于到期时间的临近,期权的时间价值下降,这就造成期权的价格下降。时间价值的消耗用Theta表示,买权Theta的定义为tCTt)(]2[)(2)(211dNrXetTdNSThetatTrtc)(]2[)(2)(211dNrXetTdNSThetatTrtpcTheta始终是一个小于零的数pTheta则有可能大于零,第三节期权套期保值的基本原理一、有关期权套期保值的一个例子综上所述,甲所采取的上述套期策略具有以下两个特点:第一是自融资性(self—financing),即套期所需的资金只需期初一次性投人,此后,在套期的整个过程中不需要增加新的外部融资。或者说,套期策略只需要期初投入,不需要维持成本。第二是精确复制性(replicating),即套期策略能够
本文标题:期权定价公式及其应用
链接地址:https://www.777doc.com/doc-1457809 .html