2.4解释结构建模

2.4.1基本概念2.4.2结构建模（解释结构模型法）数学模型是进行系统仿真、分析、控制和优化的基础。但对于一个复杂的问题或复杂系统，直接就建立其复杂而准确的数学模型是非常困难的。对于复杂系统建模工作，在明确建模目的、确定系统边界和明确研究范围以后，首先定义反映系统内部主要特征的结构关系和建立系统各实体间的结构模型，然后才定义系统变量、系统实体的模型形式和它们间的耦合关系确定整体系统的模型。因此，非常有必要讨论如何建立复杂系统结构模型的方法。复杂系统是由大量实体（可以是物理元件、装置等硬件，也可以是事件和现象，还可以是子系统）所组成，这些实体之间存在着错综复杂的相互作用关系。要建立系统的数学模型，必须首先正确地表示这些实体及它们相互之间存在的某种关系，即建立系统的结构模型。一般来说，实体之间的关系是多种多样的，如因果关系、顺序关系、联系关系等，也就是实体之间常常存在多于一种的关系，因此，在建模目标中应明确需建立的结构模型是针对什么样的关系。结构模型化技术目前已有许多种方法可供应用，其中尤以解释结构模型法（InterpretativeStructuralModeling,简称ISM）最为常用。解释结构模型（ISM）是美国的J.华费尔特教授于1973年作为分析复杂的社会经济系统有关问题的一种方法而开发的。其特点是把复杂的系统分解为若干子系统（要素），利用人们的实践经验和知识，以及电子计算机的帮助，最终将系统构造成一个多级递阶的结构模型。ISM属于概念模型，它可以把模糊不清的思想、看法转化为直观的具有良好结构关系的模型，应用面十分广泛。从能源问题等国际性问题到地区经济开发、企事业甚至个人范围的问题等，都可应用ISM来建立结构模型，并据此进行系统分析。它特别适用于变量众多、关系复杂且结构不清晰的系统分析，也可用于方案的排序等。所谓结构模型，就是应用有向连接图来描述系统各要素间的关系，以表示一个作为要素集合体的系统的模型，下图所示即为两种不同形式的结构模型。有向图S1S2S3S4S5树图S1S2S3S4S5S6S712,,,nSsssis,,RxyWxy表示实体集合表示实体集合中的元素（即实体）表示在某种关系下各实体间的关系的集合回路环关联树（1）结构模型是一种几何模型。结构模型是由节点和有向边构成的图或树图来描述一个系统的结构。节点用来表示系统的要素，有向边则表示要素间所存在的关系。这种关系随着系统的不同和所分析问题的不同，可理解为“影响”、“取决于”、“先于”、“需要”、“导致”或其他含义。（2）结构模型是一种以定性分析为主的模型。通过结构模型，可以分析系统的要素选择是否合理，还可以分析系统要素及其相互关系变化对系统总体的影响等问题。（3）结构模型除了可以用有向连接图描述外，还可以用矩阵形式来描述。矩阵可以通过逻辑演算用数学方法进行处理。因此，如果要进一步研究各要素之间关系，可以通过矩阵形式的演算使定性分析和定量分析相结合。这样，结构模型的用途就更为广泛，从而使系统的评价、决策、规划、目标确定等过去只能凭个人的经验、直觉或灵感进行的定性分析，能够依靠结构模型来进行定量分析。（4）结构模型作为对系统进行描述的一种形式，正好处在自然科学领域所用的数学模型形式和社会科学领域所用的以文章表现的逻辑分析形式之间。因此，它适合用来处理处于以社会科学为对象的复杂系统中和比较简单的以自然科学为对象的系统中存在的问题，结构模型都可以处理。有向图形——是系统中各要素之间的联系情况的一种模型化描述方法。它由节点和边两部分组成；节点——利用一个圆圈代表系统中的一个要素，圆圈标有该要素的符号；边——用带有箭头的线段表示要素之间的影响。箭头代表影响的方向。例1：结构模型，其中，其对应的有向连接图如图1所示：,SR1,2,3,4iSsi1321322443,,,,,,,,,,RSSSSSSSSSSs1s2s3s4图1例2：在教育技术应用中的计算机辅助教学（CAI）其过程可以简单表示为：教师设计CAI课件提供给学生自主学习，CAI课件通过计算机向学生显示教学内容，并对学生提问，学生根据计算机的提问作出反应回答。这样一类CAI活动过程，我们可以用图2表示。TMS教师计算机多媒体学生图2由图论可知，有向图与邻接矩阵有一一对应关系，因此结构模型也可以用邻接矩阵来表示，邻接矩阵也是用来描述图中各节点两两之间的关系。对于一个有向图，我们可以用一个方形矩阵来表示。n为系统要素的个数。矩阵的每一行和每一列对应图中一个节点（系统要素）。规定，要素对有影响时，矩阵元素为1，要素对无影响时，矩阵元素为0。即nnisjsijaisjsija,0,1无影响时对当有影响时对当jijiijSSSSa例3：图3对应的邻接矩阵如下图所示：123456000000001000110000001011100000100000SSSSSSS2S3S5S6S4S1图3邻接矩阵的矩阵元素只能是1和0，它属于布尔矩阵。布尔矩阵的运算主要有逻辑和运算以及逻辑乘运算，即：0000111111000101111）矩阵A的元素全为零的行所对应的节点称为汇点，即只有有向边进入而没有离开该节点。如：图3中的S12）矩阵A的元素全为零的列所对应的节点称为源点，即只有有向边离开而没有进入该节点。如：图3中的S43）对应每一节点的行中，其元素值为1的数量，就是离开该节点的有向边数。4）对应每一节点的列中，其元素值为1的数量，就是进入该节点的有向边数。5）邻接矩阵和有向图是同一系统结构的两种不同表达形式。矩阵与图一一对应。6）计算，如果矩阵元素中出现，则表明从系统要素出发，经过k条边可达到系统要素。这时我们说系统要素与之间存在长度为k的通道。kA1ijaisjsisjskA可达到矩阵R是指用矩阵形式来描述有向连接图各节点之间，经过一定长度的通路后可以到达的程度。可达矩阵R有一个重要特性，即推移律特性。当经过长度为1的通路直接到达，而经过长度为1的通路直接到达，那么，经过长度为2的通路必可到达。通过推移律进行演算，这就是矩阵演算的特点。isksksjsjsis有向图的可达矩阵R可定义为：设系统实体集合，则矩阵R的元素为：G=,SR12,,,nSsssnnijr1,,10,iijijijjsrrsss可达到且（即认为每个节点均自身可达）不可达邻接矩阵和可达矩阵存在着必然的联系，可达矩阵可根据邻接矩阵计算出来：110nnnllRAAIAI在实际计算中，有时不用进行n次运算，就可得到可达矩阵R。其计算步骤如下：21121,,,rrAAIAAIAAI121,1rrrRAAAArn利用可达矩阵还可判断是否存在回路和构成回路的元素。在可达矩阵中，如存在有不同元素对应的矩阵行和列都相同，则其有向图中的这些元素构成回路。对于图3的邻接矩阵，可求出图3的可达矩阵：123145612232456100000011000111000001111100010100001100000111000111000111111100010100001SSSAAISSSSSSAAISSS，所以，可达矩阵。在可达矩阵中，元素和所对应行列都相同，则元素和构成了一回路。332AAIA2RA2S3S2S3S1.选择构成系统的要素2.建立邻接矩阵和可达矩阵3.层次级别的划分4.建立结构模型首先，明确问题性质，划定问题范围，进而确定系统边界和系统目标。接着，进行系统调查，收集必要的资料和数据。在系统分析和调查的基础上，构造对应于系统总目标和环境因素约束条件的系统组成要素（实体），能对系统的各个实体及其相互关系有较完整的认识和理解。如果把同系统目标有关的实体忽略掉，就会使建立的结构模型无法达到预期解决问题的目标。在选择系统实体时，往往采用集体共同讨论的办法，来发挥大家的智慧，使系统实体的选择更为准确。系统实体与主要存在以下四种关系：1），与和与互有关系，即邻接矩阵元素2），与和与均无关系，即邻接矩阵元素3），与有关系，与无关系，即邻接矩阵元素4），与无关系，与有关系，即邻接矩阵元素isjsijssisjsjsis1,1ijjiaaijssisisjsjs0,0ijjiaaijssisisjsjs1,0ijjiaaijssisisjsjs0,1ijjiaa先根据实体之间的关系建立邻接矩阵，然后可根据2.4.1介绍的计算幂矩阵方法，最多经过n-1次运算就可以得到可达矩阵。求出可达矩阵后，要判断可达矩阵的有向图是否存在回路和构成回路的元素。若有回路，只需在这些元素汇总选择其中一个，去掉组成回路的其他元素，这样就可以形成不存在回路的可达矩阵可达集——对于每个元素，把可到达的元素汇集成一个集合，表示为前因集——对于每个元素，把所有可能到达的元素汇集成一个集合，表示为isisiRsisisiAs1ijijRssSr1ijjiAssSr在多层结构中（不存在回路），它的最高一级的元素不可能到达比它更高级的元素，它的可达集中只能是它本身，它的前因集则包括它自己和可到达它的下级元素。所以，为最高一级的元素的充要条件是：isiiiRsRsAs例4：下面为一个可达矩阵M，它的可达集与前因集为：1000000110000000111100001110000010000011101100001M111,2,7121,22,7233,4,5,63344,5,63,4,64,6553,4,5,6564,5,63,4,64,671,2,777iRsiAsiiRsAsis得到最高一级的元素后，暂时划去可达矩阵中最高级元素的对应行和列，按上述的方法，可继续寻找次高级的元素，以此类推，就可以找到各级的元素。1）根据层次级别的划分的结果，重新排列去除回路后的可达矩阵，从而构成新的可达矩阵。2）根据层次级别划分，按照级别从高到低的顺序画出每一级别中的节点，相同级别中的节点位于同一水平线上。3）按照重新排列后的可达矩阵，画出相邻两级之间的连线，找出在两级关系分块矩阵中的“1”元素所对应的节点对，由下级到上级在它们之间画出一根带有箭头的连线。4）对于跨级的连线画法同“3）”，但每画一条连线前均需要判定。5）把有向图中因为构成了回路而去掉的那些元素加入到结构模型图中，并同原来保留的元素所对应的节点相连。在人口增长因素分析模型中，总共考虑如下12个因素：（1）期望寿命（2）医疗保健水平（3）国民生育能力（4）计划生育政策（5）国民思想、风俗（6）环境污染程度（7）环境污染（8）国民收入（9）国民素质（10）出生率（11）死亡率（12）总人口1s12s10s9s11s8s7s6s5s4s3s2s它们之间的相互影响关系用一个倒半角矩阵表示，如下图表示，其第行从左到右分别表示同间的相互关系，表示影响其他因素，表示其他因素影响，表示同其他因素互有影响。求人口增长因素分析的结构模型。i1211,,ssisvisaisvais123456789101112vvaaaaSvvvSvvaaSvvaavaSvvaaSvvvSvvSvvvSvvSvSvSS1）根据人口增长因素的相互影响关系，可容易地得到它的邻接矩阵1234567891011121234567891011120000000000111010000000110000000001010000100001010001000001011010000001111000000000111011100001