求数列通项公式的6种方法

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的7种方法：累加法、累乘法、待定系数法、倒数变换法、由和求通项定义法（根据各班情况适当讲）二。基本数列：等差数列、等比数列。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法1．适用于：1()nnaafn----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。例1已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以数列{}na的通项公式为2nan。例2已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解法一：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn所以31.nnan解法二：13231nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaan因此11(13)2(1)2113133133223nnnnnann，则21133.322nnnan练习1.已知数列na的首项为1，且*12()nnaannN写出数列na的通项公式.答案：12nn练习2.已知数列}{na满足31a，)2()1(11nnnaann，求此数列的通项公式.答案：裂项求和nan12评注：已知aa1,)(1nfaann，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。二、累乘法1.适用于：1()nnafna----------这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2．若1()nnafna，则31212(1)(2)()nnaaafffnaaa，，，两边分别相乘得，1111()nnkaafka例4.设na是首项为1的正项数列，且011221nnnnaanaan（n=1，2，3，…），则它的通项公式是na=________.解：已知等式可化为：0)1()(11nnnnnaanaa0na(*Nn)(n+1)01nnnaa,即11nnaann2n时，nnaann11112211aaaaaaaannnnn=121121nnnn=n1.评注：本题是关于na和1na的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到na与1na的更为明显的关系式，从而求出na.练习.已知11(1),1nnnanaa,求数列{na}的通项公式.三、待定系数法适用于1()nnaqafn基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1．形如0(,1cdcaann,其中aa1)型例6已知数列{}na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。解法一：121(2),nnaan112(1)nnaa又112,1naa是首项为2，公比为2的等比数列12nna，即21nna解法二：121(2),nnaan121nnaa两式相减得112()(2)nnnnaaaan，故数列1nnaa是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……练习．已知数列}{na中，,2121,211nnaaa求通项na。答案：1)21(1nna2．形如：nnnqapa1(其中q是常数，且n0,1)①若p=1时，即：nnnqaa1，累加即可.②若1p时，即：nnnqapa1，求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以1np.目的是把所求数列构造成等差数列即：nnnnnqppqapa)(111,令nnnpab，则nnnqppbb)(11,然后类型1，累加求通项.ii.两边同除以1nq.目的是把所求数列构造成等差数列。即：qqaqpqannnn111,令nnnqab,则可化为qbqpbnn11.然后转化为类型5来解，iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设)(11nnnnpapqa.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。例7已知数列{}na满足1112431nnnaaa，，求数列na的通项公式。解法一（待定系数法）：设11123(3nnnnaa)，比较系数得124,2，则数列143nna是首项为111435a，公比为2的等比数列，所以114352nnna，即114352nnna解法二（两边同除以1nq）：两边同时除以13n得：112243333nnnnaa，下面解法略解法三（两边同除以1np）：两边同时除以12n得：nnnnnaa)23(342211，下面解法略**3．形如bknpaann1(其中k,b是常数，且0k)例8在数列}{na中，,23,111naaann求通项na.（逐项相减法）解：，,231naann①2n时，)1(231naann，两式相减得2)(311nnnnaaaa.令nnnaab1,则231nnbb利用类型5的方法知2351nnb即13511nnnaa②再由累加法可得213251nann.亦可联立①②解出213251nann.**5.形如21nnnapaqa时将na作为()fn求解分析：原递推式可化为211()()nnnnaapaa的形式，比较系数可求得，数列1nnaa为等比数列。例11已知数列{}na满足211256,1,2nnnaaaaa，求数列{}na的通项公式。解：设211(5)()nnnnaaaa比较系数得3或2，不妨取2，（取-3结果形式可能不同，但本质相同）则21123(2)nnnnaaaa，则12nnaa是首项为4，公比为3的等比数列11243nnnaa，所以114352nnna练习.数列{}na中，若2,821aa,且满足03412nnnaaa,求na.答案：nna311.四、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例16已知数列{}na满足112,12nnnaaaa，求数列{}na的通项公式。解：求倒数得11111111111,,22nnnnnnaaaaaa为等差数列，首项111a，公差为12，112(1),21nnnaan五、由和求通项已知数列{}na的各项均为正数，且前n项和nS满足2132,2nSnna求数列{}na的通项公式。例19已知数列{}na的各项均为正数，且前n项和nS满足1(1)(2)6nnnSaa，且249,,aaa成等比数列，求数列{}na的通项公式。解：∵对任意nN有1(1)(2)6nnnSaa⑴∴当n=1时，11111(1)(2)6Saaa，解得11a或12a当n≥2时，1111(1)(2)6nnnSaa⑵⑴-⑵整理得：11()(3)0nnnnaaaa∵{}na各项均为正数，∴13nnaa当11a时，32nan，此时2429aaa成立当12a时，31nan，此时2429aaa不成立，故12a舍去所以32nan练习。已知数列}{na中,0na且2)1(21nnaS,求数列}{na的通项公式.答案：nnnaSS1212)1()1(nnaa12nan定义法16．已知等比数列na的公比q=3，前3项和3133S（I）求数列na的通项公式；