数学教学多媒体课件

高二新授课一类数列的变化特征数列极限的定义几个基本数列的极限问题讨论数列极限概念的小结通过图像观察数列的特性数列的图像（点击按钮调用图像）通过图表定量观察(1)数列:0.9,0.99,0.999,0.9999,0.99999,0.999999,...........项号项|an-1|10.9|0.9-1|=0.120.99|0.99-1|=0.0130.999|0.999-1|=0.00140.9999|0.9999-1|=0.000150.99999|0.99999-1|=0.0000160.999999|0.999999-1|=0.00000170.9999999|0.9999999-1|=0.0000001....................对ε=0.001与ε=0.000001,则n3与n6后满足|an-A|ε项号项|an-1|11/2|(1/2)-1|=0.521/4|(1/4)-1|=0.2531/8|(1/8)-1|=0.12541/16|(1/16)-1|=0.062551/32|(1/32)-1|=0.0312561/64|(1/64)-1|=0.01562571/128|(1/128)-1|=0.0078125....................通过图表定量观察(2)数列:1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,...........对ε=0.1与ε=0.01,则n3与n6后满足|an-A|ε数列极限定义•1.描述性定义:•如果对数列{an},存在常数A,当数列序号n无限增大时,数列的项an无限接近常数A,称常数A是数列{an}的极限.•2.ε-N定义•任意给定正数ε0,如果总存在自然数N,当nN时,不等式|an-A|ε恒成立,则数列{an}的极限是A.记作:|an-A|εε0Aannlim对数列极限定义的说明若数列{an}的极限是A,则an可能小于A无限的趋近于A;也可能大于A无限的趋近于A;还可能时而大于A,时而小于A而无限的趋近于A.在极限的全过程中,ε必须具有绝对的任意性,但在该过程的某一瞬间,ε又是相对固定的.N的不唯一性.虽然N与ε有关,但N不是ε的单值函数,若自然数N满足极限定义的条件,则N+1,N+2,...也必满足该条件.例1:(1)举出两个以0为极限的数列;(2)举出两个以1为极限的数列;(3)举出两个以A为极限的数列.解:(1)an=1/n2bn=(1/2)n,...........(2)an=(n+1)/nbn=1+(1/3)n,.......(3)an=A+1/nbn=(-1)n(1/n)+A,.......问题1•根据极限定义,猜想下列数列的极限•(1)____•(2)____•(3)____•(4)____,.....1,......,61,51,41,31,21,1n,.....1,......,61,51,41,31,21,1n,.....)1(,......,61,51,41,31,21,1nn,.....)1(1,......,61,51,41,......,0,31,0,21,1,0nn0000问题2判断下列命题的正确性:①数列{an}的极限是A,则A一定是该数列中的一项;②任何一个无穷数列必存在极限;③无穷数列的极限是A,指的是:对任意的ε0,总能在{an}中找到一项aN,使aN以后有无限项满足|an-A|ε.④数列{(-1)n}的极限存在,且偶数项的极限为1,奇数项的极限为-1.几个基本数列的极限1.01limnn2.0lim,1nnqq时3.cccnlim,为常数证明：任给ε0,由01limnn的证明:εnn101所以εn1故取N=]ε1[(注:]ε1[表示1/ε的整数部分）所以，当n〉N时，不等式ε01n恒成立，故数列{1/n}的极限：01limnn证明：0lim,1nnqq时的证明任给ε0,则由|q|1ε|||0|nnnqqqlg|q|nlgεnlg|q|lgε||lglgqεn当|q|≠0,①①qNlgεlg若取则当nN时,不等式|qn-0|ε恒成立;当|q|=0,显然|0-0|=0ε恒成立;0lim,1nnqq时•证明:cccnlim,为常数的证明任给ε0,由|c-c|=0ε,取N=任意自然数,那么当nN时,,|c-c|=0ε恒成立所以,数列{c}的极限是c.问题讨论选择题:1.已知非常数的数列{an}当n－∞时极限为M,则在区间(M-ε,M+ε)外,这个数列的项数为:(A)无限项(B)有限项(C)零项(D)有限项与无项项都有可能2.记a1+a2+......+an=Sn,则数列{an}有极限是数列{Sn}有极限的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)不充分也不必要条件BB填空题1.数列{an}中,已知an=(n+2)/2n,则|an-1/2|=_______,要使nN时,有|an-1/2|0.001,则N的最小值是________2.数列问题讨论的极限是:__3.数列a,a,a,......,a,......的极限是:________1/n10000a,.....,)1(1,.......,21,1,1dnadadaa问题讨论推测下列数列的极限,并用极限定义证明你的结论.1.数列2.|q|1,a1,q≠0,数列3.数列1nn的极限是_______;qqan1)1(1的极限是____;nnnn3232的极限是_______.1-1qa11证明:任给ε0,由证明的极限为1ε111111nnnn,1ε1n取11εN则nN时,不等式ε11nn恒成立,所以11limnnn1nn证明:证明的极限为q1a(1-q)1nq1a1任给ε0,由εqqqqqaqqannn1111)1(11|q|nε|1-q|lg|q|nlgε|1-q|nlg|q|lgε|1-q|||lg|1|lgqqεn(∵|q|1,lg|q|0)||lg|1|εlgqqN取故当nN时,不等式ε11)1(11qaqqan恒成立,所以qaqqann11)1(lim11nnnn3232证明证明的极限为-1εnnnnnnnnnnnnnnnnn1323223222323232)1(3232任给ε0,由εεn232)2lg(32lgεεn32lgε2εlgn32lgε2εlgN取nnnn3232证明的极限为-1ε)1(3232nnnn恒成立,所以数列nnnn3232的极限是-1.则当nN时,不等式对《数列极限》我们要把握“序号无限增大，数列的项无限接近一个常数”的含义，正确理解它的定义；掌握应用数列极限定义证明数列极限的方法，记住三个基本数列的极限，能应用它们求比较简单的数列的极限。