第4章无套利定价原理

《金融工程》主讲人：刘玉灿南京理工大学经济管理学院第四章无套利定价原理第二章无套利定价原理•第一节什么是套利•第二节无套利定价原理第一节什么是套利•例1•实际上是一种赚取差价的行为。如果签订合同、交货时间相同，近似于远期合约交易中的套利行为。某公司生产商A生产商B10吨10吨1.7*101.5*10图2-1商业贸易中的“套利”行为一、套利机会•套利机会（ArbitrageOpportunity）是指这样的一个机会，能以较低价格买进一项产品（商品、资产等）的同时，马上可以以较高的价格卖出该项产品，并且买卖交易时间（签约）和买卖交货时间又分别完全相同，如果不考虑交易过程中的各种费用，不考虑违约的情况。•例1中商业贸易的盈利过程可看成一种近似的“套利”：信息成本、空间成本、时间成本等，还有税收等二、金融市场中的套利行为•1、专业化、电子化交易市场的存在------信息成本•2、金融产品的无形化------空间成本•3、金融市场存在的卖空机制大大增加了套利机会。•4、金融产品在时间和空间上的多样性使得套利更为多样。–现货市场和期货市场；同一基础资产的期权和期货等等。三、无风险套利•在金融理论中，套利是指一个能产生无风险盈利交易策略。•在实际中，套利是指承受很低风险的盈利策略。第二节无套利定价原理•一、无套利定价原理的含义及存在的条件•1、无（风险）套利定价原理的含义金融产品在市场上的合理定价就是使得市场不存在无风险套利机会的价格。•无套利定价原理的基本思想：有效市场是不存在无风险套利机会的。•即使套利机会存在，也是暂时的。金融市场上实施套利行为非常方便和迅速。2、无套利机会存在的条件•（1）存在两个不同的资产组合，它们的未来损益（payoff）相同，但成本不同。损益可看成是现金流。•（2）存在两个相同成本的资产组合，但第一个组合在所有的可能状态下的损益都不低于第二个组合，而且至少存在一种状态，在此状态下第一个组合的损益要大于第二组合的损益。•（3）一个组合其构建的成本为零，但在所有可能的状态下，这个组合的损益都不小于零，而且至少存在一种状态，在此状态下这个组合的损益要大于零。3、无套利机会存在条件的定价表述•（1）同损益同价格：如果两种证券具有相同的损益，则两种证券具有相同的价格。•（2）静态组合复制定价：如果一个资产组合的损益等同于一个证券，那么这个资产组合的价格等于该证券的价格。这个资产组合称为该证券的“复制组合”（replicatingportfolio）。•（3）动态组合复制定价：如果一个自融资（self-financing）交易策略最后具有和一个证券相同的损益，那么这个证券的价格等于自融资交易策略的价格。动态套期保值策略（dynamichedgingstrategy）。二、确定条件下无套利定价原理的应用•1、同损益同价格•例2假设两个零息债券A和B，两者都是在1年后的同一天到期，面值都为100元。如果债券A的当前价格为98元，并假设不考虑交易成本和违约情况。•问题：（1）债券B的当前价格应该为多少？（2）如果债券B的当前价格为97.5元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？分析与解答•（1）债券B的当前价格应该为98元。•（2）债券B的当前价格为97.5元，债券B的价值被低估。债券A与B间存在套利机会。•套利策略：卖空价格高的证券，买进价格低的证券。•即卖空债券A，获得98元，用97.5元买进B债券，套利盈利为0.5元。1年后到期日，债券B的面值刚好用于支付卖空债券A的面值。2、静态组合复制定价•例3假设3种零息债券的面值都为100元，它们当前的价格分别为：（1）1年后到期的零息债券的当前价格为98元；（2）2年后到期的零息债券的当前价格为96元；（3）3年后到期的零息债券的当前价格为93元；•并假设不考虑交易成本和违约情况。•问题：（1）如果有一个债券A的息票率为10%，1年支付一次利息，期限为三年。问债券A当前价格应该为多少？（2）如果该债券的当前价格为120元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？分析与解答•（1）息票率为10%，1年支付1次利息的三年后到期的债券A的损益图：•构造相同损益的复制组合：（1）买进0.1张的1年后到期的零息票债券，损益刚好100×0.1=10元；（2）买进0.1张的2年后到期的零息票债券，损益刚好100×0.1=10元；（3）买进1.1张的3年后到期的零息票债券，损益刚好100×1.1=110元；98×0.1＋96×0.1＋93×1.1=121.7•（2）债券A的当前价格为120元，小于当前价格121.7，债券A被低估。存在套利机会。01年末2年末3年末1101010例3•套利策略：卖空价格高的证券，买进价格低的证券。•卖空无套利定价原理中的复制组合，获得121.7元，用120元买进债券A，套利盈利为1.7元。（1）卖空0.1张的1年后到期的零息票债券；（2）卖空0.1张的2年后到期的零息票债券；（3）卖空1.1张的3年后到期的零息票债券；（4）买进1张息票率为10%，1年支付1次利息的三年后到期的债券A。3、动态组合复制定价•例4假设从现在开始1年后到期的零息债券的当前价格为98元，从1年后开始在2年后到期的零息债券的价格恰好为98元。并假设不考虑交易成本和违约情况。•问题：（1）从现在开始2年后到期的零息债券的价格应该为多少？（2）如果从现在开始2年后到期的零息债券的当前价格为97元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？分析与解答•（1）三种债券的价格与损益图：•自融资的交易策略：（1）先在当前买入0.98份的债券Z0x1;（2）在第1年末0.98份债券Z0x1到期，获得0.98×100=98元;（3）在第1年末再用获得的98元买入1份的债券Z1x2;其损益就是在2年末获得本金100元。初始成本：•98×0.98=96.04第1年末损益:100价格：98Z0x1:当前价格第1年末第2年末损益:100Z0x2:第2年末损益:100价格：98Z1x2例4•（2）从现在开始2年后到期的零息债券的当前价格为97元，其价值被高估。存在套利机会。•套利策略：卖空价格高的证券，买进价格低的证券。•卖空1份Z0x2债券，获得97元，用96.04元买进无套利定价原理中的自融资复制组合，套利盈利为0.96元。（1）卖空1份Z0x2债券，获得97元，在2年后支付100元；（2）在获得的97元中用96.04元，购买0.98份Z0x1；（3）在第1年末0.98份债券Z0x1到期，获得100×0.98=98元;（4）在第1年末再用获得的98元买入1份的债券Z1x2;（5）在2年末，零息票债券到期获得100元，用于支付卖空1份Z0x2债券的100元。4、存在交易成本时的无套利定价原理•不一定给出金融产品的确切价格，可能可以给出一个产品的价格区间，即价格的上限和下限。•例5假设两个零息债券A和B，两者都是在1年后的同一天到期，面值都为100元。并假设购买债券不考虑交易成本和违约情况，但是假设卖空1份债券需支付1元的费用，出售债券也需要支付1元的费用。如果债券A的当前价格为98元。•问题：（1）债券B的当前价格应该为多少？（2）如果债券B的当前价格为97.5元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？分析与解答•（1）按照无套利定价原理，在没有交易成本时，债券B的合理价格为98元，即债券B的理论价格。价格下限的确定：用理论价格减去卖空债券A的费用，即可得债券B的价格下限：98－1=97元。当债券B的市场价格小于97元时，应采用的策略：卖空债券A，买进债券B。价格上限的确定：用理论价格加上卖空债券B的费用，即可得债券B的价格上限：98＋1=99元。当债券B的市场价格大于99元时，应采用的策略：卖空债券B，买进债券A。因此债券B的合理价格区间为[97，99]。•（2）债券B的价格为97.5元，将无法使用套利策略获得盈利。•对于存在交易成本时的无套利定价原理总结如下：（1）存在交易成本时，无套利定价原理可能无法给出确切的价格，但可以给出一定的价格区间；（2）存在交易成本的价格区间：先不考虑交易成本，根据无套利定价原理计算出理论价格，然后再根据此价格减去最小交易成本确定为下限价格，理论价格加上最小交易成本确定为上限价格。三、不确定状态下无套利定价原理应用•1、同损益同价格•例6另外，假设不考虑交易成本。•问题：（1）证券B的当前价格应该为多少？100（2）如果证券B的当前价格为99元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？卖空A10010595风险证券APB10595风险证券B2、静态组合复制定价•例7假设借贷资金的年利率均为0，不考虑交易成本。•问题：（1）证券B的当前价格应该为多少？（2）如果证券B的当前价格为110元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？10010595风险证券APB120110风险证券B111资金借贷•存在两个相同成本的资产组合，但第一个组合在所有的可能状态下的损益都不低于第二个组合，而且至少存在一种状态，在此状态下第一个组合的损益要大于第二组合的损益。分析与解答•（1）构建一个组合：x份证券A和y份的借贷（y0为借出钱，y0为借入钱），要使得组合的损益与B完全相同，则•（2）证券B的当前价格为110元，存在套利机会。110120y11x95105•解得：x=1，y=15。因此，持有1份证券A和借出现金15份的组合的损益与持有证券B的损益完全相同，所以，证券B的价格等于组合的价格，即•100×1＋1×15=115元•构造套利策略：卖空无风险套利原理的复制组合，1份证券A和15份现金；买进1份证券B。即：买进证券B，卖空证券A，借出现金15元。套利策略的盈利：-110+100+15=5元。3、动态组合复制定价•例8另外，假设借贷资金的年利率均为5.06%，半年利率为2.5%（半年期利率为5%），不考虑交易成本。•问题：（1）证券B的当前价格应该为多少？（2）如果证券B的当前价格为110元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？100110.2590.25风险证券A99.75资金借贷11.05061.05061.0506PB125109风险证券B112.5不完全市场•静态组合复制构建一个组合：x份证券A和y份的借贷（y0为借出钱，y0为借入钱），要使得组合的损益与B完全相同，则1095.112125y1.05061.05061.0506x25.9075.9925.110•方程无解。因为损益存在三种状态时，仅依靠两种证券的组合是无法复制出任意一种三状态的证券的。•不完全市场：存在一种损益形式，它无法通过持有市场中存在的证券组合来实现。•完全市场：任意一种损益形式都可以通过持有市场中存在的证券组合来实现。分析与解答•Arrow-Debreu证明：在某些条件下，随着时间而调整组合的动态组合策略可复制出依靠静态组合无法复制的证券。•动态组合复制定价：把1年的持有期拆成两个半年，在半年后就可调整组合。风险证券A10010595110.2599.7590.25风险证券BPBPB1125112.25109PB2动态组合复制定价•动态复制组合实际上是多期的静态复制策略，只要从后往前应用静态复制策略即可得到动态复制策略。资金借贷11.05061.0251.0251.05061.0506动态组合复制定价•（1）证券在中期价格为105时：•解得：x=1.19，y=-5.90，资金的借贷价格为1.025，y×1.025=-6.05。•证券B在此时的价格为：PB1=105×1.19-5.90×1.025=118.9112.5125y1.05061.0506x99.75110.25•（2）证券在中期价格为95时：•解得：x=0.368，y=72.14。证券B在此时的价格为：PB2=95×0.368+72.14×1.025=108.9