第九讲无套利定价原理总结

第九讲无套利定价原理总结商业贸易中的套利行为15,000元/吨贸易公司卖方甲买方乙17,000元/吨铜铜在商品贸易中套利时需考虑的成本：（1）信息成本：（2）空间成本（3）时间成本金融市场中的套利行为专业化交易市场的存在•信息成本只剩下交易费用•产品标准化金融产品的无形化－－没有空间成本金融市场存在的卖空机制大大增加了套利机会金融产品在时间和空间上的多样性也使得套利更为便捷套利的定义套利•指一个能产生无风险盈利的交易策略。•这种套利是指纯粹的无风险套利。但在实际市场中，套利一般指的是一个预期能产生无风险盈利的策略，可能会承担一定的低风险。“无套利定价”原理“无套利定价”原理–金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市场不存在套利机会。那什么是套利机会呢？套利机会的等价条件（1）存在两个不同的资产组合，它们的未来损益（payoff）相同，但它们的成本却不同；–损益：现金流–不确定状态下：每一种状态对应的现金流（2）存在两个相同成本的资产组合，但是第一个组合在所有的可能状态下的损益都不低于第二个组合，而且至少存在一种状态，在此状态下第一个组合的损益要大于第二个组合的支付。（3）一个组合其构建的成本为零，但在所有可能状态下，这个组合的损益都不小于零，而且至少存在一种状态，在此状态下这个组合的损益要大于零。无套利定价原理（1）同损益同价格–如果两种证券具有相同的损益，则这两种证券具有相同的价格。（2）静态组合复制定价：–如果一个资产组合的损益等同于一个证券，那么这个资产组合的价格等于证券的价格。这个资产组合称为证券的“复制组合”（replicatingportfolio）。（3）动态组合复制定价：–如果一个自融资（self-financing）交易策略最后具有和一个证券相同的损益，那么这个证券的价格等于自融资交易策略的成本。这称为动态套期保值策略（dynamichedgingstrategy）。确定状态下无套利定价原理的应用案例1：假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天支付100元的面值。如果A的当前价格为98元。另外，假设不考虑交易成本。问题：（1）B的价格应该为多少呢？（2）如果B的市场价格只有97.5元，问如何套利呢？应用同损益同价格原理：B的价格也为98元如果B的市场价格只有97.5元，卖空A，买进B案例2：假设当前市场的零息票债券的价格为：①1年后到期的零息票债券的价格为98元；②2年后到期的零息票债券的价格为96元；③3年后到期的零息票债券的价格为93元；另外，假设不考虑交易成本。问题：（1）息票率为10％，1年支付1次利息的三年后到期的债券的价格为多少呢？（2）如果息票率为10％，1年支付1次利息的三年后到期的债券价格为120元，如何套利呢？•未来损益图：1年末2年末3年末1010110静态组合复制策略（1）购买0.1张的1年后到期的零息票债券，其损益刚好为100×0.1＝10元；（2）购买0.1张的2年后到期的零息票债券，其损益刚好为100×0.1＝10元；（3）购买1.1张的3年后到期的零息票债券，其损益刚好为100×1.1＝110元；根据无套利定价原理的推论0.1×98＋0.1×96＋1.1×93＝121.7问题(2)的答案：市场价格为120元，低估B，则买进B，卖出静态组合（1）买进1张息票率为10％，1年支付1次利息的三年后到期的债券；（2）卖空0.1张的1年后到期的零息票债券；（3）卖空0.1张的2年后到期的零息票债券；（4）卖空1.1张的3年后到期的零息票债券；案例3：假设从现在开始1年后到期的零息票债券的价格为98元，从1年后开始，在2年后到期的零息票债券的价格也为98元（1年后的价格）。另外，假设不考虑交易成本。问题：（1）从现在开始2年后到期的零息票债券的价格为多少呢？（2）如果现在开始2年后到期的零息票债券价格为99元，如何套利呢？(1)从现在开始1年后到期的债券Z0×1第1年末支付:100价格:98(2)1年后开始2年后到期的债券Z1×2第2年末支付:100价格:98(3)从现在开始2年后到期的债券Z0×2第2年末支付:100价格:？动态组合复制策略：（1）先在当前购买0.98份的债券Z0×1；（2）在第1年末0.98份债券Z0×1到期，获得0.98×100＝98元；（3）在第1年末再用获得的98元去购买1份债券Z1×2；交易策略现金流当前第1年末第2年末(1)购买0.98份Z0×1-98×0.98=-96.040.98×100=98(2)在第1年末购买1份Z1×2-98100合计：-96.040100这个自融资交易策略的损益：–就是在第2年末获得本金100元，这等同于一个现在开始2年后到期的零息票债券的损益。这个自融资交易策略的成本为：98×0.98＝96.04自融资交易策略是指除了初始投资（initialinvestment）之外，在投资过程中，不追加任何投资，也不从投资中转移资本，只通过资产组合本身所含资产的等额买卖进行资产组合的结构调整。如果市价为99元，如何套利•构造的套利策略如下：（1）卖空1份Z0×2债券，获得99元，所承担的义务是在2年后支付100元；（2）在获得的99元中取出96.04元，购买0.98份Z0×1；（3）购买的1年期零息票债券到期，在第一年末获得98元；（4）再在第1年末用获得的98元购买1份第2年末到期的1年期零息票债券；（5）在第2年末，零息票债券到期获得100元，用于支付步骤（1）卖空的100元；交易策略现金流当前第1年末第2年末(1)卖空1份Z0×299-100(2)购买0.98份Z0×1-0.98×98=-96.040.98×100=98(3)在第1年末购买1份Z1×2-98100合计：99-96.04=2.9600不确定状态下的无套利定价原理的应用不确定状态：–资产的未来损益不确定–假设市场在未来某一时刻存在有限种状态–在每一种状态下资产的未来损益已知–但未来时刻到底发生哪一种状态不知道案例4：假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元,1年后的市场可能出现两种状态：状态1和状态2。状态1时，A的未来损益为105元，状态2时，95元。有一证券B，它在1年后的未来损益也是：状态1时105元，状态2时95元。另外，假设不考虑交易成本。问题：（1）B的合理价格为多少呢？（2）如果B的价格为99元，如何套利？答案：–（1）B的合理价格也为100元；–（2）如果B为99元，价值被低估，则买进B，卖空A。案例5：假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元。1年后的市场出现两种可能的状态：状态1和状态2。状态1时，A的未来损益为105元，状态2时，95元。有一证券B，它在1年后的未来损益也是：状态1时120元，状态2时110元。另外，假设不考虑交易成本，资金借贷也不需要成本。问题：（1）B的合理价格为多少呢？（2）如果B的价格为110元，如何套利？证券未来损益图10010595风险证券APB120110风险证券B111资金借贷•静态组合策略：–要求x份的证券A和y份的资金借贷构成B解得：x=1,y=15所以：B的价格为：1*100+15*1=115第(2)个问题：–当B为110元时，如何构造套利组合呢？•套利组合：–买进B，卖空A，借入资金15元。1101201195105yx期初时刻的现金流期末时刻的现金流第一种状态第二种状态(1)买进B-110120110(2)卖空A100-105-95(3)借入资金15元15-15-15合计500案例6：假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元。1年后的市场出现三种可能的状态：状态1、2和3。状态1、2和3时，A的未来损益分别为110.25，99.75，90.25元。有一证券B，它在1年后的未来损益也是：状态1、2和3时，分别为125，112.5和109元。另外，假设不考虑交易成本，资金借贷的年利率为5.06％，半年利率为2.5％。问题：（1）B的合理价格为多少呢？（2）如果B的价格为110元，如何套利？证券未来损益图100110.2599.75风险证券A风险证券B资金借贷90.25PB125112.510911.05061.05061.0506•构造静态组合：–x份A和y份资金借贷构成B1095.1121250506.10506.10506.125.9075.9925.110yx方程无解！•动态组合复制•动态：–我们把1年的持有期拆成两个半年，这样在半年后就可调整组合–假设证券A在半年后的损益为两种状态，分别为105元和95元–证券B的半年后的损益不知道110.2599.75风险证券A风险证券B90.2510010595PBB1B2125112.51091.05061.05061.050611.0251.025•构造如下的组合：–（1）1份的证券A；（2）持有现金13.56。5.1041145.1240506.10506.10506.156.1325.9075.9925.1101在半年后进行组合调整(1)证券A的损益为105时：–再买进0.19份的证券A，需要现金19.95元（0.19×105＝19.95）–持有的现金13.56，加上利息变为：13.56×1.025＝13.90。–半年后的组合变为：•1.19份证券A•现金－6.05（13.90–19.95）•在1年后此组合损益状态为：5.112125025.1025.105.675.9925.11019.1(2)证券A的损益为95时：–卖出0.632份的证券A，得到0.632×95＝60.04元–持有的现金13.56，加上利息变为：13.56×1.025＝13.90–半年后的组合变为：•0.368份证券A•现金73.94（13.90＋60.04＝73.94）1095.112025.1025.194.7325.9075.99368.0•在1年后此组合损益状态为：110.2599.7590.2510010595原始组合：(1)持有1份A(2)持有现金13.56操作：卖出0.632份A组合为：(1)持有0.368份A(2)持有现金73.94操作：买进0.19份A组合为：(1)持有1.19份A(2)持有现金-6.05组合的支付为：125112.5109半年后的组合调整是如何得到呢？•动态策略调整方法：–多期的静态复制策略–从后往前应用静态复制策略110.2599.75风险证券A风险证券B90.2510010595PBB1B2125112.51091.05061.05061.050611.0251.025（1）证券在中期价格为105时：解得：x=1.19，y＝－5.90•此时B的价格为：B1＝1.19×105－5.90×1.025＝118.905.1121250506.10506.175.9925.110yx110.2599.75风险证券A风险证券B90.2510010595PB118.90B2125112.51091.05061.05061.050611.0251.025（2）证券在中期价格为95时：解得：x=0.368，y＝72.14此时B的价格为：B2＝0.368×95＋72.14×1.025＝108.901095.1120506.10506.125.9075.99yx110.2599.75风险证券A风险证券B90.2510010595PB118.90108.90125112.51091.05061.05061.050611.0251.025证券当前价格计算解得：x＝1，y＝13.56B的当前价格为：B＝1×100＋13.56×1＝113.5690.1089