人教版九年级-一元二次方程知识点总结及基础题型

1一元二次方程知识点一：一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程叫做一元二次方程，一般形式是),,,0(02为常数cbaacbxax类型：000000002222acbxaxacaxabxaxaax④③②①判断一元二次方程的步骤例1：1.下列方程时一元二次方程的是①2032xx；②04322xyx；③412xx；④02x；⑤0332xx⑥x2﹣1=y⑦（x+2）（x+1）=x2⑧6x2=5⑨⑩2x+3x+y=0；⑪x+y+1=0；⑫213122xx；⑬0512xx⑭；⑮3y2﹣2y=﹣1；⑯2x2﹣5xy+3y2=0；⑰⑱；⑲；⑳；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩（）．2．关于x的方程mx2+3x=x2+4是一元二次方程，则m应满足条件是_________．3．关于x的一元二次方程ax2﹣3x+2=0中，a的取值范围是_________．4．当m=_________时，方程（m2﹣1）x2﹣mx+5=0不是一元二次方程．1.把方程化成一般形式),,,0(02为常数cbaacbxax2.最高次数=23.最高次项的系数≠025．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0是一元二次方程，则k的取值范围是__________例2：当m时，方程072)1(1xxmm为一元二次方程6．若是关于x的一元二次方程，则a=_________．7．若关于x的方程（m﹣1）﹣mx﹣3=0是一元二次方程，则m=_________．8．当k=_________时，（k﹣1）﹣（2k﹣1）x﹣3=0是关于x的一元二次方程．9．方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=__________10．关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣mx+1=0是一元二次方程，则m=___________知识点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是),,,0(02为常数cbaacbxax，其中2ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项①0a；②指出二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号③一元二次方程化为一般形式时，若没出现一次项bx，并不是没有，而是0b例3：把方程（1）1231xx（2）（3）（4）化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是_______________2.一元二次方程142xx的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3.一元二次方程2x－3x=4的一般形式是，一次项系数为。4．一元二次方程32x+2x-5=0的二次项系数、一次项系数和常数项依次为_______________35.把一元二次方程2x（x-1）=（x-3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是___________________6．方程22x=3（x-2）化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是____________________7.一元二次方程22x-bx=1的常数项为________________8下面的一元二次方程中，常数项为5的方程是（）A．52x-3x+1=0B．32x+5x+1=0C．32x-x+5=0D．32x-x=59一元二次方程-32x+5x=7的二次项系数是___________10．若关于x的一元二次方程2x+5x+m2-1=0的常数项为0，则m等于___________11.关于x的一元二次方程x2+（2a-1）x+5-a=ax+1的一次项系数为4，则常数项__________A.1B.-1C.0D.5知识点三：一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根①代入法检验一个数是否是方程的根②代入方程的根，可以求方程中的未知字母系数或字母常数的值1：下列哪些数是方程0122xx的根4，3，2，1，0，1，2，3，42：关于x的一元二次方程01122axxa的一个根是0，则a=3.关于的一元二次方程有一个根是，则的值是()A.B.C.D.4：已知方程02abxx有一个根是a0a，则ba的值为5：如果2是方程02cx的一个根，那么常数c是多少？求出这个方程的其他根46.若一元二次方程（）有一根为，则，，满足的关系式是．7.如果是方程的解，则的值是．8.已知关于的一元二次方程的一个根是，则．9.已知是一元二次方程的一个根，则的值为．10.若关于的一元二次方程的解是，则的值是()A.B.C.D.11.如果是一元二次方程的一个根，那么常数是()12.一元二次方程a2x+bx+c=0（a≠0）有一个根为1，则a+b+c=。知识点四：根据实际问题列一元二次方程根据下列问题，列方程，并化成一般式例1：有一块矩形铁皮，长cm100，宽cm50，在它的四角切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为23600cm，那么铁皮各角应切去多大的正方形例2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？5（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长（4）一个圆的面积是2，求半径（5）一个直角三角形的两条直角边相差cm3，面积是29cm，求较长的直角边的长（6）有一根m1长的铁丝，怎样用它围成一个面积为206.0m的矩形？（7）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？61.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如2()(0)xabb的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得xab或者xab，xab。注意：若b0，方程无解4、方程2x=225的根是。5、解方程025x2081)2x(42．(5)(x+1)2=0(6)2(x－1)2=0(7)(2x+1)2=0(8)(2x－1)2=1（9）21(2x+1)2=3（10）(x+1)2－144=073x2－1=027252x=050)6(2x0232x（1）2x2－24=0（2）4)1(2x（3）2(x－2)2=50（4）24)23(2x（1）配方法:用配方法解一元二次方程20(0)axbxca的一般步骤①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)xmnn的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。注意：当0n时，方程无解85、（2x－24x+）=（x－）2。①、x2+6x+=（x+）2；②、x2－5x+=（x－）2；③、x2+x+=（x+）2；④、x2－9x+=（x－）26、用配方法解方程x73x22．04732xx（1）3x2-5x=2．（2）x2+8x=9（3）x2+12x-15=0（4）41x2-x-4=091、.0662yy2、xx42323、9642xx4、0542xx5、01322xx6、07232xx（2）因式分解法：一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。7、方程32x－5x=0的根是。8、因式分解法解方程02x3x2．y2＋7y＋6＝0；10（1）42)2(2xx；（2）0)3()3(42xxx；（3）0611102xx；（4）22)1(4)2(9xx。（5）02xx；（6）03522xx；（7）01072xx；（8）01892xx；11（10）071162xx.(2)t(2t－1)＝3(2t－1)；(3)(2x－1)(x－1)＝1．（2）0)32(3)32(22xx；（3）0223)222(2xx；（4）066)2332(2xy.)21()1(2252xxxx12（2）公式法：一元二次方程20(0)axbxca根的判别式：24bac0方程有两个不相等的实根:242bbacxa（240bac）()fx的图像与x轴有两个交点0方程有两个相等的实根()fx的图像与x轴有一个交点0方程无实根()fx的图像与x轴没有交点9、关于x的一元二次方程m2x－2x+1=0有两个相等实数根，则m=。11、不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)04x3x22；(2)y249y162；(3)0x7)1x(52．12、用公式法解方程1、0822xx2、22314yy3、yy321324、01522xx135、1842xx6、02322xx13、用适当方法解方程（1）x2+2x+3=0（2）x2+6x－5=0(3)x2－4x+3=0(4)x2－2x－1=0(5)2x2+3x+1=0(6)3x2+2x－1=014(7)5x2－3x+2=0(8)7x2－4x－3=0(9)-x2-x+12=0(10)x2－6x+9=0考点四、根的判别式acb42根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。典型例题：例1、若关于x的方程0122xkx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。例2、关于x的一元二次方程0212mmxxm有实数根，则m的取值范围是()A.10且mmB.0mC.1mD.1m例3、已知关于x的方程0222kxkx(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；15针对练习：★1、当k时，关于x的二次三项式92kxx是完全平方式。★3、已知方程022mxmx有两个不相等的实数根，则m的值是.★★4、k为何值时，方程0122422kxxkx（1）有两个相等的实数解，并求此解；（2）有两个不相等的实数解；（3）没有实数解.2.韦达定理（根与系数关系）我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0之后，设它的两个根是1x和2x，则1x和2x与方程的系数a，b，c之间有如下关系：1x+2x＝ba；1x2x＝ca9、已知1x,2x是方程22x+3x－4=0的两个根，那么1x+2x=,1x.2x=。10、已知方程06kxx52的一个根是2，求另一根及k的值．11、利用根与系数的关系，求一元二次方程01x3x22两根的(1)平方和；(2)倒数和．1612、已知方程0mx4x22的两根平方和是34，求m的值．13、求一个一元二次方程，使它的两个根是2、10．14、已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．若12,xx是方程2220070xx的两个根，试求下列各式的值：(1)2212xx；(2)1211xx；(3)12(5)(5)xx；(4)12||xx．171．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值为_________2．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝，x1·x2＝，（x1－x2）2＝3．已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为212，则k=;4．若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3，则a=;5．若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为;