欧式期权定价

期权市场概述金融期权（Option），是指赋予其购买者在规定期限内按双方约定的价格（简称协议价格StrikingPrice）或执行价格（ExercisePrice）购买或出售一定数量和质量某种金融资产（称为潜含金融资产UnderlyingFinancialAssets，或标的资产）的权利的合约。（一）金融期权合约的定义例如，一个投资者购买一份基于DELL股票的期权合约，该期权合约规定，投资者在支付140美元的期权费之后，就可以获得在一个月后以32.5美元/每股的价格买入100股DELL股票的权利。到时候，如果DELL股票的价格高于32.5美元，这个投资者就可以执行期权，以32.5美元/每股的价格买入100股DELL股票，从中获利，显然这时DELL股票价格越高越好；如果DELL股票价格低于32.5美元，该投资者就可以放弃执行期权，他的全部损失就是最初支付的每股1.4美元的期权费。而对于这个期权的卖方来说，如果到期时DELL股票的价格高于32.5美元，期权买方必然执行期权，他就必须以32.5的价格卖出100股DELL股票，遭受损失；如果DELL股票价格低于32.5美元，期权买方必然放弃执行期权，期权卖方的全部收入就是最初支付的每股1.4美元的期权费。可见，期权卖方通过获得一定的期权费收入，承担了可能会有的所有损失。这一协议乍看之下不太合理，但事实上市场是公平的，期权费的设定是通过对未来价格变化概率的精密计算得出的，在正常情形下足以弥补期权卖方所承担的一般损失。按期权买者的权利划分，期权可分为看涨期权（CallOption）和看跌期权（PutOption）。看涨期权(calloption):持有者有权在确定时间，按确定的价格购入一定数量和质量的原生资产的合约。（买权）看跌期权(putoption):持有者有权在确定时间，按确定的价格出售一定数量和质量的原生资产的合约。（卖权）（二）期权的分类按期权买者执行期权的时限（实施条款）划分，期权可分为欧式期权和美式期权。欧式期权(Europeanoptions):只能在合约规定的到期日实施。美式期权（Americanoptions）:能在合约规定的到期日以前（包括到期日）的任何一个工作日实施。按照期权合约的标的资产划分，金融期权合约可分为利率期权、货币期权（或称外汇期权）、股价指数期权、股票期权以及金融期货期权，而金融期货又可分为利率期货、外汇期货和股价指数期货三种。对于期权的买者来说，期权合约赋予他的只有权利，而没有任何义务。作为给期权卖者承担义务的报酬，期权买者要支付给期权卖者一定的费用，称为期权费（Premium）或期权价格（OptionPrice）。期权费视期权种类、期限、标的资产价格的易变程度不同而不同。期权的实质仍然是：在支付了一定的期权费之后，期权赋予了其持有者（购买方）做某件事情的权利，但持有者却不一定要行使这个权利。（三）期权双方的权利和义务（四）到期日期权的收益（期权的价值）：()TTVSK---------------看涨期权()TTVKS---------------看跌期权其中K------------敲定价格T------------原生资产在到期日的价格TS------------到期日期权金：期权是一种未定权益，具有价值，为获得这个未定权益所需要付出的代价称为期权金。到期日期权的持有人(购买者或多头)的总收益TP()TTPSKp---------------看涨期权()TTPKSp---------------看跌期权p---------期权金到期日期权的出售人(空头)的总收益()TTPpSK---------------看涨期权()TTPpKS---------------看跌期权pKTSTP购买(持有)欧式看涨期权的收益(欧式看涨期权的多头)TSTPKp购买(持有)欧式看跌期权的收益(欧式看跌期权的多头)KTSTPp出售欧式看涨期权的收益(欧式看涨期权的空头)TSTPKp出售欧式看跌期权的收益(欧式看跌期权的空头)期权定价问题就是求(,)ttVVSt使得()(,)()TTTTSKVVSTKS---------看涨期权---------看跌期权特别当0t时,股票价格为0S问0(,0)?pVS()0t时期权的价格（五）期权定价欧式期权定价---Black-Schole公式一、Black-Schole方程基本假设(a)原生资产价格演化遵循几何Brown运动tttdSdtdWS(b)无风险利率r是常数,(c)原生资产不支付股息,(d)不支付交易费和税收,(e)不存在套利机会.,VVSt是期权的价格，则在期权的到期日时,SKVSTKS看涨期权看跌期权构造投资组合VS选取适当的使得在,ttdt时段内，是无风险的。ttdtttdrdttttttddVdSrVSdt由Ito公式222212ttVVVVdVSSdtSdWtSSS无套利原理代入上式得222212tVVVVSSSdtSSdWtSSSrVSdt由于等式右端是无风险的，因此等式左端随机项dWt的系数必为0，即选取VS消去dt后得到2222102VVVSrSrVtSSBlack-Schole方程确定期权的价值,VSt就是要在区域:0,0StT上求解如下定解问题2222102VVVSrSrVtSStTSKVKS看涨期权看跌期权二、Black-Schole公式1、先作如下变换，将Black-Schole方程化为常系数抛物型方程的初值问题（Cauchy问题）令ln,xSTt原方程变为22221022,0VVVrrVxxxT0xxeKVKe看涨期权看跌期权方程（1）2、定理（Poisson公式）齐次热传导方程2220,0uuatxuxx的解为2241,2xatuxtedatPoisson公式3、将方程（1）变为热传导方程作函数变换,,xVxuxe则22xxxxxxxxxxVeuuVeuuVeuuu将它们代入方程（1）有22222202222xxxuururru令2222202022rrr即222222222112212222rrrrrr则方程（1）化为如下热传导方程形式2220002xxxuuxueVeeK看涨期权的边界条件4、求方程的解析解由Poisson公式有22222222ln12ln1,21212xxKxKuxeeKedeeKedeKeed2222222222112221122122ln12,,,1()2rrrxxxrrrxKVxuxeeuxeeKeedII22222222211221221ln122ln1212xrrrxKxrrKIeeedeeed令22xr则222222221ln2221ln2222rxrxKrxxKreIeedeed再令2dd则222221ln2211ln22212121ln2xxKrxKrxxxeIedeedeNxKreNd211ln2dxKr2222221122222ln1()2xrrrxKIeKeed同理2222221222lnln2222221ln2xrrKrxKrrrKIeedeKedKeNxKrKeNd2211ln2dxKrd变回原变量，有2212lnln()2,()lnln()2()rTtrTtSKrTtVStSNTtSKrTtKeNTtSNdKeNd欧式看涨期权的定价公式其中2121lnln()2SKrTtdTtddTt利用欧式看涨期权与看跌期权的平价公式2111rTtrTttttpcKeSKeNdSNd以及111NdNd有欧式看跌期权定价公式为21,rTtVStKeNdSNd三、Black-Schole公式的风险中性定价方法1、对数正态分布的密度函数定理设2~,,,Ne则的密度函数为22ln21,020,0xexPxxx2、股票价格S(t)满足的随机微分方程的解定理若股票价格S(t)满足如下随机微分方程ttdSrdtdWdt则22TtrTtWWTtSSe3、ST的密度函数222lnln2~,2TtTtSSrTtWWNrTtTtST的密度函数为222lnln221,020,0txSrTtTtPxexxTtx4、风险中性定价方法,rTtQTVSteESK222222222ln22ln22ln221212122xrTtSTtQTKxrTtSTtKxrTtSTtKESKxKedxxTtedxTtKedxxTtII22222222ln2121ln22ln212ln22ln12121212xrTtSTtKySrTtTtyKrTtSTtyTtrTtKrTtSTturTtKrS