微分几何试题库

1微分几何一、判断题1、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√）2、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0uvduuvdudvuvdv总表示曲面上两族曲线.（）3、若()rt和()st均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）4、向量函数()st具有固定长的充要条件是对于t的每一个值，()st的微商与()st平行（×）5、等距变换一定是保角变换.（）6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（）7、常向量的微商不等于零（×）8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×）9、对于曲线s=()st上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×）10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√）11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√）12、单位切向量的模是1（√）13、每一个保角变换一定是等距变换（×）14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F，这里F是第一基本量.（）二、填空题16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___y+z=0,.218.设给出1c类曲线:)(trr,.bta则其弧长可表示为badttr)(19、已知33{cos,sin,cos2}rxxx，02x，则1{3cos,3sin,4}5xx，{sin,cos,0}xx，1{4cos,4sin,3}5xx，625sin2x，825sin2x。20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。21、旋转面r={()cos,()sin,()ttt},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”).22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线.23.任何两个向量qp,的数量积qp)cos(～pqqp24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__.25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”).26.若曲线(c)用自然参数表示)(trr,则曲线(c)在)(0sP点的密切平面的方程是0))(),(),((000srsrsrR27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面28.杜邦指标线的方程为1222NyMxyLx29、已知曲面{cos,sin,6}ruvuvv，0u，02v，则它的第一基本形式为222(36)duudv，第二基本形式为21236dudvu，高斯曲率K2236(36)u，平均曲率H0，点(1,0,0)处沿方向:2dudv的法曲率24371517，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为66,3737。330、（Cohn-Voeeen定理）两个卵形面之间如果存在一个保长映射，则这个映射一定是R3中的合同或对称。31、球面上正规闭曲线的全挠率等于零。32.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络三、综合题33．求曲线ttezttyttx,cos,sin在原点的密切平面，法平面，切线方程。解：},,cos,sin{ttettttr},,sincos,cos{sin)(ttteetttttttr}2,cossin2,sincos2{)(ttteetttttttr在原点处0t},0,0,0{)0(r},1,1,0{)0(r}.2,0,2{)0(r在原点处切平面的方程为:0))0(),0(),0((rrrR即0ZYX法平面的方程为:0)0())0((rrR即0ZY切线方程为)0()0(rrR即110ZYX34、求曲面33zxy的渐近曲线。4解设33{,,}ruvuv则2{1,0,3}uru，2{0,1,3}vrv，22441{3,3,1}||991uvuvrrnuvrruv{0,0,6}uuru，0uvr，{0,0,6}vvrv446991uuuLnruv，0uvMnr，446991vvvNnruv因渐近曲线的微分方程为2220LduMdudvNdv即22uduvdv或0uduvdv渐近曲线为33221uvC或33222()uvC35.求双曲抛物面}2),(),({uvvubvuar的第一基本形式解:},2),(),({uvvubvuar},2,,{vbaru}.2,,{ubarvuvbarrFvbarrEvuuu4,422222,.4222ubarrGvv2222222222)4()4(2)4(dvubadudvuvbaduvbaI36.计算球面)sin,sincos,coscos(RRRr的第二基本形式.解:5},cos,sinsin,cossin{},0,coscos,sincos{),sin,sincos,coscos{RRRrRRrRRRr由此得到,cos22RrrE,0rrF,2RrrG2FEGrrncossinsincossin0coscossincoscos13212RRRRReeeR=},sin,sincos,cos{cos又由于},0,sincos,coscos{RRr},0,cossin,sinsin{RRr},sin,sincos,coscos{RRRr所以),(cos2RnrL,0nrM,RnrN因而得到)cos(222RddRⅡ37.如果曲面的第一基本形式,)(222222cvudvduds计算第二类克力斯托费尔符号.6解:因为222)(1cvuE,0F,222)(1cvuG所以uuGcvuucvuucvuE32242222)(4)(2)(2vvGcvuvcvuvcvuE32242222)(4)(2)(2所以,2222111cvuuEEu,2222211cvuvGEv,2222112cvuvEEvcvuuGGu2221222,cvuuEGu2212222,cvuvGGv222222238、已知曲面的第一基本形式为22()Ivdudv，0v，求坐标曲线的测地曲率。解EGv，0F，0uG，1vEu-线的测地曲率122uvgEEGvvv-线的测地曲率02vugGGE739、问曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线是测地线吗？为什么？答：曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线是测地线.事实上，设:()(1,2)iiuusi，则的切向量为1212dudurrdsds记1duads，22duads，111,ijijijDadaadu，222,ijijijDadaadu则曲线的切向量沿平行移动0D120,0DaDa0(1,2)iDaids22,0(1,2)kijkijijdududukdsdsds为测地线40.求证在正螺面上有一族渐近线是直线,另一族是螺旋线.解:因为},,sin,cos{bvvuvur.0,,0,,0,12222NbubMLbuGFE由于,0NL所以,正螺面的曲纹坐标网是渐进网,则一族渐近线是},,sin,cos{00bvvuvur这是螺旋线,另一族渐近线是},,sin,cos{000bvvuvur这是直线.841、设空间两条曲线和C的曲率处处不为零，若曲线和C可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线和C在对应点的切线夹固定角.证设:()rrs，:()rrs，则由//知，从而0，0，()0ddsdsdsconstant，即cos,C这表明曲线和C在对应点的切线夹固定角.42、证明)(tr具有固定方向的充要条件是0)()(trtr证明:必要性设ettr)()((e为常单位向量),则,)()(ettr所以0)()(trtr充分性:)()()(tettr()(te为单位向量函数),则)()()()()(tettettr,)].()()[()()(2tetettrtr因为0)(,0)(ttr于是,当0)()(trtr,从而有,0)()(tete9即)(//)(tete,因为)()(tete(根据1)(te),因此0)(te即)(te为常向量,所以)()()(tettr有固定方向43、给出曲面上一条曲率线，设上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角.求证是一条平面曲线.证设:(,)rruv，:(),()uusvvs，其中s是的自然参数，记,rn，则cosrn，两边求导，得d0dnnrs，由为曲率线知d//dnr，即dd//ddnrss，因此dd0ddnnrnrrss.若0，则为平面曲线；若0n，则因为曲面上的一条曲率线，故ddnnr.而0nnn，所以d0n，即n为常向量.于是为平面曲线.44、求圆柱螺线},sin,cos{bttatatR）（在3t处的切线方程。解},,cos,sin{)(},,sin,cos{)(btatatrbttatatr3t时，有}.,2,23{)3(3,23},2{3baarbar所以切线的方程为10)3()3(rrP即321)3(23231beaeaep如果用坐标表示，则得切线方程为,3223232bbZaaYaaX即bbZaaYaax3323245、求双曲螺线},sinh,cosh{attatar从t=0起计算的弧长。解：},cosh,sinh{},,sinh,cosh{atataattatarr从t=0起计算的弧长为t0|tdtzyxdtt0222|)(r=.sinh2coshcoshcosh)1(sinhcoshsinh02222022222222tadttatadttatadtatatatttt1146、求球面}sin,sincos,coscos{RRRr的第一基本形式。解：由cos},,sinsin,cossin{},0,coscos,sincos{},sin,sincos,coscos{RRRRRRRrrRr可得出由此得到曲面的第一类基本量222,0,cosRGFRErrrrrr因而22222dRdcosRI47、曲面上一点（非脐点）的主曲率是曲面在点所有方向在法曲率中的最大值和最小值。证明设，由欧拉公式知和可以交换坐标如果),(2121vuKKkk,cos)()cos1(cos22122221kkkkkkn于是0cos)(2122kkkkn因此nkk2同样又可以得到,0sin)(2121