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19.3简谐振动的合成福州大学至诚学院大学物理教研室李培官2一.同方向的简谐振动的合成3)cos()cos(222111tAxtAx)cos(tAx合成仍为仍然是同频率的简谐振动ωxxx1x21φ22A1AA)cos(AAAAA12212221222112211cosAcosAsinAsinAtan1.同方向、同频率的两个简谐振动的合成21xxx合振动的位移:41)当k212时,),2,1,0(k21AAA合振动振幅最大.oxt2)当)(1212k时,),2,1,0(k||21AAA合振动振幅最小.oxt3).一般情况2121AAAAA1A2AA5链接6例9.3.1有两个同方向同频率简谐振动,其合振动振幅为0.2m,合振动的相位与第一个振动的相位之差为π/6,若第一个简谐振动的振幅为0.173m,求:第二个振动的振幅;第二个与第一个振动的相位差。合A1A2A2.0173.06可得第二个谐振动得振幅为0.1m,解:(方法一)旋转矢量法利用旋转矢量法,如图示,2与第一个谐振动的位相差为1.07ωxxx1x21φ22A1AA(方法二).利用公式计算:根据余弦定理,有A2=[A12+A2-2A1·A·Cos(π/6)]1/2代入数据得:A2=0.1m•根据合振幅表达式:•A=[A12+A22+2A1·A2·Cos(φ2-φ1)]1/2•代入数据得:φ2-φ1=π/282.多个同方向同频率简谐振动的合成n个谐振动:X1=A1Cos(ωt+φ1)X2=A2.Cos(ωt+φ2)..............................Xn=An.Cos(ωt+φn)合振动X=X1+X2+...+XnX=ACos(ωt+φ)设:H=A1.Sin(φ1)+A2.Sin(φ2)+...+An.Sin(φn)L=A1Cos(φ1)+A2.Cos(φ2)+...+An.Cos(φn)则有:A=(H2+L2)1/2tgφ=H/LO1aA3aNaRPMCN9例9.3.2.三个谐振动方程分别为)tcos(Ax6113)2cos(1tAx)tcos(Ax672求:(1)画出它们的旋转矢量图。并在同一x-t坐标上画出振动曲线。(2)写出合振动方程。解:(1).3x2x1x(2).(方法一)由矢量迭加得:合振动方程x=03x2x1x10(2)(方法二)利用公式进行计算H=A1.Sin(φ1)+A2.Sin(φ2)+...+An.Sin(φn)H=ASin(π/2)+A.Sin(7π/6)+A.Sin(11π/6)=0L=A1Cos(φ1)+A2.Cos(φ2)+...+An.Cos(φn)=ACos(π/2)+A.Cos(7π/6)+A.Cos(11π/6)=0•A合=(H2+L2)1/2=0•合振动:X=A合Cos(ωt+φ)=011例9.3.3.同方向的N个同频率简谐振动,设它们的振幅相等,初相位依次差一个恒量。求合振动。己知它们的表达式为:O1aA3aNaRPMCNtatxcos)(1)cos()(2tatx)2cos()(3tatx)1(cos)(NtatxN)2/sin(2NRA)2/sin(2Ra在OCP中:解:在OCM中:12所以,合振动的表达式上两式相除得)21cos()2/sin()2/sin(NtNa)cos()(tAtx)2/sin()2/sin(NaA2/)(NCOM2/)(COP2/)1(NCOMCOPO1aA3aNaRPMCN13讨论1:即各分振动同相位时,合振动的振幅最大。,2,1,02kk当:NaNaA)2/sin()2/sin(lim讨论2:这时各分振动矢量依次相接,构成闭合的正多边形,合振动的振幅为零。,1,1,2,12NNkkN即:以上讨论的多个分振动的合成在说明光的干涉和衍射规律时有重要的应用。N/k'2当:kNk'且:0)/sin()sin(''NkkaA14)cos()(22tAtx)cos()(11tAtx)cos()cos()(21tAtAtx合成振动表达式:为了简单起见,讨论两个振幅相同,初相位也相同,在同方向上以不同频率振动的合成。其振动表达式分别为:]2)(cos[2)(cos21212ttA3.同方向不同频率简谐振动的合成随t变化缓慢随t变化较快1521与当都很大,且相差甚微时,可将视为振幅变化部分,合成振动是以为角频率的近似谐振动。2/)(1221()|2cos|2tA这种振动的振幅也是周期性变化的,即振动忽强忽弱。由于振幅是周期性变化的,所以合振动不再是简谐振动。这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。振幅tAtA2cos2)(12161.振幅是周期变化的,,21振幅A(t)随时间t缓慢地变化----“拍”现象,最大值为2A。2.合振幅变化频率------“拍频”。讨论:221很小,单位时间内合振幅加强或减弱的次数叫拍频。||21vvv拍17tx12=6tx21=7=1-2拍频tx(可测频,或得到更低频的振动)18两个同方向不同频率简谐振动的合成(动画演示)19二.相互垂直简谐振动的合成201.两个相互垂直同频率简谐振动的合成同频率)(cos)(cos2211tAytAx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx将两式联立,消去t,可得)sin(cossinsin)sin(sincoscos121221121221tAyAxtAyAx再将上两式平方后相加即可得21)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx1)合振动为线振动。π,0122)合振动为正椭圆。212π3)一般情况下,合振动为斜椭圆。且当A1=A2时,即为圆。22链接相互垂直的同频率的简谐振动的合成:(动画演示)23不同相差的合运动轨迹24合成运动具有稳定的封闭轨迹,称为李萨如图。例如.)(cos)(cosyyyxxxtAytAx右图:23yxyxAyAxo-Ax-Ay达到最大值的次数达到最大值的次数yxyxyx具体的图形与yx,有关,可以画出。应用举例:测定未知频率。2.两个方向相互垂直、不同频率(有简单整数比)的简谐振动的合成:250xπ41π21π43πyx:1:21:32:3李萨如图的一些例子xy;costAyyy3:2:yxAA);cos(xxxtAx26链接相互垂直不同频率的简谐振动的合成:李萨如图27TipsforBetterLifefor2013谢谢观赏今天是2019年10月12日星期六再见
本文标题:9.3.简谐振动的合成.[含多张演示动画]-..李培官..2013.8.3
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