线性系统理论试题

1第2章线性系统的状态空间描述一、状态空间描述的建立1．(由系统机理建立状态空间描述)如图电路，写出系统的状态方程和输出方程。选择状态变量x=uc，输入变量u=e(t)，输出变量y=uc。解：如图电路，写出系统的状态方程和输出方程。选择状态变量x=uc，输入变量u=e(t)，输出变量y=uc。解：11ccdueuRC,xxu,yxdtRCRC=+⋅=-+=&2．(由输入输出描述建立状态空间描述)系统的传递函数如下，求系统的状态空间描述41265)(232+++++=ssssssG解：可控标准形，[]x115100x6124100010x=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=yu；&；或可观标准形，[]x100115x6101201400x=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=yu；&3．例2.3给定单输入单输出线性定常系统的输入输出描述为3324160720()16194640ssGssss++=+++试求系统的状态空间表达式。解：此例中3mn==。由长除法得3232324160720646161840()41619464016194640ssssGsssssss++---==+++++++则系统的状态空间表达式为e(t)R+-Cuci2[][]112233123010000106401941611840616644xxxxuxxxyxux⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=---+⎢⎥⎢⎥⎣⎦&&&4．例2.2：已知二阶系统的微分方程22yyyTuuxww++=+&&&&试求系统的状态空间表达式。解：可控规范形实现为：[]1112222010121ccccccxxxuyTxxxwxw⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&；则可观测规范形实现为：[]2111222100112ooooooxxxuyxxxTwxw⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&；二、传递函数矩阵的计算1．系统的状态空间描述如下，求系统的传递函数矩阵G(s)，u10x5261x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=&；x0210⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=--1217611052610210)I()(211sssssBAsCsG。2．系统的状态空间描述如下，求系统的输出变量和输入变量之间的微分方程。[]160xxu,01x251y-⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦&解：1116561I252171ss(sA)ss(s)(s)--+-+⎡⎤⎡⎤-==⎢⎥⎢⎥-+++-⎣⎦⎣⎦()[]1256011I012117167ssgsc(sA)bs(s)(s)ss-+⎡⎤⎡⎤+=-==⎢⎥⎢⎥++-+-⎣⎦⎣⎦EMBEDEquation.3()()()216767yssgsyyyuuusss+==→+-=++-&&&&3三、化对角线规范形1．例2.9已知线性定常系统的状态方程为：01116116261153xxu-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦&求系统的对角线规范形。解:①求系统特征值：系统的特征方程det()0sIA-=，即321161166116(1)(2)(3)06115sssssssss-+-=+++=+++=-所以系统的3个特征值为：1231,2,3lll=-=-=-，特征值两两相异，可以化为对角线规范形。②求统特征向量：由iiiAluu=确定特征向量，与特征值1l相对应的特征向量1u由下式确定111121311111121112131311121311110()06106061060611661160AIAuuuuluuluuuuuuuuu----+=⎡⎤⎡⎤⎧⎪⎢⎥⎢⎥=⇒-=⇒-=⇒+-=⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥-+-=⎣⎦⎣⎦⎩上式有无穷多解，设210u=，从中可得1131pp=。令11311pp==，得，同理可算出与特征根2l、3l相对应的特征向量2u、3u为：23112,649uu⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。③构造变换矩阵P并求逆：[]11235321112026,3431493112PPuuu-⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥===--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦④计算变换后系数矩阵1221bPb-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦－⑤定出对角线规范形状态方程4112233100202020031xxxxuxx⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&&2．例2.10将下列系统状态方程化为对角线规范形101001000021xxu-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦&解：（1）计算系统特征值2101det()010(1)(2)0002ssIAssss--=-=--=-则系统特征值为11l=（1l的代数重数12s=），22l=（2l的代数重数21s=）。（2）有重特征值，判断是否可以化为对角规范形对于2重特征值11l=，它所对应的特征矩阵11221,1uu==，得到2个属于二重特征值11l=的特征向量12100,100uu⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。对于单特征值22l=，由iiiAulu=有特征向量3101u-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。（4）构造变换矩阵、求逆并计算系数矩阵1101101010,010001001PP--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，11122233700000504000175xxuxxuxx⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&&解：由于对角规范型中B包含元素全为零的行，故系统不完全能控。3．（约当规范形判据的应用）判断下面系统的能控性和能观性[]1100010100111000001010000210xxuyx⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦&5解：能控。不能观。4．例4.15（约当规范形判据的应用）：判断下述系统的能控性uxx⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=201002200020001.解：[]111ˆˆ20rBs==b不是全为零的行，21222ˆˆ01ˆ02rrBs⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦bb，行线性相关。所以，系统不完全能控。5．例4.12：确定使下列系统状态完全能控的待定参数的a，b，c取值范围（1）ГDEquation.3010001000xabxuc⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦&（2）2010416012618axxbuc-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦&解：（㔱）n=3，能控性判别阵为2201100bSBABABbbac-⎡⎤⎢⎥⎡⎤==--⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦系统完全能控必有det0S≠成立（此时3rankS=），即201det1000bSbbaacc-=--=-≠系统完全可控时参数取值范围：0ac≠，b任意。（2）若应用秩判据，通过计算det0S≠来求，理论上可行，但此题很难从det0S≠中解出a,b,c的取值范围，计算很困难，故考虑使用PBH秩判据。根据状态方程可写出：令det()0sIA-=求特征值得6[]32010det()4160(18)(20)(16)4(18)012618ssIAssssss--=--=---+=-=--故特征值为：。当时，有[]21042031260aranksIABrankbc-⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦因为第1列与第2列线性相关，第3列为0，故不管a,b,c取何值，[]ranksIAB-最大为2，所以：a,b,c为任何值都不能控。6．已知系统状态空间描述为[]105abyc⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦xxx&且状态完全能观，求cba,,。解：125occrankQrankcAabc⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，det50oQbcac=--≠9．例4.25：已知系统的传递函数为：32()7148saGssss+=+++设系统状态完全可控且完全可观,试求a的范围。解：这种题型的解题思路：可先写出系统的能控（或能观测）规范形实现，再通过判据确定使系统完全能观测（或能控）的参数范围即可。写出可控标准型实现，然后检查可观性：0100001081471xxu⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦&；[10]yax=能控规范形系统完全可控，故只检查能观测性即可。能观测性判别阵：210018147CaVCAaCAa⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟---⎝⎠⎝⎠7系统完全可观，必有3orankQn==，即必有det0oQ≠，即3210det0171480(1)(2)(4)08147oaQaaaaaaaa==-+-≠⇒---≠---所以a1≠1、a2≠2和a3≠4时系统完全能控且完全能观测。二、能控性指数和能观测性指数1.例4.17给定一个连续时间线性时不变系统为EMBEDEquation.DSMT41422006101,3,217111xxunrankB---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦&通过计算得到22040113111crankQrankBABABrankn-***⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-***==⎣⎦⎢⎥⎢⎥***⎣⎦这表明，系统完全能控，且能控性指数集和能控性指数为{}122,1mm==和{}12max2,12mmm====三、化能控规范形和能观测规范形1．求下面系统的能观测规范形(要求写出变换矩阵)8[]01106116061151110xxuy⎧-⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=--+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎪⎪=⎩&解：32det()6116sIAsss-=+++211061053304929crankcArankcA⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，系统能观测，能化成能观规范形。引入变换矩阵：16113049295010166105045001110110Q-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则能观测规范形为：[]100611011,5,0010160oooABQbCCQ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦四、结构分解：例4.31（胡寿松P497例9-21）：已知系统(),,Abc，其中[]121001001111431A-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦bc，，试将系统作能控性规范分解。解：1）能控性判别矩阵2014000138cQbAbAb--⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，rank23cQ=；故系统不完全能控。2）从能控性矩阵中选出两个线性无关的列向量[]001T和[]103T-，附加任意列向量[]010T，构成非奇异变换矩阵1P-：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-0311000101P则：9⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010001103P，[]11042114201210010APAPPP--⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥==-==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，b=bc=c即可得到系统按能控性分解的规范表达式为：[]042114201210010cccccc⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦&&xxxu,y=xxx故能控子系统动态方程为：[]0421142012ccccc-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦=xxxuyx&不能控子系统动态方程为：五、最小实现1．例4.35（补充）已知系统传递函数为32322205539()102718sssGssss+++=+++试求出系统的一个最小实现。解:32323222055393()2102718102718ssssGsssssss++++==+++++++23122(1)(3)(6)76ssssss+=+=++++++则最小实现为：[]010671102xxuyxu⎡⎤⎡⎤=+⎢