大学物理机械波课件

第五章机械波5.1波动机械波电磁波波动机械振动在弹性介质中的传播.交变电磁场在空间的传播.两类波的不同之处机械波的传播需有传播振动的介质;电磁波的传播可不需介质.能量传播反射折射干涉衍射两类波的共同特征波线：表征波的传播方向的带箭头的线。波面：振动相位相同的点所连成的曲面。平面波：波面是平面的波（平面波源，各向同性均匀媒质）球面波：波面是球面的波（点波源，各向同性均匀媒质）波前：离波源最远（即“最前方”）的波面。注意：（1）在各向同性均匀媒质中波线垂直于波面。（2）球面波和平面波是真实波动的理想近似。*球面波平面波波前波面波线球面波、柱面波的形成过程：1、横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直。只能存在于有剪切应力的介质中。（固体、稠液体）2、纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行。存在于固体、液体、气体各种媒质中。振动方向传播方向（波线）传播方向（波线）振动方向注意：纵波横波复杂波横波：波峰，波谷纵波：疏区，密区注：在固体中可以传播横波或纵波，在液体、气体(因无剪切效应)中只能传播纵波。uuT播的距离。即振动在一个周期内传角频率。频率：波源的振动的周期，角频率，频率周期,,2`T由波源和媒质决定的两质点间的距离。位相差：在同一波线上振动相波长23`22,1TT由波源决定1、波速u：振动状态的传播速度(也是相位传播速度）,由媒质的性质和状态决定。波动方程描写一根波线上任一质点在任一时刻的振动平面简谐波：在均匀无吸收介质中传播的平面波，波源作谐振动。在波线上任取一点为坐标原点，沿波线方向建立坐标轴x:波线上各质点的平衡位置坐标y:各质点离开平衡位置的位移oPx横波：点上方质点在Py,0纵波：点下方质点在Py,0点右方质点在Py,0点左方质点在Py,0),(txyy5.2波动方程PoXYxutAycos01、已知坐标原点O的振动方程，求波动方程波线上各质点依次重复波源的振动，各质点振动相位沿传播方向依次滞后（落后）.点的振动时刻点的振动时刻OuxtPtuxtAycos注意：xtA2cosxTtA2cosTTu22,根据uxtAycos相位滞后式时间滞后式对称式(2)、x点的初相位为x2）两点的相位差（设和同一时刻，1221)3(xxxx211xtx点相位：222xtx点相位：:两点相位差xxtxt2)2()2(21波程差相位差2x2(4)、x处质点的振动速度和加速度uxtAtyvsinuxtAtyacos222-)5(的波动方程方向传播的平面简谐波、沿XuxtAycosxtA2cosxTtA2cosPoXYxutAycos0完全由波源的振动规律决定v由媒质的性质和状态决定u振动状态的传播速度质点的运动速度恒量u),(txvv与波线方向相同横波：与波线垂直纵波：与波线平行（7）、注意区分波源点，原点，参考点（已知振动方式的点）0xp0yx源u2.已知波线上一点x0的振动方程，求波动方程)cos(:00tAyx参考点])(cos[0uxxtAy同样适用及对000xxxx0xxyuPoXYxux0])(cos[0uxxtAy问题：x=0点的初位相为多少？x点的初相是多少？uxxux00）图（振动图：1`1xxty位置的偏移。波线上各质点对平衡反映在某一特定时刻uxtAy1cos位置的偏移。对平衡在不同时刻反映波线上某一特定点）图（波形图：1`2ttxyuxtAy1cos相邻两峰之间距为一个波长相邻两峰之间距为一个周期波线上各点的简谐运动图txu波速u是相位传播速度方向推移。连续变化，波形就沿另一方面由于时间有确定的波形，一时刻均为变量时，一方面任、当波形的传播xtttx3`yxuOyxuO)(π2)(π2xxTttxTtxTtt时刻tt时刻x4、由波形曲线及传播方向判断波形图上各质点振动速度方向oXYuV0V0t+dt时刻t时刻沿X轴正向传播的波，曲线上升段各质点速度为负，曲线下降段各质点速度为正沿X轴负向传播的波，曲线上升段各质点速度为正，曲线下降段各质点速度为负t+dt时刻oXYuV0V0t时刻三、平面波的波动微分方程0cosuxtAy对求x、t的二阶偏导数得:,cos0222uxtAty222221tyuxy任何物理量y，若它与时间、坐标间的关系满足上式，则这一物理量就按波的形式传播。平面波的波动微分方程,cos02222uxtuAxy1）给出下列波函数所表示的波的传播方向和点的初相位.0x)(π2cosxTtAy)(cosuxtAy讨论)π,(向x轴正向传播)π,(向x轴负向传播2）平面简谐波的波函数为式中为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为的两点间的相位差.)cos(CxBtAyCBA,,d)cos(CxBtAy)(π2cosxTtAyCπ2BTπ2CBTudCdπ2OyxuabcAAt=T/43）如图简谐波以余弦函数表示，求O、a、b、c各点振动初相位.)π~π(t=0πo2πa0b2πcOyAOyAOyAOyA解二：由t=T/4时刻的波形图求初相ooT2/34/2/4/aaT02/4/bbT2/04/ccTOyxuabcAAt=T/4例1已知波动方程如下，求波长、周期和波速.].)cm01.0()2.50s[(πcos)cm5(-1-1xty解：比较系数法)(π2cosxTtAy])cm201.0()s22.50[(π2cos)cm5(1-1-xty把题中波动方程改写成s8.0s5.22Tcm20001.0cm21scm250Tu比较得例如图所示，一平面简谐波沿Ox轴的负方向传播，波速大小为u，若P处介质质点的振动方程为求该波的波动表达式。),cos(tAyPxOPLu])(cos[uLxtAy])(π2cos[xTtAy1）波动方程2π例2一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，已知振幅，，.在时坐标原点处的质点位于平衡位置沿Oy轴正方向运动.求0tm0.2m0.1As0.2T0,0tyyv00xt解写出波动方程的标准式yAO]2π)0.20.2(π2cos[0.1xty2）求波形图.)sin(π0.1xs0.1t]π2πcos[0.1xy波形方程s0.1t]2π)0.20.2(π2cos[0.1xtyom/ym/x2.01.0-1.0时刻波形图s0.1t3）处质点的振动规律并做图.m5.0x)πcos(π0.1ty处质点的振动方程m5.0x0m/y1.0-1.0s/t2.0Oy1234******1234处质点的振动曲线m5.0x1.0]2π)0.20.2(π2cos[0.1xty点振动方程求波动方程和时刻的波形如图所示例：Pt,0om/ym/x0.200.04-1sm08.0uPs5,sm08.00.40m,4m,0.0-1TuA解：,2π]2π)40.05(π2cos[04.0xty]23π5π2cos[04.0tyP.,0sm200-1求波动方程所示处质点的振动曲线如图的波速前进，轴负向以例：一平面简谐波沿xuX-1sm2000.12s4m,00.0uTA解：3πm]3π)2412.0(π2cos[004.0xtyomm/yms/t504.01102.024m,一、介质的弹性模量ffffSfp—应力或胁强VV—体应变或胁变f—正压力S—受力面积V—受力前立方体的体积'V—受力后立方体的体积VVV'—体积的增量(容变情形)VVpK1、容变模量（对于流体）VpVK1容变模量5.3波的能量ff(长变情形)lllSf—应力或胁强ll—线应变或胁变S—横截面积llSfE杨氏模量ff(切变情形)f—切向力S—柱体底面积SfG切变模量2、杨氏模量3、切变模量)(lESk劲度系数Sf—应力或胁强—切应变DdDd注意：波速u由介质的弹性模量和质量密度决定。固体中横波波速Gu为媒质切变模量。G为媒质密度。固体中纵波波速Eu为媒质的扬氏模量。E为媒质密度。沿张紧弦传播的横波波速lFu为弦的张力。F为弦的质量线密度。l气体、液体中的纵波波速Ku为媒质的容变模量。K为媒质密度。例：频率为=12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播，棒的杨氏模量为E=1.91011N/m2，棒的密度=7.6103kg/m3。求棒中的波速、波长、周期。解棒中的波速m/s100.5mkg106.7mN109.1333211Eu波长m40.0s105.12sm100.51313vu周期s10815vT对于沿直杆传播的机械纵波Eu2)(21ykEpxESk,xSV体元Vm其质量VxyEyxES2221)(211y2yAAAABBBBVtymvEk222121对于沿张紧绳索(x轴正向)传播的机械横波xmxl处质元取,cosuxtAyuxtAtyvsinuxtAxmvElk2222sin2121xxyFEp221可以证明：uxtuAxysinlFuuxtAxl222sin211、波的动能和势能均随时间作同周期性变化，变化周期为波动周期的一半（T/2）。2、动能与势能同相变化。质元内的波动能量在之间变化。22~0Axl当E增加时，表示有能量沿波线传入质元；当E减少时，表示有能量沿波线从质元传出。能量密度uxtAxEwl222sin平均能量密度22022221sin1AdtuxtATwlTluxtAxEEElpk222sin3、上述结论对所有弹性简谐波都适用。理解动能与势能同相变化oXYuABCB’A’C’DE以横波为例，考察某时刻波形图上的许多质元，位移最大处的质元C,C’由于dy/dx=0,没有形变，波动势能最小（为0）；而位移为0处的质元A,A’，dy/dx最大，形变最大，波动势能最大。某质元由C点运动到D点的过程中，有能量从左传来，再由D点运动到E点的过程中，将能量输送给右边质元。oyxAB不随时间变化。各点的波的能量密度都减少；点处质元的振动动能在轴负方向传播；波沿减少；点处质元的弹性势能在）。能在增大，则（点处介质质元的振动动示，若此时时刻的波形曲线如图所例：一平面简谐波在....DBCxBAAAtB1、平均能流：单位时间内垂直通过S面的平