信息论与编码姜丹第三版答案

2002CopyrightEELab508©H.F.信息论与编码习题参考答案第一章单符号离散信源信息论与编码作业是74页，1.1的（1）（5），1.3,1.4,1.6,1.13,1.14还有证明熵函数的连续性、扩展性、可加性1.1同时掷一对均匀的子，试求：(1)“2和6同时出现”这一事件的自信息量；(2)“两个5同时出现”这一事件的自信息量；(3)两个点数的各种组合的熵；(4)两个点数之和的熵；(5)“两个点数中至少有一个是1”的自信息量。解：bitPaINnPbitPaINnPccN17.536loglog)(361)2(17.418loglog)(362)1(36662221111616样本空间：(3)信源空间：X(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)P(X)1/362/362/362/362/362/36X(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)P(x)1/362/362/362/362/36X(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)P(x)1/362/362/362/36X(4,4)(4,5)(4,6)P(x)1/362/362/36X(5,5)(5,6)(6,6)P(x)1/362/361/36bitxH32.436log3616236log36215)((4)信源空间：X23456789101112P(x)1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36bitxH71.3636log366536log3610436log368336log366236log36436log362)(＋＋(5)bitPaINnP17.11136loglog)(36113332002CopyrightEELab508©H.F.1.2如有6行、8列的棋型方格，若有两个质点A和B，分别以等概落入任一方格内，且它们的坐标分别为（Xa，Ya）,（Xb，Yb）,但A，B不能同时落入同一方格内。（1）若仅有质点A，求A落入任一方格的平均信息量；（2）若已知A已落入，求B落入的平均信息量；（3）若A，B是可辨认的，求A，B落入的平均信息量。解：bitaPaPaaPaIaPAi58.548log)(log)()(H48log)(log)(481)(:)1(481iiiii落入任一格的概率bitbPbPbbPbIbPAi55.547log)(log)()(H47log)(log)(471)(:B,)2(481iiiii落入任一格的概率是落入任一格的情况下在已知bitABPABPABHABPABIABPABiiiiiii14.11)4748log()(log)()()(log)(471481)()3(47481是同时落入某两格的概率1.3从大量统计资料知道,男性中红绿色盲的发病率为7%,女性发病率为0.5%.如果你问一位男士：“你是否是红绿色盲？”他的回答可能是：“是”，也可能“不是”。问这两个回答中各含有多少信息量？平均每个回答中各含有多少信息量？如果你问一位女士，则她的答案中含有多少平均信息量？解：bitwPwPwPwPmmPmIwPwIbitmPmPmPmPmbitmPmIbitmPmInnyynnyynnyynnyy0454.0log99.5%99.5%-log0.5%-0.5%)(log)()(log)()(H%5.99log)(log)(%5.0log)(log)(366.0log93%93%-log7%-7%)(log)()(log)()(H105.0%93log)(log)(84.3%7log)(log)(:平均每个回答信息量：：回答“不是”的信息量回答“是”的信息量：对于女：平均每个回答信息量：：回答“不是”的信息量回答“是”的信息量：对于男士2002CopyrightEELab508©H.F.1.4某一无记忆信源的符号集为｛0，1｝，已知。，323110pp（1）求符号的平均信息量；（2）由1000个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有m个“0”,（1000-m）个“1”）的自信量的表达式；（3）计算（2）中序列的熵。解：32log3)1000(231log3loglog)(cebit/sequen918918.01000)(1000)(332log)1000(31loglog)1000(log)(2/918.032log3231log31loglog)(1100011110001100mimimmppppAHXHAHbitmmpmpmAIsymblebitppppxH）（）（）（1.5设信源X的信源空间为：0.30.180.160.180.190.17X)(aaaaaaX][654321ppx：：求信源熵，并解释为什么H(X)log6，不满足信源熵的极值性。解：。立的约束条件，所以不满足信源熵最大值成但是本题中的约束条件下求得的，值是在这是因为信源熵的最大，不满足信源熵的极值性可见log6H(X)18.11585.2log62.725H(X)bit/symble725.23.0log3.016.0log16.018.0log18.0219.0log19.017.0log17.0)(log)()(61161iiriiiiippapapXH1.6为了使电视图象获得良好的清晰度和规定的对比度，需要用5×105个像素和10个不同的亮度电平，并设每秒要传送30帧图象，所有的像素是独立的，且所有亮度电平等概出现。求传输此图象所需要的信息率（bit/s）。解：bit/s104.98310661.130)/)(()/(Rbit/frame10661.1322.3105)(H105)(Hbit/pels322.310log)(log)()(H7665051010framebitXHsframerxXapapxiii所需信息速率为：每帧图像的熵是：每个像素的熵是：，由熵的极值性：由于亮度电平等概出现2002CopyrightEELab508©H.F.1.7设某彩电系统，除了满足对于黑白电视系统的上述要求外，还必须有30个不同的色彩度。试证明传输这种彩电系统的信息率要比黑白系统的信息率大2.5倍左右。证:.5.2,,5.25.2477.210log300log)(H)(Hpels/bit300log)(log)()(Hbit3001030,10,,300130011倍左右比黑白电视系统高彩色电视系统信息率要图形所以传输相同的倍作用大信息量比黑白电视系统彩色电视系统每个像素每个像素的熵是：量化所以每个像素需要用个亮度每个色彩度需要求下在满足黑白电视系统要个不同色彩度增加xxbpbpxiii1.8每帧电视图像可以认为是由3×105个像素组成，所以像素均是独立变化，且每像素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平是等概出现。问每帧图像含有多少信息量？若现在有一个广播员，在约10000个汉字中选1000个字来口述这一电视图像，试问若要恰当地描述此图像，广播员在口述中至少需要多少汉字？解:个汉字最少需要数描述一帧图像需要汉字每个汉字所包含信息量每个汉字所出现概率每帧图象所含信息量55665510322.6/10322.61.0log101.2)()()()(,logH(c):1.0100001000symble/bit101.2128log103)(103)(:framecHXHncnHXHnppxHXH1.9给定一个概率分布),...,,(21nppp和一个整数m，nm0。定义miimpq11，证明：)log(),,...,,(),...,,(2121mnqqpppHpppHmmmn。并说明等式何时成立？证：nmiiimiiinpppppppHxxxxfxexxxfxxexxxfxxxxf1121loglog),...,,()0(log)(0log)log()(0log)log()()0(log)(又为凸函数。即又为凸函数，如下：先证明2002CopyrightEELab508©H.F.时等式成立。当且仅当时等式成立。当且仅当即可得：的算术平均值的函数，函数的平均值小于变量由凸函数的性质，变量nmmmmmnmmmiiimmmmmmiiinmiiimiiinnmmmmmnmiiimmnmiinmiinmiinmiinmiiipppmnqqpppHpppHqqppqpppHmnqqqpppppppppHpppmnqqqppmnqqmnpmnpmnmnpfmnmnpfmnpp...)log(),,...,,(),...,,(loglog),,...,,()log(loglogloglog),...,,(...)log(loglogloglog)()()()()(log21212112111121211111111.10找出两种特殊分布:p1≥p2≥p3≥…≥pn，p1≥p2≥p3≥…≥pm,使H(p1,p2,p3,…,pn)=H(p1,p2,p3,…,pm)。解：miiimniiinqqqqqHpppppH121121log),...,,(log),...,,(2002CopyrightEELab508©H.F.1.15两个离散随机变量X和Y，其和为Z＝X＋Y，若X和Y统计独立，求证：(1)H(X)≤H(Z),H(Y)≤H(Z)(2)H(XY)≥H(Z)证明：sjjjrisjjijrisjjijrsjjiissjjissjjitkkkrsjjijirsjjijitkkkssrrqqqpqqpqqppqpqppzpzZHXYHqpqpbapbappzpzZHYXqqqYPbbbPpppXPaaaP111111i11i11i111i11i1121212121)log(-)log()log())log(()log()(log)()()log()()(log)(log)(,...)(...Y:][Y...)(...X:][XYX＝又统计独立又的信源空间为：、设第二章单符号离散信道2.1设信源.30.70)(X:][X21XPaaP通过一信道，信道的输出随机变量Y的符号集},{:21bbY,信道的矩阵：4/34/16/16/5][2121aaPbb试求：(1)信源X中的符号1和2分别含有的自信息量；(2)收到消息Y＝b1，Y＝b2后，获得关于1、2的互交信息量：I(1;b1)、I(1;b2)、I(2;b1)、I(2;b2)；(3)信源X和信宿Y的信息熵；(4)信道疑义度H(X/Y)和噪声熵H(Y/X)；(5)接收到消息Y后获得的平均互交信息量I(X;Y)。解:2002CopyrightEELab508©H.F.bit/symble228.0698.0926.0)()()5(symble/bit653.0926.0698.0881.0)()()()()()()()(bit/symble698.0)(log)()()(log)()()4(bit/symble926.0)12041log120411207