清华大学计算固体力学第五次课件-本构模型

非线性有限元第5章本构模型计算固体力学第5章本构模型1引言2应力-应变曲线3一维弹性4非线性弹性（超弹性）5一维塑性6多轴塑性7超弹－塑性模型8粘弹性9应力更新算法10连续介质力学与本构模型1引言本构方程率形式的积分算法称为应力更新算法（也称为本构更新算法），包括：径向返回算法的一类图形返回算法，算法模量与基本应力更新方案一致的概念，大变形问题的增量客观应力更新方案，基于弹性响应的应力更新方案，自动满足客观性的超弹性势能。为了进行分析，选择材料模型是很重要，往往又不是很明确，仅有的信息可能是一般性的知识和经验，即可能是材料行为的几条应力－应变曲线。在有限元软件库中选择合适的本构模型，如果没有合适的本构模型，要开发用户材料子程序。重要的是理解本构模型的关键特征，创建模型的假设，材料、荷载和变形域、以及程序中的数值问题是否适合模型。2应力-应变曲线材料应力－应变行为的许多基本特征可以从一维应力状态(单轴应力或者剪切)的一组应力-应变曲线中获得，多轴状态的本构方程常常基于在试验中观察到的一维行为而简单生成。载荷－位移曲线0LLx名义应力（工程应力）给出为定义伸长0ATpx工程应变定义为1000xxLLLL2应力-应变曲线Cauchy（或者真实）应力表示为以每单位当前长度应变的增量随长度的变化得到另一种应变度量xLLxLLLdLeln)ln(00对数应变（也称为真实应变）xxxxDe对材料时间求导，表达式为一维情况，上式为变形率当前面积的表达式给出为xAJLLAJA000xxxxpJJATAT10真实应力－应变曲线工程应力－应变曲线2应力-应变曲线考虑一种不可压缩材料(J＝1)，名义应力和工程应变的关系为真实应力(对于不可压缩材料))(0xxsp1000xxLLLL)()(0xxxxss)1()(0xxxss说明了对于本构行为应用不同泛函表达式的区别，对于同样材料取决于采用何种应力和变形的度量。应力－应变曲线的显著特征之一是非线性的度。材料线弹性行为的范围小于应变的百分之几，就可以采用小应变理论描述。2应力-应变曲线应力－应变反应与变形率无关的材料称为率无关；否则，称为率相关。名义应变率定义为率无关和率相关材料的一维反应0LxLxLLL00因为和即名义应变率等于伸长率，例如xx可以看出，对于率无关材料的应力－应变曲线是应变率独立的，而对于率相关材料的应力－应变曲线，当应变率提高时是上升的；而当温度升高时是下降的。2应力-应变曲线对于弹性材料，应力－应变的卸载曲线简单地沿加载曲线返回，直到完全卸载，材料返回到了它的初始未伸长状态。然而，对于弹－塑性材料，卸载曲线区别于加载曲线，卸载曲线的斜率是典型的应力－应变弹性（初始）段的斜率，卸载后产生永久应变。其它材料的行为介于这两种极端之间。由于在加载过程中微裂纹的形成材料已经损伤，脆性材料的卸载行为，当荷载移去后微裂纹闭合，弹性应变得到恢复。卸载曲线的初始斜率给出形成微裂纹损伤程度的信息。(a)弹性,(b)弹-塑性,(c)弹性含损伤3一维弹性弹性材料的基本性能是应力仅依赖于应变的当前水平。这意味着加载和卸载的应力-应变曲线是一致的，当卸载结束时材料恢复到初始状态。称这种应变是可逆的。而且，弹性材料是率无关的(与应变率无关)。弹性材料的应力和应变是一一对应的。小应变可逆和路径无关默认在变形中没有能量耗散，在弹性材料中，储存在物体中的能量全部消耗在变形中，卸载后材料恢复。对于一维弹性材料，可逆、路径无关、无能量耗散是等价的特征。对于二维和三维弹性，以及超弹性材料，也类似。)(xxsxxxdwx0)(对于任意应变，不管如何达到应变值，上式给出唯一应力值。3一维弹性应变能一般是应变的凸函数，例如，(a)凸应变能函数(b)应力应变曲线0)))(()((2121xxxxww21xx当公式的等号成立。凸应变能函数的一个例子如图所示。在这种情况下，函数是单调递增的，如果w是非凸函数，则s先增后减，材料应变软化，这是非稳定的材料反应，如右下图。0xdds(a)非凸应变能函数(b)相应的应力应变曲线大应变从弹性推广到大应变，只要选择应变度量和定义应力（功共轭）的弹性势能。势能的存在是默认了可逆、路径无关和无能量耗散。如3一维弹性xxEwS在弹性应力-应变关系中，从应变的势函数可以获得应力为超弹性。如一维大应变问题，以Green应变的二次函数表示221xSEEEwxSExEES对于小应变问题，即为胡克定律。大应变一种材料的Cauchy应力率与变形率相关，称为次弹性。这种关系一般是非线性的，给出为3一维弹性一个特殊的线性次弹性关系给出为这是与路径无关的超弹性关系。对于多轴问题，一般次弹性关系不能转换到超弹性，它仅在一维情况下是严格路径无关的。然而，如果是弹性小应变，其行为足以接近路径无关的弹性行为。因为次弹性的简单性，公式(5.3.11)的多轴一般形式常常应用在有限元软件中，以模拟大应变弹塑性的弹性反应。),(xxxDfxxxxEED对上式的关系积分，得到xxElnxxxxxdEdd1ln4非线性弹性对于有限应变有许多不同的应力和变形度量，同样的本构关系可以写成几种不同的形式，总是可能从一种形式的本构关系转换到另一种形式。大应变弹性本构模型首先表述成Kirchhoff材料的一种特殊形式，由线弹性直接生成到大变形。满足路径无关、可逆和无能量耗散。因此，路径无关的程度可以视为材料模型弹性的度量。次弹性材料是路径无关程度最弱的材料，遵从Cauchy弹性，其应力是路径无关的，但是其能量不是路径无关的。超弹性材料或者Green弹性，它是路径无关和完全可逆的，应力由应变势能导出。4非线性弹性小应变和大转动E:CSklijklijECS式中C为弹性模量(切线模量)的四阶张量，对Kirchhoff材料是常数，代表了应力和应变的多轴状态。它可以完全反映材料的各向异性。许多工程应用包括小应变和大转动。在这些问题中，大变形的效果主要来自于大转动，如直升机旋翼、船上升降器或者钓鱼杆的弯曲。由线弹性定律的简单扩展即可以模拟材料的反应，但要以PK2应力代替其中的应力和以Green应变代替线性应变，这称为Saint-Venant-Kirchhoff材料，或者简称为Kirchhoff材料。最一般的Kirchhoff模型为4非线性弹性E:CSklijklijECS式中C为弹性模量的四阶张量，有81个常数。利用对称性可以显著地减少常数。一般的四阶张量有34＝81个独立常数，与全应力张量的9个分量和全应变张量的9个分量有关。如次弹性本构方程这样C为对称矩阵（主对称性），在81个常数中有45个是独立的。成为上三角或下三角矩阵。4非线性弹性利用势能表示的应力－应变关系和Green公式，ijklklijEEWEEW22ijijEWS故有ijklklijESES应力张量和应变张量均为对称张量（次对称性），即jiijjiijEESS,4非线性弹性应力张量和应变张量均为对称张量（次对称性），即jiijjiijEESS,ijlkjiklklijijklCCCC再利用模量的主对称性使独立弹性常数的数目减少，由36个常数减少为21个，为各向异性材料。应力和应变张量的对称性要求应力的6个独立分量仅与应变的6个独立分量有关，由弹性模量的局部对称结果，独立常数的数目减少到36个。4非线性弹性写成矩阵形式为（可以是上或下三角矩阵）对于正交各向异性，具有正交的三个弹性对称面，当坐标变号，为使应变能密度不变，有045353425241514CCCCCCC这样由21个常数减少为14个，为正交各向异性材料。若材料对称坐标平面，当沿轴平面反射时，弹性模量不变，固为正交各向异性体，有05646362616CCCCC121323332211665655464544363534332625242322161514131211121323332211222EEEEEECCCSymCCCCCCCCCCCCCCCCCCSSSSSS对于一个由三个彼此正交的对称平面组成的正交材料(如木材或纤维增强的复合材料)，仅有9个独立弹性常数，Kirchhoff应力－应变关系为材料对称坐标平面，为正交各向异性体4非线性弹性对于各向同性材料，仅有3个常数366554423123211332211CCCCCCCCCCCC4非线性弹性小应变和大转动klijklijijkkijECEES2E:CEIES2)(trace对于各向同性的Kirchhoff材料，其应力－应变关系可以写成为式中Lamé常数，体积模量K，杨氏模量E和泊松比)1(2E)21)(1(E32K的关系为材料对称的一个重要的例子是各向同性。一个各向同性材料没有方位或者方向的选择，因此，当以任何直角坐标系表示的应力－应变关系是等同的。对于小应变的许多材料(如金属和陶瓷)可以作为各向同性进行模拟。张量C是各向同性的。在任何坐标系统中，一个各向同性张量有相同的分量。(克罗内克)符号构成的一个线性组合：4非线性弹性不可压缩性在变形的过程中，不可压缩材料的体积不变，密度保持常数。不可压缩材料的运动称为等体积运动。1detFJ总体变形等体积约束运动的率形式0)(Dvtracediv将应力和应变率度量写成偏量和静水（体积的）部分的和，对于不可压缩材料，静水部分也称为张量的球形部分，分解式为：hyddevvoldevDDD对于不可压缩材料，压力不能从本构方程确定，而是从动量方程确定。4非线性弹性Kirchhoff应力στJTFSFτ由Jacobian行列式放大，称它为权重Cauchy应力。对于等体积运动，它等同于Cauchy应力。次弹性次弹性材料规律联系应力率和变形率。D:Cσ上式是率无关、线性增加和可逆的。对于有限变形状态的微小增量，应力和应变的增量是线性关系，当卸载后可以恢复。然而，对于大变形能量不一定必须守恒，并且在闭合变形轨迹上作的功不一定必须为零。次弹性规律主要用来代表在弹-塑性规律中的弹性反应，小变形弹性，且耗能效果也小。4非线性弹性切线模量之间的关系对于各向同性材料Jaumann率的切线模量为某些次弹性本构关系共同应用的形式为DCσ:JJDCσ:TTDCσ:GG)(jkiljlikklijJijklC对于同一种材料，切线模量不同，材料反应的率形式不同，如*CCIσCCCJJTJCTC如果是常数，不是常数。切线模量证明见第5.4.5节，推导复杂4非线性弹性超弹性材料平衡方程是以物体中应力的形式建立的，应力来源于变形，如应变。如果本构行为仅是变形的当前状态的函数，为与时间无关的弹性本构。而对于接近不可压缩的材料，仅依赖变形（应变）不一定能够得到应力。储存在材料中的能量（功）仅取决于变形的初始和最终状态，并且是独立于变形（或荷载）路径，称这种弹性材料为超弹性（hyper-elastic）材料，或者为Green弹性，例如常用的工业橡胶。动物的肌肉也具有超弹性的力学性质。这里主要讨论橡胶材料的超弹性力学行为。4非线性弹性超弹性材料EECCS)()(2w对于功独立于荷载路径的弹性材料称之为超弹性（Green弹性）材料。超弹性材料的特征是存在一个潜在（或应变）能量函数，它是应力的势能：通过适当转换获得了对于不同应力度量的表达式TTTwJFEEFFCCFFSF)()(2στPFST由于变形梯度张量F是