6直接设计法最少拍有限无纹波

第6章线性离散时间系统的时域直接设计法线性离散时间控制系统的设计方法可以分为几类：（复频域）间接设计法时域直接设计法纯滞后系统设计法离散状态空间设计法智能设计法(本课程未涉及)6.1引言6.2最少拍设计理论6.3工程考虑与优缺点6.4有限拍无纹波系统设计D(z)G(s)被控对象调节器ZOHR(z)E(z)U(z)U(s)Y(z)Y(s)D(z)G(z)被控对象调节器R(z)Y(z)E(z)U(z)离散化等效模型5.1引言控制系统模型什么是直接设计法线性连续时间被控对象G(s)，希望进行计算机（离散时间）控制设计先对被控对象G(s)离散化，得到对应的G(z)再直接按照动态指标要求，进行离散时间动态设计，得到对应的调节器传递函数D(z)什么是最少拍一种时域直接设计法针对某一特定的输入R(z)，求得一个调节器D(z)，使得误差E(z)为有限N项罗朗级数e(k)只有有限n项——时域指标称为有限拍控制如果N取得可能的最小值，称为最小拍控制这种方法称为有限拍/最小拍设计法是一个时域设计方法5.2.1.基本模型G(z)是包括H0(s)在内的被控对象的离散模型一般考虑R(z)有三种典型的输入形式2)(21,),(1)(kTkTkkr1211112131111(),,(1)1(1)2(1)RzTzTzzzzz5.2最少拍设计理论Gc(z)是闭环输入-输出传递函数Ge(z)是闭环输入-误差传递函数二者有如下关系由此可得调节器传递函数给定e(k)为有限项，求得满足要求的D(z)？？()()()()()1()()cYzDzGzGzRzDzGz闭环输出传递函数设计目标()1()()1()()eEzGzRzDzGz闭环误差传递函数设计目标()()1ceGzGz＋＝)()()()(zGzDzGzGec()()()()ceGzDzGzGz调设计对象节器5.2.2.设计目标寻找一个z-1的可能最短的有限项多项式E(z)只有开始（可能最短的）几拍的跟踪误差不为零——最少拍的由来进而通过Ge(z)、Gc(z)，最后求得调节器D(z)并且要求满足：闭环系统是稳定的D(z)本身是稳定的D(z)本身是可实现的5.2.3.设计方法因而需要研究以下问题：E(z)如何选取？E(z)如何受G(z)和R(z)的约束？如何设计D(z)？可能的最少拍是多少？下面逐个解答E(z)如何选取？对于p阶单位输入当时，分别有，p=1，2，3选取其中Ap-1(z-1)是一个z-1的p-1阶多项式，是R(z)的一部分;Bq(z-1)是一个z-1的q阶待定多项式，有q+1个待定系数。如何设计D(z)则可求得满足E(z)的下式，Gc(z)和Ge(z)都是有限项多项式1111111()11()'()(1)!(1)(1)ppppAzRzTzAzpzz)()()(111zBzAzEqp()()()()ceGzDzGzGz2)(21,),(1)(kTkTkkr)()()()()()(zGzBzzRzEzGqpc11e11一般地被控对象G(z)可写成其中，z-r是G(z)中的纯滞后将Gc(z)、Ge(z)和G(z)带入D(z)则得下面讨论如何满足对D(z)的三个要求闭环系统是稳定的D(z)本身是稳定的D(z)本身是可实现的1111(1)()0(1)mrinjjizqzGzKrpz，1111()(1)()()()()()(1)ncjjcmreeiiGZpzGzDzGzGzGZKzqzE(z)如何受G(z)和R(z)的约束？z-r要求D(z)有超前特性，这是不可能实现的。必须在Gc(z)中保留滞后项z-r。若G(z)中包含t个单位圆外的零点，D(z)中将出现不稳定极点。必须在Gc(z)中保留G(z)中的这些单位圆外的零点，设为一个z-1的t阶多项式，记为据此有，其中，是一个z-1的l阶待定多项式，r和t都会使调节时间变长（有限拍数）1111()(1)()()()()()(1)ncjjcmreeiiGZpzGzDzGzGzGZKzqz)(1zSt)()()(11zTzSzzGltrc)(1zTl设计结果为：，有q+1个待定系数，有l+1个待定系数带入得是z-1的l+t+r阶多项式，可有l+t+r+1个系数方程总共有q+1+l+1个待定系数可求得D(z)的约束条件1）l+t+r=p+q——Gc(z)和Ge(z)阶数相同2）由l+t+r+1个线性方程组成的，包含q+1+l+1个待定系数的方程组有解)()()(11zTzSzzGltrc)()()(111zBzAzEqp)()1()()()(11zBzzRzEzGqpe1)()(zGzGec1)()()()1(1111zTzSzzBzltrqp可能的最小拍是多少？这是一个较为复杂的问题依据约束条件求得可能最小的l+t+r=p+q，便得最小拍为最小拍数=min{l+t+r}=min{p+q}5.3工程考虑与优缺点5.2中的分析和结果都只是理论上的对于一个实际的被控系统，要受到很多物理上的约束，必须对以上的分析结果进行修正有限拍设计法有其本身先天的缺陷5.3.1工程考虑——有限拍考虑实际系统，比如G(z)是个温度控制对象，R(z)和Y(z)表示温度，U(z)表示加热功率；Y(z)增大，意味着系统储能增大最少拍受最大输出功率限制左图中为了实现最小拍，需要“过大”功率，无法工程实现受输出功率限制，实际可能需要更多的拍数0kTsr(k)y(k)u(k)Ts0kTsr(k)y(k)u(k)Ts最少拍受Ts限制Ts越小，当输出功率受限时，每拍数出能量更小因而，Ts越小，需要的拍数更多受输出（阶跃）变化的幅值限制数出（温度）变化的幅值越大，需要更多的补充能量使得需要更多的控制拍数因此，理论上的最少拍往往无法实现，实际上达到无差所需的拍数要“更多”这时，就称为有限拍有限拍如何设计？增大q和l，重新解下式根据各种工程约束，可能要反复几次即可得有限拍数=l+t+r=p+q)()()(11zTzSzzGltrc)()()(111zBzAzEqp)()1()()()(11zBzzRzEzGqpe1)()(zGzGec1)()()()1(1111zTzSzzBzltrqp5.3.2最少拍设计法的优缺点针对特定的输入函数R(z)，按最小拍设计的系统可实现快速无差跟踪，理论上很完美针对某一特定输入设计的有限拍系统，其调节器D(z)对于该特定输入是最小拍无差；但是，对于其它不同类型的输入，其输出特性可能会变得很差。这是有限拍设计法的最大缺点有限拍设计法是基于严格的被控对象G(z)的数学模型的；当G(z)的数学模型有偏差时，“最小拍无差”就会失效对于闭环动态系统，无论是内环还是外环，一般很难限定其输入函数为那种典型类型；加上G(z)的数学模型总会有误差，使得其工程应用受到限制有限拍系统设计，是指有限拍之后，输出y(k)在采样点上无误差；但是在采样点之间还是可能有纹波的。如下图所示无纹波设计就是要让输出y(k)无论在采样点上，还是在采样点间都是平稳无纹波的r(k)0kTsy(k)u(k)TskTsr(t)0y(k)u(k)Ts5.4有限拍无纹波系统设计5.4.1达到输出无纹波的必要条件要使Y(s)无纹波，必须是U(s)无纹波ZHO的输出U(s)或u(t)无纹波，数字调节器D(z)的输出U(z)或u(k)必须满足：就是说，u(k)必须在有限拍内达到、并保持恒值D(z)G(s)被控对象调节器ZOHR(z)E(z)U(z)U(s)Y(z)Y(s)()0()ukukCkpq，或，5.4.2对被控对象G(s)的要求在满足对u(k)要求的条件下当阶跃输入时，要实现输出无纹波，G(s)中可以无积分环节当斜坡输入时，要实现输出无纹波，G(s)中至少应有一个积分环节当加速度输入时，要实现输出无纹波，G(s)中至少应有两个积分环节……，为什么？？？G(z)成为()0()ukukCkpq，或，11111(1)()0,0(1)(1)mrinsjjizqzGzKrszpz，例，如下图当输入r(k)为阶跃时，有限拍后，u(k)恒为零，u(t)亦恒为零，积分后u1(t)为恒定常数，使得输出y(t)为恒值无纹波。当输入r(k)为斜坡时，有限拍后，u(k)为恒定非零常数，u(t)为恒定常数，积分后u1(t)为连续时间斜坡函数，使得输出y(t)为斜坡无纹波。当输入r(k)为加速度时，u1(t)必须为加速度函数，u(t)必须为斜坡函数；对于零阶保持器这是不可能的。因此，需要G(s)中至少应有两个积分环节H0(s)G1(s)u(t)y(t)1su1(t)G(s)u(k)5.4.3如何设计D(z)？定义输入r(k)到控制u(k)的传递函数带入可求得U(z)11111(1)()0,0(1)(1)mrinsjjizqzGzKrszpz，)()()(11zTzSzzGltrc)()()()()()()(zGzGzDzGzRzUzGceu)()()()(zRzGzGzUc111()()(1)ppAzRzz令Gc(z)中包含G(z)中的全部零点，即t=m，St(z-1)与m个零点对消v最大为1，可以是0或负1,)1()()1()(1,)1()()1()1()()()1()()1()1()1()()()()(1)()(1111111111111111111111111vzKzAzpzTspzzAzqKzpzTzSzzAzqKzzpzzTzSzzRzGzGzUvpnjjlsppmiinjjltppmiirnjjsltrc可以证明，当分子是z-1的有限项，且分母仅含最多一个(1-z-1)因子时，有限项后U(z)一定为常数5.4.4结论在有限拍设计中，为了实现输出无纹波，在前述有限拍设计的基础上，还必须同时满足：当输入r(k)为p阶典型输入时，被控对象传递函数G(s)中必须至少含有p-1个纯积分环节闭环输入-输出离散（脉冲）传递函数Gc(z)中必须包含G(z)中的全部零点