专题4.4-三角函数的图像和性质---2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(原卷版)

1第四篇三角函数与解三角形专题4.04三角函数的图象与性质【考试要求】1.能画出三角函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在－π2，π2上的性质.【知识梳理】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R，且x≠kπ＋π2}值域[－1，1][－1，1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2kπ－π2，2kπ＋π2[2kπ－π，2kπ]kπ－π2，kπ＋π2递减区间2kπ＋π2，2kπ＋3π2[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)kπ＋π2，0kπ2，0对称轴方程x＝kπ＋π2x＝kπ无【微点提醒】1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴2之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内为增函数.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)余弦函数y＝cosx的对称轴是y轴.()(2)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数.()(3)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.()(4)y＝sin|x|是偶函数.()【教材衍化】2.(必修4P46A2，3改编)若函数y＝2sin2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则()A.T＝π，A＝1B.T＝2π，A＝1C.T＝π，A＝2D.T＝2π，A＝23.(必修4P47B2改编)函数y＝－tan2x－3π4的单调递减区间为________.3【真题体验】4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin2x＋π3的最小正周期为()A.4πB.2πC.πD.π25.(2017·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π6的最大值为()A.65B.1C.35D.156.(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)－π2φπ2的图象关于直线x＝π3对称，则φ的值是________.【考点聚焦】考点一三角函数的定义域【例1】(1)函数f(x)＝－2tan2x＋π6的定义域是()4A.x|x≠π6B.x|x≠－π12C.x|x≠kπ＋π6（k∈Z）D.x|x≠kπ2＋π6（k∈Z）(2)不等式3＋2cosx≥0的解集是________.(3)函数f(x)＝64－x2＋log2(2sinx－1)的定义域是________.【规律方法】1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tanx的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式.2.简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解.(2)利用三角函数的图象求解.【训练1】(1)函数y＝sinx－cosx的定义域为________.(2)函数y＝lg(sinx)＋cosx－12的定义域为______.5考点二三角函数的值域与最值【例2】(1)y＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是________.(3)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________.【规律方法】求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).【训练2】(1)函数f(x)＝cos2x＋6cosπ2－x的最大值为()A.4B.5C.6D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f(x)＝sinx＋π6，其中x∈－π3，a，若f(x)的值域是－12，1，则实数a的取值范围是________.6考点三三角函数的单调性角度1求三角函数的单调区间【例3－1】(1)函数f(x)＝tan2x－π3的单调递增区间是()A.kπ12－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)B.kπ12－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)C.kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)D.kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)(2)函数y＝sin－2x＋π3的单调递减区间为________.角度2利用单调性比较大小【例3－2】已知函数f(x)＝2cosx＋π6，设a＝fπ7，b＝fπ6，c＝fπ4，则a，b，c的大小关系是()A.abcB.acbC.cabD.bac7角度3利用单调性求参数【例3－3】(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D.π【规律方法】1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【训练3】(1)设函数f(x)＝sin2x－π3，x∈－π2，π，则以下结论正确的是()8A.函数f(x)在－π2，0上单调递减B.函数f(x)在0，π2上单调递增C.函数f(x)在π2，5π6上单调递减D.函数f(x)在5π6，π上单调递增(2)cos23°，sin68°，cos97°的大小关系是________.(3)(一题多解)若函数f(x)＝sinωx(ω0)在0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝________.考点四三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1三角函数奇偶性、周期性【例4－1】(1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A.f(x)的最小正周期为π，最大值为39B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f(x)＝sin12x＋θ－3cos12x＋θ|θ|π2的图象关于y轴对称，则θ＝()A.－π6B.π6C.－π3D.π3【规律方法】1.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).2.函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝2π|ω|，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.角度2三角函数图象的对称性【例4－2】(1)已知函数f(x)＝asinx＋cosx(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝π6对称，则函数g(x)＝sinx＋acosx的图象()A.关于点π3，0对称B.关于点2π3，0对称C.关于直线x＝π3对称D.关于直线x＝π6对称10(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，|φ|≤π2，x＝－π4为f(x)的零点，x＝π4为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在π18，5π36上单调，则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5【答案】(1)C(2)B【规律方法】1.对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.2.对于可化为f(x)＝Acos(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，求x即可.【训练4】(1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝tanx1＋tan2x的最小正周期为()A.π4B.π2C.πD.2π(2)设函数f(x)＝cosx＋π3，则下列结论错误的是()A.f(x)的一个周期为－2π11B.y＝f(x)的图象关于直线x＝8π3对称C.f(x＋π)的一个零点为x＝π6D.f(x)在π2，π单调递减【反思与感悟】1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sint(或y＝cost)的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.【易错防范】1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.3.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k∈Z.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·山东卷)函数y＝3sin2x＋cos2x的最小正周期为()12A.π2B.2π3C.πD.2π2.(2019·石家庄检测)若π8，0是函数f(x)＝sinωx＋cosωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是()A.2B.4C.6D.83.已知函数f(x)＝2sinωx(ω0)在区间－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于()A.23B.32C.2D.34.(2019·湖南十四校联考)已知函数f(x)＝2sinωx－cosωx(ω0)，若f(x)的两个零点x1，x2满足|x1－x2|min＝2，则f(1)的值为()A.102B.－102C.2D.－25.若f(x)为偶函数，且在0，π2上满足：对任意x1x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x20，则f(x)可以为()A.f(x)＝cosx＋5π2B.f(x)＝|sin(π＋x)|C.f(x)＝－tanxD.f(x)＝1－2cos22x13二、填空题6.(2019·烟台检测)若函数f(x)＝cos2x＋φ－π3(0φπ)是奇函数，则φ＝________.7.函数y＝cosπ4－2x的单调递减区间为________.8.(2018·北京卷)设函数f(x)＝cosωx－π6(ω0).若f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________.