人教版初中数学第十五章分式知识点

第十五章分式15.1分式15.1.1从分式到分式1、一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子BA叫做分式，A为分子，B为分母。2、与分式有关的条件（1）分式有意义：分母不为0（0B）（2）分式无意义：分母为0（0B）（3）分式值为0：分子为0且分母不为0（00BA）（4）分式值为正或大于0：分子分母同号（00BA或00BA）（5）分式值为负或小于0：分子分母异号（00BA或00BA）（6）分式值为1：分子分母值相等（A=B）（7）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）例1．若24x有意义，则x的取值范围是（）A．x＞4B．x≠4C．x≥4D．x＜4【答案】B．【解析】试题解析：由题意得，x-4≠0，解得，x≠4，故选B．考点：分式有意义的条件．考点：分式的基本性质．例2．要使分式1(1)(2)xxx有意义，则x应满足（）A．x≠-1B．x≠2C．x≠±1D．x≠-1且x≠2【答案】D．【解析】试题分析：∵（x+1）（x﹣2）≠0，∴x+1≠0且x﹣2≠0，∴x≠﹣1且x≠2．故选D．考点：分式有意义的条件．例3．下列各式：，，，，中，是分式的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C．【解析】试题分析：，，中分母中含有字母，因此是分式．故分式有3个．故选C．考点：分式的定义．例4．当x=时，分式211xx的值为0．【答案】1【解析】试题分析：由题意得：210x，且x+1≠0，解得：x=1，故答案为：1．考点：分式的值为零的条件．15.1.2分式的基本性质1、分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。字母表示：AABCBC，CBCABA，其中A、B、C是整式，C0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：BBABBAAA注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。例1．如果把分式yxx10中的x、y都扩大到原来的10倍，则分式的值（）A．扩大100倍B．扩大10倍C．不变D．缩小到原来的101【答案】C．【解析】试题分析：把分式yxx10中的x、y都扩大到原来的10倍，可得yxx10101010=yxx10，故选C．2baxx3y5baba)(1yxmxx3baba)(1yxm考点：分式的基本性质．例2．把分式2abab中的a、b都扩大6倍，则分式的值（）A.扩大12倍B.不变C.扩大6倍D.缩小6倍【答案】C．【解析】试题分析：分别用6a和6b去代换原分式中的a和b，原式=26612266abababababab，可见新分式的值是原分式的6倍．故选C．考点：分式的基本性质．例3．写出等式中括号内未知的式子：717)(2ccc，括号内应填．【答案】c【解析】先把cc7)(2的分母提取公因式c，得到71)7()(ccc，然后根据约分的定义求出括号内应填的数为c．解：71)7()(7)(2ccccc，∴71)7()(ccc，∴括号内应填c，故答案为c．2、分式的约分（1）定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。（2）步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。（3）注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。（4）最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。约分时。分子分母公因式的确定方法：①系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.②取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.③如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式例1．下列各式计算正确的是()A.222aabbabba;B.2232()xxyyxyxyC.23546xxyy;D.11xyxy【答案】D【解析】本题考查的是分式的约分根据分式的基本性质对各选项分析即可。A、babababaabbaba)()()(2222，故本选项错误；B、yxyxyxyxyxyx1)()()(232322，故本选项错误；C、86243)(yxyx，故本选项错误；D、11xyxy，正确，故选D。例2．把一个分式的分子与分母的约去，叫做分式的约分;在分式222xyxyxy中，分子与分母的公因式是.【答案】公因式；xy【解析】本题考查的是分式的约分根据分式的约分的定义即可得到结果。把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；在分式222xyxyxy中，分子与分母的公因式是.xy例3．将下列分式约分：(1)258xx=;(2)22357mnnm=;(3)22)()(abba=.【答案】(1)83x(2)－nm5(3)1【解析】本题考查的是分式的约分根据分式的基本性质即可得到结果。（1）=；（2）22357mnnmnm5；（3）22)()(abba=.1258xx83x例4．约分：3263nmmn=．【答案】221mn【解析】首先确定分子与分母的公因式，系数是分子与分母的系数的最大公约数，相同的字母，取最小的次数作为公因式的字母的次数，确定公因式以后，把公因式约去即可．解：原式=2233mnmnmn=221mn．故答案是：221mn．例5．约分：22112mmm．【答案】解：原式=)1)(1()1(2mmm=)1)(1()1(2mmm=mm11．【解析】首先把分子分母分解因式，再约去公因式即可．3、分式的通分（1）定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。（依据：分式的基本性质！）（2）最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。通分时，最简公分母的确定方法：①系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.②取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.③如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.例1．下列各式计算正确的是()A.baba111B.abmbmam2C.aabab11D.011abba【答案】D【解析】本题考查的是分式的通分根据分式的性质对各学项分析即可。abbaba11，故本选项错误；abambmbmam故本选项错误；aabbabab111，故本选项错误；01111baabba，正确，故选D。例2．分式23a，a65，28ba的最简公分母是（）A．48a3b2B．24a3b2C．48a2b2D．24a2b2【答案】D【解析】求最简公分母就是求所有分式分母的最小公因数．解：三个分式分母的系数项的公因数为a2b2，常数项的最小公因数为24，所以三分式的最小公分母是24a2b2．故选D例3．分式xy2，23yx，xy41的最简公分母是（）A．6xy2B．24xy2C．12xy2D．12xy【答案】C【解析】先求出2，3，4的最小公倍数为12，按照相同字母取最高次幂，所有不同字母都写在积里，于是得到分式xy2，23yx，xy41的最简公分母为12xy2．解：2，3，4的最小公倍数为12，∴分式xy2，23yx，xy41的最简公分母为12xy2．故选C．15.2分式的运算15.2.1分式的乘除1、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：acacbdbd2、分式的乘除法法则：分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为：acadadbdbbcc3、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：nnnbaba例1．111abcdbcd等于（）A.aB.222abcdC．adD．222abcd【答案】B.【解析】试题分析：原式=222111111aabbccddbcd．故选B.考点：分式的乘除法．例2．化简211mmmm的结果是（）A．mB．1mC．m－1D．11m【答案】A．【解析】试题分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．试题解析：原式=211mmmmm故选A．考点：分式的乘除法．例3．化简的结果为．【答案】2x【解析】试题分析：首先将分式的各分子和分母进行因式分解，然后将除法改成乘法进行约分化简．原式=2(1)(1)11xxxxxx-+?+-=x（x－1）+x=2x．考点：分式的化简15.2.2分式的加减1、分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：cbacbca异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：bdbcaddcba整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。2、分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。例1．化简222624xxxxx的结果为（）A．214xB．212xxC．12xD．62xx【答案】C．【解析】试题分析：原式=262(2)(2)xxxx=2(2)(6)(2)(2)xxxx=2(2)(2)xxx=12x．故选C．考点：分式的加减法．例2．化简2933mmm的结果是（）A．m+3B．m﹣3C．33mmD．33mm【答案】A【解析】试题分析：利用同分母分式的减法法则计算，原式=29(3)(3)333mmmmmm．故选：A．考点：分式的加减法．例3．计算：+=．【答案】2【解析】试题分析：根据同分母的分式相加减，分母不变，只把分子相加减，可解得原式=2112aaaa=2．考点：分式的加减例4．化简xxx1112的结果是（）A．1xB．11xC．1xD．1xx【答案】A【解析】试题分析：原式=1112xxx=111xxx=x+1；故选A．考点：分式加减法．例5．已知2410xx，求代数式314xxx的值．【答案】5．【解析】试题分析：此题考查了分式的化简与代值计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先正确进行分式的约分，然后准确代值计算即可．试题解析：解：原式3444xxxxxxx2344xxxxx22444xxxx．∵2410xx，∴241xx．∴原式1451考点：分式的化简求值．15.2.3整数指数幂1、引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即：nmnmaaamnnmaannnbbaanmnmaaa（0a）nnbabanna1na0a）10a（0a）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m，n均为整数。15.3分式方程解的步骤：1、去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。2、解整式方程，得到整式方程的解。3、检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：例1．方程2053xx的解是（）A．x=3B．x=-2C．x=2D．x=5【答案】C．【解析】试题分析：方程两边都乘以3（5-x），得3x=2（5-x）．解得x=2检验：x=2时，3（5-x）≠0，∴x=2时原分式方