概率论与数理统计-1-2

1.2概率论的定义1回顾１．随机现象２．随机试验３．样本空间４．样本点５．随机事件６事件间的关系与运算在一次试验中事件A发生试验中出现了A中包含的样本点？样本空间与随机试验之间是什么关系？随机试验的全部可能结果构成样本空间。1.2概率论的定义2§2概率的定义一、概率的统计定义（频率）二、概率的公理化定义三、古典概型四、几何概率1.2概率论的定义31．事件的频率即记为频率发生的为事件则称比值),(,AfAnmn,,次发生了件事次重复试验中若在相同条件下进行的mAn.发生的频数为事件并称AmnmAfn)(定义:问题：对于一个随机事件来说，它在一次试验中可能发生，也可能不发生，既然有可能性，就有可能性大小问题。那么如何度量一个事件发生的可能性大小呢？一.概率的统计定义1.2概率论的定义4试验序号5nHnf12345672315124Hnf50n22252125241827Hn500n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502处波动较大在21波动最小随n的增大,频率f呈现出稳定性处波动较小在21例1考虑“抛硬币”这个试验,将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做10遍,得到数据如下（部分）:1.2概率论的定义5从上述数据可得:(1)频率有随机波动性,所得的f即对于同样的n,不一定相同;,n较小时抛硬币次数(2)之间与在频率10)(Hfn随机波动,其幅度较大,,n增大但随着)(Hfn频率呈现出稳定性.n即当总是在逐渐增大时)(Hfn而逐渐稳定于0.5.,.附近摆动50大量试验证实,逐渐增当重复试验的次数n大时,,呈现出稳定性逐渐稳定于某个常数.这种“频率稳定性”即通常所说的统计规律性.)(Afn频率1.2概率论的定义6验证频率稳定性的著名实验试验模型如下所示:自上端放入一小球,任其自由下落,在下落过程中当小球碰到钉子时,从左边落下与从右边落下的机会相等.碰到下一排钉子时又是如此,最后落入底板中的某一格子.因此,任意放入一球,则此球落入哪一个格子,预先难以确定.但是如果放入大量小球,则其最后所呈现的曲线,几乎总是一样的.高尔顿(Galton)板试验1.2概率论的定义7单击图形播放/暂停ESC键退出请看动画演示1.2概率论的定义8性质：(1)非负有界性0≤fn(A)≤1(3)有限可加性nmAfn)()()()()(212121knnnknkAfAfAfAAAfAAA则，是两两互不相容的事件，，，若意义：频率大小表示事件A发生的频繁程度。频率愈大，事件A发生愈频繁;同时也大致意味着A在某一次试,1)(Sfn(2)规范性,0)(nf验中发生的可能性愈大，如投篮命中率。1.2概率论的定义9抛掷硬币，观察正面出现的次数实验者试验次数出现正面的次数频率德.摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069K.皮尔逊1200060190.5016K.皮尔逊24000120120.5005频率的特性（１）随机波动性:对于同样的试验次数n，或不同的试验次数n，所得的fn(A)会有所不同。1.2概率论的定义10在相同条件下进行大量重复试验，当试验次数充分大时，事件A的频率将在某个常数p附近摆动,这个常数p称为事件A的概率,记为P(A),即P(A)=p。2．概率的统计定义（2）稳定性:当n较小时，fn(A)随机波动的幅度较大，而当n逐渐增大时，频率fn(A)总在一个定值附近摆动，而且试验次数越多，一般摆动越小，这个性质就叫作频率的稳定性.直观意义：反映在一次试验中事件发生的可能性大小。这种表征在一定条件下事件A发生可能性大小的频率的稳定值，就叫作事件A的概率，记为P(A)．1.2概率论的定义11如若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录.若他射击n发，中靶m发，当n很大时，可用频率m/n作为他中靶概率的估计.实际中，当概率不易求出时，人们常通过作大量试验，用事件出现的频率去近似概率.1.2概率论的定义1223479108615i表示取到i号,i=1,2,…,10。且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同。则该试验的样本空间S={1,2,…,10},---古典概型.引例：一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1－10.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.二.古典概型（等可能概型）10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.23479108615若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同.称这种试验为古典概型.1.定义1.2概率论的定义1323479108615设试验E是古典概型,其样本空间S由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成。则事件A的概率为：排列组合是计算古典概率的重要工具.P(A)中的基本事件总数包含的基本事件数SAnk2、古典概型中事件概率的计算P(A)=1/10例如：记A={摸到2号球}，记B={摸到红球}，P(B)=6/10当我们要求“摸到红球”的概率时，只要找出它相应的比例.求概率问题转化为计数问题.1.2概率论的定义14!nPAnnnn全排列排列组合常用公式选排列)!(n!knPAknkn组合!!!knknCknknnknCknknC!!!111knknknCCC1.2概率论的定义15例1将一枚硬币抛掷三次.”“)1(1恰有一次出现正面为设事件A;)(1AP求,“)2(2至少有一次出现正面”为设事件A.)(2AP求解(1)考虑如下的样本空间:,,,,,,{THTHTTTHHHTHHHTHHHS},,TTTTTH而1A.},,{TTHTHTHTT,中包含有限个元素S由对称性知每个基本事件发生的可能性相同.故由计算公式得)(1AP(2)由于2A于是)(12AP)(2AP811.87.83,}{TTT3、古典概率计算举例1.2概率论的定义163、古典概率计算举例例2某商场进行有奖销售，共设奖券100张，其中一等奖10张，二等奖20张。其余是“谢谢”（无奖）.按照购买金额抽取奖券数张.第一位顾客抽取奖券两张.问（1）两张奖券都是一等奖的概率；（2）一张一等奖，一张二等奖的概率；（3）有奖的概率.解：设A=“两张奖券都是一等奖”B=“一张一等奖，一张二等奖”C=“有奖”该试验的基本事件总数为,2100CA所包含的基本事件数为,210CB所包含的基本事件数为,120110CCC所包含的基本事件数为,170130230CCC因此;1101)(2100210CCAP;49520)(2100120110CCCBP.330169)(2100170130230CCCCCP1.2概率论的定义17,)(个盒子里去只球随机地放入将nNNn盒子至多有一只球的概率(盒子容量不限).解,个盒子中去只球放入将Nn因每一只球都可,个盒子中的任一盒子以放入N故共有,种不同的放法nNNNN而每个盒子种中至多放一只球共有)]1([)1(nNNN不同放法.因而所求的概率为pnNnNNN)1()1(nnNNA说明：许多问题和本例有相同数学模型.生日问题试求每个例3“分房问题”1.2概率论的定义18例如，假设每人在一年365天中任何一天出生是等可能的，即都等于1/365,那么,随机地选取n(n365)个人,他们的生日各不相同的概率为：nn365)1365(363364365因而,n个人中至少有两个人生日相同的概率为:nnp365)1365(3633643651经计算可得下述结果:nnNNA1.2概率论的定义19早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的.把等可能推广到无限个样本点场合,人们引入了几何概型.三.几何概率例：如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油，假如在这海域里随机选定一点钻探，问钻探到石油的概率是多少？5万平方公里40平方公里结果：1000085000040p【分析】1.2概率论的定义20所谓“等可能性”是指点落在内任一区域G中的概率与区域的G的测度（长度、面积、体积）成正比且与其位置和形状、开闭无关。G定义设为一有限区域，其测度为m()(长度、面积或体积）G为中任一区域，测度为m(G).以A表示“在区域”内随机取一点，则该点落在区域G内的概率”这一事件，称)()()(mGmAP为事件A发生的概率，称此概率为几何概率。满足以上条件的随机试验称为几何概型1.2概率论的定义21例4:(会面问题)两人相约在7点至8点间在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就离去,求两人能会面的概率.以x,y分别表示两人到达的时刻,随机试验的样本点表示为(x,y),则两人能会面的充要条件是:|y-x|20这是一个几何概率问题,可能的结果的全体是边长为60的正方形里的点,能会面的点的区域用阴影标出.所求概率为:95604060222p【解】1.2概率论的定义22)(axaxy0202随机地向半圆内掷一点,求原点与该点的连线与x轴的夹角小于的概率。4分析:如图半圆区域为样本空间SyxaaO4/设事件A为所掷点与原点的连线与Ox轴的夹角小于/4，A为如图阴影部分)()()(SmAmAP221)(aSm22214)(aaAmπππaaπam(S)m(A)P(A)2221214222例5.P18T101.2概率论的定义23即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.公理化体系的建立使得概率论的理论更加完备。1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.数学是建立一系列假设之上的逻辑符号体系。每一门学科都有其最基本的假设，它们也是该学科最原始的出发点。从这些假设出发，进行演绎推理，最后形成一套相对完整的符号体系，这就是数学。1.2概率论的定义241定义：设S是随机试验E的样本空间，若对每一随机事件A,都赋予一个实数P(A),使满足：(1)对每一个事件A，有０P(A);（非负性）(2)对必然事件S，有P(S)=1;（规范性）则即是两两互不相容的事件若,,3,2,1,,,,,,)3(21jijiAAAAAjik则称P(A)为事件A的概率．条件（3）称为概率的可列可加性四.概率的公理化定义(3)说明，对于任何互不相容（互斥）的事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和.)()()()(2121kkAPAPAPAAAP1.2概率论的定义252·概率的性质性质10)(P证.2,1,,,,),,2,1(1jijiAAAnAjinnn且则令由概率的可列可加性得,)()()()(111nnnnnPAPAPP由概率的非负性知0)(P若A1,A2,…An是两两互不相容的事件，则)()()()(2121nnAPAPAPAAAP性质2有限可加性1.2概率论的定义26设A,B是两个事件，若AB,则P(A－B)=P(A)－P(B),P(A)P(B)证：A=B∪(A-B),且B∩(A-B)=ØP(A)=P(B∪(A-B))=P(B)+P(A-B)P(A-B)=P(A)-P(B)所以P(A)P(B)性质3BAA-BS常用手法又P(A-B)0推论设A,B是两个事件，则P(A－B)=P(A)－P(AB).性质4对任一事件A，P(A)≤1.证：由性质3可得（略）.1.2概率论的定义27性质5（对立事件的概率）对任意的事件A有：).(1)(APAPASＡ证：AAS,AA),AP(P(A))AP(AP(S)1)