数学九年级上册特殊四边形单元测试题(含答案)

第1页第一章单元测试卷(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)1.下列说法中，正确的是(C)A．相等的角一定是对顶角B．四个角都相等的四边形一定是正方形C．平行四边形的对角线互相平分D．矩形的对角线一定垂直2.下列命题中，真命题是(D)A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形3.菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为(C)A．2B.3C．1D.124.如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成(C)A．22.5°角B．30°角C．45°角D．60°角,第5题图),第6题图),第7题图)5.如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为(C)A．90°B．60°C．45°D．30°6.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是6cm，8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是(B)A.485cmB.245cmC.125cmD．53cm7.如图，在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是(D)A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形C．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形8.如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是(D)A.5B.136C．1D.56,第8题图),第9题图),第10题图)9.如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是(D)A.12B.33C．1－33D.2－110.如图，点E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，点P为CE上任意一点，PQ第2页⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ＋PR的值为(D)A.22B.12C.32D.2二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)11.已知菱形的周长是20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的另一条对角线长为6cm.12.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件AB＝BC(答案不唯一)，使其成为正方形．(只填一个即可)13.如图，点E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，则∠AEB＝30°.,第13题图),第15题图),第16题图)14.直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积是30cm2.15.如图，矩形ABCD的对角线BD的中点为O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OA，已知AB＝5，BC＝12，则四边形ABEO的周长为20.16.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，则点E的坐标为__(3，43)__．三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分)17.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE＝∠CDF.(1)求证：AE＝CF；(2)连接DB交EF于点O，延长OB至G，使OG＝OD，连接EG，FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由．证明：(1)在正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，在△ADE和△CDF中，∠ADE＝∠CDF，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴AE＝CF(2)四边形DEGF是菱形．理由如下：在正方形ABCD中，AB＝BC，∵AE＝CF，∴AB－AE＝BC－CF，即BE＝BF，∵△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∴BD垂直平分EF，∴EO＝FO.又∵OG＝OD，DE＝DF，∴四边形DEGF是菱形18.如图，已知菱形ABCD两条对角线BD与AC的长度之比为3∶4，周长为40cm，求菱形的高及面积．解：∵BD∶AC＝3∶4，∴设BD＝3x，AC＝4x，∴BO＝3x2，AO＝2x，又∵AB2＝BO2＋AO2，∴AB＝52x，∵菱形的周长是40cm，∴AB＝40÷4＝10(cm)，即52x＝10，∴x＝4，∴BD＝12cm，AC＝16cm，∴S菱形ABCD＝12BD·AC＝12×12×16＝96(cm2)，又∵S菱形ABCD＝AB·h，∴h＝9610＝9.6(cm)，菱形的高是9.6cm，面积是96cm2第3页19.如图，在矩形ABCD中，点E为AD边上一点，EF⊥CE，交AB于点F，若DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF，求AE的长．解：∵EF⊥EC，∴∠1＋∠3＝90°.∵在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2.又∵EF＝EC，∴△EFA≌△CED(AAS)，∴AE＝CD.设AE＝x，则DC＝x.由矩形的周长为16得2x＋2＝8，∴x＝3，即AE的长为3四、解答题(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分)20.如图，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形(2)AB＝AD(或AC⊥BD答案不唯一)．理由：∵四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形(或：∵四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形)21.如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△DCA≌△EAC；(2)只需添加一个条件，即AD＝BC(答案不唯一)，可使四边形ABCD为矩形，请加以证明．解：(1)在△DCA和△EAC中，DC＝EA，AD＝CE，AC＝CA，∴△DCA≌△EAC(SSS)(2)添加AD＝BC，可使四边形ABCD为矩形．理由：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，由(1)知△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E＝90°，∴四边形ABCD为矩形22.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE的延长线上，且AF＝CE＝AE.(1)求证：四边形ACEF是平行四边形；(2)当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．解：(1)由题意知∠FDC＝∠DCA＝90°，∴EF∥CA，∴∠AEF＝∠EAC.∵AF＝CE＝AE，∴∠F＝∠AEF＝∠EAC＝∠ECA.又∵AE＝EA，∴△AEC≌△EAF，∴EF＝CA，∴四边形ACEF是平行四边形(2)当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形．理由：∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝12AB.∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE.∵AE＝CE，∴AE＝BE＝CE＝12AB，∴AC＝CE，由(1)得四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)23.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.(1)求证：BE＝BF；(2)若∠ABE＝20°，求∠BFE的度数；(3)若AB＝6，AD＝8，求AE的长．第4页解：(1)由题意得∠BEF＝∠DEF.∵四边形ABCD为矩形，∴DE∥BF，∴∠BFE＝∠DEF，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF(2)∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABF＝90°；而∠ABE＝20°，∴∠EBF＝90°－20°＝70°；又∵∠BEF＝∠BFE，∴∠BFE的度数为55°(3)由题意知BE＝DE；设AE＝x，则BE＝DE＝8－x，由勾股定理得(8－x)2＝62＋x2，解得x＝74，即AE的长为7424.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts(0＜t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．解：(1)∵∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，∴DF＝2t，又∵AE＝2t，∴AE＝DF(2)能，理由：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即60－4t＝2t，解得t＝10，∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形(3)①当∠DEF＝90°时，由(1)知四边形AEFD为平行四边形，∴EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，∵∠A＝60°，∴∠AED＝30°，∴AD＝12AE＝t，又AD＝60－4t，即60－4t＝t，解得t＝12；②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，∴AD＝2AE，即60－4t＝4t，解得t＝152；③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．综上所述，当t＝152s或12s时，△DEF为直角三角形25.已知正方形ABCD中，点E，F分别为BC，CD上的点，连接AE，BF相交于点H，且AE⊥BF.(1)如图1，连接AC交BF于点G，求证：∠AGF＝∠AEB＋45°；(2)如图2，延长BF到点M，连接MC，若∠BMC＝45°，求证：AH＋BH＝BM；(3)如图3，在(2)的条件下，若点H为BM的三等分点，连接BD，DM，若HE＝1，求△BDM的面积．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＝45°，∵AE⊥BF，∴∠AEB＋∠FBC＝90°，∵∠FBC＋∠BFC＝90°∴∠AEB＝∠BFC，∵∠AGF＝∠BFC＋∠ACF，∴∠AGF＝∠AEB＋45°(2)过C作CK⊥BM于K，∴∠BKC＝∠AHB＝90°，∵∠BMC＝45°，∴CK＝MK，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABH＝∠BCK，∴△ABH≌△BCK(AAS)，∴BH＝CK＝MK，AH＝BK，∴BM＝BK＋MK＝AH＋BH(3)由(2)得，BH＝CK＝MK，∵H为BM的三等分点，∴BH＝HK＝KM，过E作EN⊥CK于N，∴四边形HENK是矩形，∴HK＝EN＝BH，∠BHE＝∠ENC，∴△BHE≌△ENC(ASA)，∴HE＝CN＝NK＝1，∴CK＝BH＝2，∴BM＝6，连接CH，∵HK＝MK，CK⊥MH，∠BMC＝45°，∴CH＝CM，∠MCH＝90°，∴∠BCH＝∠DCM，∴△BHC≌△DMC(SAS)，∴BH＝DM＝2，∠BHC＝∠DMC＝135°，∴∠DMB＝90°，∴△BDM的面积为12DM·BM＝6