第五章 指数模型于套利定价理论

指数模型与套利定价理论•CAPM模型有如下的缺陷：1、假定条件；2、市场组合的风险计算；3、市场风险只用一个因素表现，过于集中。•本章介绍指数模型及套利定价理论APT（Arbitragepricingtheory）单指数模型•一些投资者认为证券的回报率由某一个因素决定。年GDP的增长率（%）通货膨胀率（%）公司I股票的收益率与rf的差（%）15.71.114.326.44.419.237.94.423.447.04.615.655.16.19.262.93.113.0单指数模型•设ri-rf=αi+βiE(G)+ei•在这里，我们假定证券i的风险补偿由GDP的增长率主要决定，（注意：还可考虑通胀率等你认为必要的因素）。无风险利率为常量（外生变量）•这里ri,G和ei为随机变量。αi，βi为回归系数，G对应整个市场的系统风险因素，因此ei对应企业的个体风险，其期望值为零。单指数模型•我们有：•显然，αi表示GDP的预期增长率为0时股票预期的风险补偿，βi表示公司i股票的预期风险补偿对GDP的预期增长率的敏感度。通过线性回归分析，αi=4%，βi=2，在例子中，第六年GDP的增长率为2.9%，股票的实际风险补偿为13%，有3.2%（13%-（4%+2*2.9%））的股票风险补偿。来自公司自身的贡献。GrrEiifi单指数模型•我们来看其的收益方差：由于ei与G不相关，有：•其中前面一项反映了系统风险，后面一项则是非系统风险，利用统计方法可以计算出股票收益的方差为0.00272。2222eigii单指数模型•如果有另外一家公司j，它的贝塔值为βj则两家公司的风险补偿的斜方差为：•这样，当我们考虑组合的斜方差矩阵时，计算量要小的多。2Gjiij市场模型•当我们拥有风险资产的市场组合的风险补偿为指数时，有：•显然βM=1，于是：•于是：ifMiifierrrr22MiMMiiM2MiMi市场模型•我们有：•与CAPM比较，αi多了出来，它应是证券收益率超出市场均衡收益率的部分，当市场处于均衡状态时，应有αi=0。fMiifirrErrE可以击败市场的组合•如果可以找到一项共同基金，它的运作水平使αA0,这时A会位于SML的上面，我们有；A与M的组合边界不会在M点与CML相切；同时A也不会落在有效组合边界上。这样A与M的组合边界与有效组合边界相交。如下图：MA可以击败市场的组合•这时所有投资者可得到更多的效用，因此如果能找到α0的投资组合，就能够击败市场。因此，一个好的指数可以给我们带来可能的击败市场的机会，同时作为有风险市场组合的替代品，成为有风险资产定价的基础。多指数模型•模型假设：•方差为：iiIiGifieIGrr222222,cov2eIiIiGiiIGiGiIG套利概念的深化•套利就是投资者利用市场的暂时失衡，进行无风险的套利。•收益与风险权衡所主导的市场均衡，一旦价格失衡，就会有许多投资者构造调整自己的投资组合来重建市场均衡，但每位投资者只对自己的头寸作有限范围的调整。套利则不然，一旦出现套利机会，每一位套利者都会尽可能大的构造自己的套利头寸。因此从理论上讲，只需要少数的套利者就可以重建市场均衡。套利定价理论•单因素的套利定价理论APT—arbitragepricingtheory,理论模型为：•这里ri、ei和F是随机变量，Ｆ为宏观因素的实际值，它的预期值为０，因此Ｆ应为对实际值的偏离。ei的预期值同样为０，由于其反映的是企业风险，所以不同资产的ei不相关。在这里，系统风险与非系统风险完全分离，所以Ｆ与ei也是不相关的。iiiieFrErＡＰＴ•对于风险充分分散化的投资组合Ｐ来说有：ppppeFrErniiip1niiipee1niiippFppeee122222222ＡＰＴ•由于Ｐ是完全分散化的组合，因此σ２（ｅｐ）应该为０，所以ｅｐ=0，因此有：222FpppppFrErAPT•在无套利条件下我们有：1、如果两个充分分散化的投资组合的贝塔值相等，则它们的期望收益率一定相等；2、对于不同贝塔值的充分分散化的投资组合，其预期收益率的风险补偿必须正比与贝塔值。APT•说明：例如：如果充分分散化的投资组合A和B，其贝塔值都为1.0，A的期望收益率为10%，B的收益率为8%，我们卖空100万元的证券B，同时将100万元投资于证券A，这时到期的组合收益率为：•（10%+1.0*F）*100-（8%+1.0F）100=2万元，出现了无风险套利机会。APT•图形分析：76rf=4%F10%ADC1.00.5风险补偿假定有有一充分分散化的投资组合C，其贝塔值为0.5，期望收益率为6%与宏观因素有关的贝塔值APT•如果以M的未预期到的收益的变化作为系统风险的度量，则M的贝塔值为1，我们有：pfMfprrErrEAPT•对于任意两个充分分散化的投资组合P和Q，有：•同时套利定价理论还证明了，对于组合中的任意两个不同的证券来说，上面的关系几乎也成立。tconsrrErrEQfQpfptanAPT•APT的优越性：APT模型不需要CAPM中的各种假设；另外，CAPM中，我们必须根据有风险市场组合才能得到CML和SML，这里M是定价的基础；APT允许任何一个充分分散化的投资组合作为基准。这样任何指数化的投资组合都可以用来为证券定价。多因素的套利定价理论•在实践中，更有用的是多因素的套利定价理论。下面我们以两因素的APT为例来介绍该理论。这里假设：•其中F.可以是某几个宏观因素对其预期值的偏离，F1、F2、ei都不相关，ei、ej也不相关。iiiiieFFrEr2211多因素的套利定价理论•因素组合：风险完全分散化，对其中一个的贝塔值为1，对其它因素的贝塔值为0。它是定价的基准。•多因素的APT指出：如何一个完全分散化的投资组合A的风险补偿应当是投资者承受这两种宏观因素的所应得到的风险补偿的和。而每种宏观因素的系统风险的补偿等于相对于该因素的贝塔值乘以因素组合的风险补偿，即有：fAfArrErrE2211多因素的套利定价理论•比如，无风险利率为4%，因素组合1和2的预期收益率分别为10%和12%，A对两个宏观因素的贝塔值分别为0.5和0.75，这时A的风险补偿为：0.5*（10%－4%）+0.75（12%－4%）=9%于是A的预期收益率为4%+9%=13%，如果A的预期收益率为12%，这时就可无风险套利。套利头寸可取50%的因素组合1和75%的因素组合2以及-25%的无风险证券，这个组合的预期收益率为：0.50*10%+0.75*12%－0.25*4%=13%同时组合作多头组合A作空头，可套取无风险利润为：13%+0.5*F1+0.75*F2－（12%+0.5F1+0.75*F2）=1%APT和CAPM的比较CAPM是APT的特例。APT强调无套利原则，CAPM是收益与风险权衡所主导的市场均衡，因此APT不需要CAPM的有关条件。APT只需要完全分散化的投资组合APT的定价并不是对所有的证券都成立。在实际中，APT主要组合投资决策起决定作用，对于单项资产的定价，更多的应使用CAPM和单指数模型。因素的确定•有人对证券的回报率进行了研究，估计一般需要3-5个因素，紧接着，有许多人试图确定这些因素。比如：陈·罗尔和罗斯在他们的论文中，确定了下列因素：•1、工业产值增长率•2、通货膨胀率•3、长期和短期利率的差额•4、低级和高级债券的差别因素的确定•所罗门公司所用的5个因素：•1、通货膨胀率•2、国民生产总值•3、利率•4、石油价格变化率•5、国防开支增长率因素的确定•综合来看，我们考虑的因素应该包括：1、总体经济活动指标（工业产值、总销售和国民生产总值）；2、通货膨胀；3、一些类型的利率因素（或差额或利率本身）。这是因为考虑到，证券的价格被认为是未来红利的贴现值，通过因素来实现这个关系。未来红利将与总体经济活动相联系，而贴现率将与通货膨胀和利率有关。小结•APT与CAPM一样是一个证券价格的均衡模型；•APT与CAPM比较，APT需要较少的关于投资者偏好的假设•APT假设回报率由因素模型生成，但并不具体确定因素。•一个套利组合中包括做空和做多的证券。它的总市值必定为零，对任何因素无敏感性，且有正的预期回报率。•投资者投资于套利组合，使得做多证券的价格上升，使得做空证券的价格下跌，这到套利可能性消失小结•当所有的套利可能消失后，证券的均衡预期回报率将成为它的因素敏感性的线性函数。•APT没有说明影响回报率的因素数量和因素本身是什么。大部分研究中，因素集中于总体经济活动、通货膨胀和利率指标上。作业•1、根据单因素模型，有两个组合A和B，均衡期望收益率分别为9.8%和11.0%。如果因素敏感性分别为0.80和1.0，求无风险利率？•2、根据单因素的APT，设无风险利率为6%，一个具有单位因素敏感性的投资组合期望收益率为8.5%。考虑具有下列特征的两种证券的一个投资组合：•根据套利定价理论，该组合的均衡期望收益率为多少？证券因素敏感性比例A4.00.30B2.60.70作业3、设一个单因素模型的形式为：考虑3个完全分散化的投资组合，因素的期望值为8%。那一个组合不在因素模型关系的直线上？请你由其它两个组合构造一个组合使得与线外的组合具有相同的敏感性？这样的一个组合的收益率是多少？你希望投资者对这三个组合采取什么行动？iiieFbr%4投资组合因素敏感性期望收益率（%）A0.8010.4B1.0010.0C1.2013.6