期权的定价

有很多人因研究证券而名闻天下，但没有一个人因此而富甲天下。符号说明•C：欧式看涨期权价格•p：欧式看跌期权价格•S0：当前股价•X、K:执行价格•T:到期期限•:股价波动率•St：t时的股价•C:美式看涨期权价格•P:美式看跌期权价格•ST:期权存续期内股价•D:期权存续期内红利现值•r:T时刻到期的无风险收益率（复利）多头（买方）空头（卖方）亏损有限亏损无限权利买的权利卖的权利支付期权费基本术语：基础资产期权的执行价格期权费到期日看涨期权：预期标的资产价格上升看跌期权：预期标的资产价格下降第一节期权基础一、基本术语：美式期权欧式期权二、期权到期时的损益：期权交易者期末的损益1.看涨期权多头的损益损益STKtLtCSKCtSKtSKtSKtSK看涨期权多头看涨期权空头CCtSKCtKSCtLtCKSCtSKtSK多头时间股价0损益tS空头K2.看跌期权的损益损益STKtLtCSKCtSKtSKtSKtSK看跌期权多头看跌期权空头CCtSKCtKSCtLtCKSCtSKtSK多头0损益tS空头K三、期权的价值（期权费）：期权的价值＝内在价值+时间价值1.内在价值：指期权立即按执行价格执行时所具有的价值和零之间的最大值。SXSXSX价内期权（期权处于实值状态）平价期权价外期权（期权处于虚值状态）价内期权（期权处于实值状态）价外期权（期权处于虚值状态）平价期权看涨期权看跌期权max{,0}SX看涨期权的内在价值max{,0}XS看跌期权的内在价值0At-the-moneyoption：两平期权In-the-moneyoption：实值期权Out-of-the-moneyoption：虚值期权例如某股票的现价为42元，其看涨期权的执行价格为38元，则内在价值为4元。理解：当前的价值内在价值特征的几个概念内在价值不可能为负。2.期权的时间价值：期权费-内在价值原因：期权的权利和义务不对称，看涨期权的空头具有亏损无限而盈利有限的特征，时间价值是多头给予空头的风险补偿。时间价值的特征：执行价格既定时，期权距到期日越远，期权的价值越大，期权越接近到期日，时间价值就越小（时间价值衰减），并且距到期日的时间很长时，期权价值的衰减几乎是线性的，在距到期日还剩几周时，时间价值就开始急剧下降，到到期日时，期权的时间价值为0到期日时间时间价值期权有效期内随其标的资产价格波动可为持有者带来收益的可能性所隐含的价值。股价期权价值内在价值时间价值看涨期权价格期权的时间衰减特征对期权的出售方是有利的，水平价差组合的构造者就是希望通过出售期权来获取这种衰减的时间价值，因为他们希望到期时期权已无价值或价值大大减少。斜率小于1四、期权的特征杠杆性期权多头损失有限性和期权空头损失的无限性；权利和义务的不对称；期权的价值（或者说期权交易者的损益）与到期日基础资产的价格之间的关系是非线性的，这一点与期货不同；非线性特征使得求期权价格时，必须对基础资产建模，本章中的二叉树模型和B-S模型是典型的例子；无论基础资产市场是多头、空头还是盘整的，期权交易者都可获益。一、单期模型10090120C0dC20uC11.11.1第二节二叉树模型(binomialmodel)无风险利率股票X＝100的买权1.举例期初期末上升-180-180240180-60000下降（1）（2）（3）163.64-2003C0资产组合现金流（1）以10％的利率借入资金163.64，即到期还本付息180，（2）以价格100买入2股股票（3）以价格C卖出3份期权163.6420030C12.12C构建套利组合：000udhusBRChdsBRCBChs2.一般化（1）以r的利率借入资金B，即到期还本付息BR（）；（2）以价格S买入h股股票；（3）以价格C卖出1份期权。rBeSdSuSCdCuC1()uddCuCBRud无风险利率股票X＝S的买权1Rr1Rr()udCChSud()()()()()()rtrtududrtRdCuRCedCueCCRudeud()()rtedud(1)1()udrtCCCECRe令:风险中性概率期初期末上升-BR-BRhushds-Cu-Cd00下降（1）（2）（3）B-hSC0资产组合现金流风险中性定价与风险中性概率风险中性世界：通过数学变换（概率测度变换），把原来实际的概率空间变为一个新的概率空间，在这个新概率空间下，股价的收益率是无风险利率，同时，方差不变，因此称为风险中性定价。()(1)rtTESSuSdSe22()()[()]TTTVarSESES222()(1)()2[(1)]SuSdSud222(1)rttSee这时，股票的期望收益改为无风险收益，而方差不变。0.9201.2054.55()1.1(1.20.9)uddCuCBRud2002()100(1.20.9)3udCChSud()()(1.10.9)20(1.20.9)012.12()1.1(1.20.9)udRdCuRCCRud(1.10.9)2(1.20.9)3h：称为套头比，有时也称Delta()，是股票期权价格变化与标的股票价格变化之比，即对一单位现货头寸进行套期保值所需的套期工具单位数。解决上例：时间为T（以年为单位），将R改为：1rTRrTe10090120C0dC20uC11.11.1无风险资产股票X＝100的买权股价=$18股价=$22股价=$20例题：看涨期权，当前股票价格为$20，三个月末其价格将为$22或$18，该股票相应3个月期的看涨期权执行价为$21，假设无风险收益率（连续复利）为12%。解决：1.画出二叉树；2.求出u和d；3.求出套头比；4.求出风险中性概率；5.给该买权定价。股价=$22期权价格=$1股价=$18期权价格=$0股价=$20期权价格=?风险中性概率：0.120.25ee0.90.65231.10.9rTdud633.0)03477.016253.0(25.012.0eC22181.1,0.92020ud期权的价值为101()20(1.10.9)4udCChSud1001209014410881ABCDEF二、两期模型C值随时间节点的变化而变化，即随时间变化而变化。()1.10.92()1.20.93Rdud()udCChSuduC44uuCdC8udC0ddC121(448)29.091.133uC121(90)4.851.133dC121(29.094.85)19.101.133C29.094.850.81100(1.20.9)h14481120(1.20.9)h2800.390(1.20.9)h倒推算法：风险中性概率不变1.2u0.9d1.1R100X三、参数的确定1.确定,,ud的收益t的方差t11()ttRrtr()1()tERt()1()uudddtuERRRudttRt(1)()tRudtuduRudRdWhite算法：固定求u、d()trtr1tuetde12ud()/21()udt()/2udt1utt1dttCRR模型：确定u、d，再求取1tttRdrdedududud注：该概率并非风险中性概率，而是期望收益为μ的概率。tuefrtfRetde无套利要求：fuRd()ftrtt2ftr当标准差远远小于无风险收益率时，可能会产生套利，所以时间间隔的选择很重要，因为u、d是它的函数。2.单期期限的确定t3.标准差与期望收益的计算：统计学tue1/dutedud0.0833t（一个月）15＝％（每年）10%（每年）则：1.0443tue＝1/0.9576du＝0.5853tedud＝例题第三节Black-Scholes期权定价222()221122xxyzedxedx221()2xzxedx一、预备知识：正态分布与对数正态分布如果随机变量为正态分布，即，则称X服从对数正态分布lnX2ln(,)XN22()EXe222()(1)DXee好处：若X、Y均服从对数正态分布，则也服从对数正态分布abzXYln,XXYYe则(ln)EX2(ln)DX二、预备知识：股票价格模型的演绎1900年Bachelier：股价服从正态分布缺陷：有限负债，即股价不可能为负.简单净收益率（单利R）服从正态分布：缺陷：多期问题：多期收益是单期收益的乘积，单期是正态分布则多期不是正态分布。1()1ttSRS2t0t1tnttt0,11()nRRT对数收益率服从正态分布0,11,21,(1)(1)(1)nnRRR股价服从几何布朗运动：和对数收益率服从正态分布一致0t1t2T单期多期1ln())(,tttSrSN单期多期12001(1)()lnlnlnlnttTTtTSSSSrTSSSS212,())(TrrrN好处：解决有限负债和多期问题。()0rTTSSe0(1())TSSRT股价股价0aTTSSe2[()](,)tratNtt,00()limln()limln(1)tdttttdtdttSatRS若对数收益服从正态分布，则相对收益（短期收益）服从对数正态分布，由于S0为常数，故股价服从对数正态分布。三、对数收益：连续复合收益率，即连续复利率允许股价以递增的比率增长，同时它的复合增长率保持为常数。取值范围为，而短期收益为，符合有限负债。价格的对数分布是向右偏斜的，这与经验数据相容。()at(,)r(1,)1.t时刻的瞬时收益：()at为常数a()at为可导函数0()0TatdtTSSe()at为随机变量2()(,)atN四、标准布朗运动：维纳过程一个随机过程，它在一个微小时间间隔之间变化为，如果：ttBBBtB（1）（2）（3）对于任意两个不同时间间隔，相互独立，即独立增量00B2.性质：称为标准的布朗运动tB维纳过程处处连续但处处不可导：独立增量意味着tB1tB不能由预测，过程（曲线）是不光滑的。(0,)tBNt有关增量tBtB是随机变量：()0tEB()tVarBt这意味着：可取任意值tB1.定义：()(0,)tsBBNts,ts43210,tttt4321()()BBBB和不相关维纳过程的一阶变差和在任意区间内都非有界11ntttBB121ntttBB维纳过程的二阶变差和收敛，且当max0t它以概率1收敛tTtn01nTTiiBBBt这意味着：可能是无穷大TBT：为任意长的时间，可能很短。221()()nTiiBtT2()tBt随机微分：沿用微分的符号：2()tdBttdBdttdBdtdt乘积000tdB随机微分规则dSdtdB22()()dSdtdB2222()()2()()()dtdBdtdBdBdtdB是随机微积分的基本元素，也是