工程力学第8章梁的弯曲

第8章弯曲一、工程实例工厂厂房的吊车大梁：8.1工程中的弯曲构件火车的轮轴：FFFF楼房的横梁阳台的挑梁二、弯曲的概念受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。变形特点——杆轴线由直线变为一条曲线。主要产生弯曲变形的杆---梁。qPMAFBF弯曲——如果作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，那么杆的轴线由直线变为一条曲线。这种变形称为弯曲变形三、梁的约束与类型1.支座形式与支反力（1）活动支座（2）固定铰支座RFRyFRxF（3）固定端RyFRxFM悬臂梁2.静定梁的基本形式简支梁外伸梁基本形式8.2梁的内力—剪力与弯矩一、计算梁内力的方法计算内力仍采用截面法：在截面m-m处假想地把梁切为两段取左端为研究对象，由于左端作用着外力FRA则在截面上必有与FRA大小相等,方向相反的力FQ,由于该内力切于截面,因此称为剪力。又由于FRA与FQ形成一个力偶,因此在截面处必存在一个内力偶M与之平衡,该内力偶称为弯矩。FQ=FRAM=FRA·x截面的剪力等于截面任一侧的外力的代数和（主矢）；截面的弯矩等于截面任一侧的外力对截面形心的力矩的代数和（主矩）。1.剪力的正负号FQFQFQFQFQFQ左上右下，剪力为正左下右上，剪力为负顺时针为正逆时针为负FQFQ二、剪力与弯矩的正负号规则使梁上压下拉的弯矩为正。2.弯矩的正负号MM表示方法引起的变形上凹下凸左顺右逆,弯矩为正MM使梁上拉下压的弯矩为负。MMM表示方法引起的变形上凸下凹左逆右顺,弯矩为负三、截面法确定指定截面上的剪力和弯矩画出所选梁段的受力图，图中，剪力FQ与弯矩M可假设为正；需求内力的截面处，假想地将梁切开，并选切开后的任一段为研究对象；由平衡方程∑Fy=0计算剪力FQ;由平衡方程∑Mc=0计算弯矩M，式中，C为所切横截面的形心。E已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kN·m，求梁的1-1截面内力。FAyABqCM0FQ1M1BAM0Fq4m4m2m2mxCD7m11Fy=FAy+FE-F-4q=0MA(F)=12FE+M0-8F-4q×2=0FAy=49kN；FE=32kN解：1）求约束反力：2)截面法求内力041QAyyFqFFKN13q4FFAy1Q）（0547101MMmqmFMAycmKNMmqmFMAy11554701）（）（例题FAyFE重要结论：(1)横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力的代数和。左侧梁段：向上的外力为正，向下的外力为负。右侧梁段：向下的外力为正，向上的外力为负(2)横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和。左侧梁段：顺时针的力矩为正，逆时针的力矩为负。右侧梁段：逆时针的力矩为正，顺时针力矩为负。左顺右逆,弯矩为正左上右下，剪力为正左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。反映梁的横截面上的剪力随截面位置变化的函数式)x(FFQQ1.剪力方程)(xMM2.弯矩方程LqAB,qx)x(FQ,)(221qxxM)lx0()lx0(x一、剪力方程与弯矩方程qxFQM反映梁的横截面上的弯矩随截面位置变化的函数式8.3剪力图与弯矩图确定分段点的原则：分段点为：集中力作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。不能用一个函数表达的要分段列出剪力和弯矩方程注意图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试求出梁的剪力方程和弯矩方程。解：1.确定约束力2qlFFBA例题BlAqFBFA2.确定分段点4.列剪力方程和弯矩方程0qxFxFAQ02xqxxFxMAxM(x)FQ(x)FAxAqBlAqFBFA3.建立A-x坐标轴qx2qlxFQ0Fy2qx2qlxxM20MC)lx0()lx0(xxBlAqFBFAqx2qlxFQ2qx2qlxxM2)lx0()lx0(二、剪力图与弯矩图FQxql2ql282qlF,maxQ82qlMmax222qxqlxxMqx2qlxFQMxl/2BlAq1.剪力图：表示剪力随截面位置的变化规律的图形称为剪力图。2.弯矩图：表示弯矩随截面位置的变化规律的图形称为弯矩图。3.用剪力方程和弯矩方程作剪力图与弯矩图的步骤先求出约束反力；确定分段点；分段列出剪力方程和弯矩方程；根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和弯矩图；图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1、求支反力lFbFAlFaFB2、列剪力方程和弯矩方程——需分两段列出BAFabC例题FBFAlAC段ax0lFbxFQ1ax0xlFbxM1M1(x)FQ1(x)BxAFabCFBFAxAFACB段lxalFaFxFBQ2lxaxllFa)xl(FxMB2FBBFQ2(x)M2(x)BxAFabCFBFAFQxMxFabl3、作剪力图和弯矩图xllFaxM)(2lFbxFQ1xlFbxM1lFaxFQ2FblFal*集中力作用处剪力图有突变，突变值的大小等于集中力的大小。弯矩图有折角。BAFabCl图示简支梁在C点受矩为Me的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解:1、求支反力lMFAelMFBe0M0lFMAeMe例题BAabCFAlFBxMeBAabCFAl2、列剪力方程和弯矩方程剪力方程无需分段：lx0lMFxFeAQFB弯矩方程——两段：AC段：CB段：xlMxFxMeA1xllMxMe2lxaax0M1(x)FQ(x)FQ(x)M2(x)MeBxAabCFAlxAFAxFBBFBlaMeFQxMx3.作剪力图和弯矩图ba时lbMMemaxlMxFeQ*集中力偶作用点处剪力图无影响，弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶矩的大小。xlMxMe1xllMxMe2lxaax0lbMeMeBAabCllMeFQFQ+dFQMM+dMq(x)考察dx微段的受力与平衡dxx一、剪力、弯矩与荷载集度间的微分关系8.4剪力、弯矩与荷载集度间的微分关系OxyFQFQ+dFQMM+dMq(x)OxyC考察dx微段的受力与平衡ΣFy=0:ΣMC=0:FQ+qdx-FQ－dFQ=0-M+(M+dM)-FQdx-qdx·dx/2=0略去高阶项，得到ΣFy=0:ΣMC=0:FQ+qdx-FQ－dFQ=0-M+(M+dM)-FQdx-qdx·dx/2=0上述方程描述了平面载荷作用下弯矩、剪力与载荷集度之间微分关系，称为平衡微分方程。根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力FQ、M的变化规律。qxdFdQqxM2dd2QFxdMd1.q=0FQ图M图FQ﹥0FQ﹤0q=0FQ=0二、FQ,M图的若干规律剪力图为一条水平线；弯矩图为一条斜直线。xFQxMqxdFdQqxM2dd2QFxdMdFQ图M图q﹤02.q=常数q﹥0抛物线剪力图为一条斜直线；弯矩图为一条二次抛物线。xFQxMqxdFdQqxM2dd2QFxdMd｛FQ图M图F3.集中力F的影响F折角FF｛突变FxFQxM剪力图突变，突变值等于集中力的大小；左右两侧控制面弯矩相等。FQ图M图Me4.集中力偶Me的影响Me突变Me无影响xFQxM左右两侧控制面剪力相等，弯矩图有突变，突变值等于集中力偶矩的大小。5.FQ=0的截面，必有Mmax或MminQFxdMd集中力作用点的两侧截面；集中力偶作用点的两侧截面；分布载荷起点和终点处的截面。控制面：在一段梁上，各个横截面上的内力按相同的规律变化，这一段梁的两个端截面称为控制面。1.控制面的概念据此，下列截面均可为控制面：三、简易法作内力图2.简易法作内力图的步骤：根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面；建立FS一x和M一x坐标系，求出控制面的剪力和弯矩并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中；先求出约束反力；应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。MxqaFqaFDA2，例题qaqaqa0qa2/2qa2/20解：1．确定约束力2．确定控制面并求出对应的剪力和弯矩3．建立坐标系建立FQ－x和M－x坐标系并标出对应的控制面上的剪力和弯矩4.根据平衡微分关系画出剪力和弯矩图外伸梁受力的大小和方向如图示。试画出剪力和弯矩图BaAqDaaqqaFAFDxFQ00qaqaFqaFBA3135，简支梁受力的大小和方向如图示。试画出剪力和弯矩图解：1．确定约束力2.画出剪力图3.画出弯矩图xFQMx5qa/3qa/30qa/34qa2/3025qa2/18qa2/3例题B2aAqa2CaqFAFB00AAMF，悬臂梁受力的大小和方向如图示。试画出剪力和弯矩图解：1．确定约束力2.画出剪力图3.画出弯矩图MAxFQMx0000qlql2/2ql2/2例题AFql2llqqBCB纯弯曲FQ=0M≠0,M=常量如CD段横力弯曲FQ≠0M≠0如AC,DB段aFFDCBaA纯弯曲：如果一个梁弯曲时，横截面上只有弯矩，那么这种弯曲就称为横力弯曲。FaMACDBFFADCBFQ8.5平面弯曲梁截面上的正应力强度横向弯曲：如果一个梁弯曲时，横截面上既有弯矩，又有剪力，那么这种弯曲就称为横力弯曲。1.平面假定与应变分布观察实验二、纯弯曲时梁横截面上的正应力分析根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层。中间层与横截面的交线梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。（1）中性层（2）中性轴：dxz轴——中性轴y轴——对称轴zyy2o1ozyxAAy（3）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的中性轴转动了一个角度。中性轴Z轴通过形心，并且垂直于对称轴。zzIyMσ2、弯曲正应力计算公式。弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。当M0时，下拉上压；当M0时，上拉下压。yxsmax压smax拉zzIyMszzWMmaxcmaxtssmaxyIWzz当y=ymax,有Mz（1）截面关于中性轴对称Wz——截面对z轴的弯曲截面系数zy3、最大正应力公式与弯曲截面系数yxzzIyMsMz（2）截面关于中性轴不对称smax压smax拉zzIyMσmaxtmaxtzzIyMσmaxcmaxczymaxtymaxcyhbzO（3）Iz和Wz的计算123bhIz62bhWzDyzO323DWz644DIzDdyzO43zα132πDWDd44zα164πDI惯性矩的计算常用截面的惯性矩I和抗弯截面模量W的计算工程中常见的平面弯曲是横力弯曲三、梁的弯曲正应力公式的推广6-2实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度l与横截面高度h之比l/h5（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。弯曲正应力公式zIyMs可推广应用于横力弯曲LABqlABq解：作弯矩图宽b=120mm,高h=180mm的矩形截面简支梁如图所示，求跨中截面上a,b,c三点的正应力。mkN5.4834822maxqlMMPa94.6106180120105.4WM923zmaxasq=4kN/m3mz120180bac50a点：b点：MPa86.310121801201050105.4IyM12333zbmaxbsc点：MPa94.6acssyM(kN.m)4.5平面弯曲正应力公式应用举例例题求图示悬臂梁的最大、压应力。已知：,m/kN6q,m1l№10槽钢q解