《高等数学》第2章导数与微分

第2章导数与微分知识目标了解导数的概念、可导与连续的关系；理解导数的几何意义、物理意义、微分概念；会求一阶导数、二阶导数、微分；掌握各种函数的求导方法以及取对数求导法；熟练掌握导数运算法则和基本公式.能力目标通过导数与微分的学习，进一步培养学生对比分析的思考能力.德育目标培养学生独立自主，理论联系实际的综合能力.2.1导数的概念了解导数及其相关概念；理解导数的物理意义和几何意义；掌握求导的基本步骤；掌握导数与连续的联系；能够用导数定义解决相关实际问题.2.1.1导数及其实际意义.)()(limlim:,)()(:),(0000000000ttfttftSvtttfttftSvttttfStStttt　　　　限值即为平均速度当时的极时刻的瞬时速度而在　　　　　　为这一段时间的平均速度到则它从的关系是与时间若物体运动的路程引例1.求变速直线运动的速度解析：导数的物理意义引例2.求平面曲线切线的斜率解析：yoxxfyMN),,(yxNC上另取一点在曲线00)()(tan:xxxfxfxykMNMN的斜率为　　则割线　　　　　　　　　　,0xxMCN即趋向于点沿曲线当点.)()(limlimtan:0000xxfxxfxykxx式极限即为切线斜率则上　　　　　　　　　　　　　　　..)(,),()(0000处的切线斜率在点求曲线其中上一点曲线MCxfyyxMxfC导数的几何意义.)()()()(lim:,:,)(,)(,0)()(,)(,)()()(000000000000000xxxxxxxxxdxxdfdxdyxfxxfxxfyyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfyxfIxf、、也可记作：　　　　　　　　即记作处的在这个极限为函数并称处在则称函数时的极限存在之比当与；如果取得增量相应地函数时仍在该邻域内点处取得增量在当自变量的某个邻域内有定义在点设在区数上的所有原函数称为函在区间设函数导数可导定义.lim,lim,00000000xxxfxfxfxxfxxfxfxxx常见的有：同的形式导数的定义式也可取不相关定义.,)(,,,)(上可导在闭区间则都存在及且内可导在开区间若函数baxfbfafbaxf.,,)(,)(.)(,,)(导数导函数可导区间内或简称为称为构成一个新的函数与导数点与之对应都有导数点这时对该区间的任意一在该则称内每一点都可导在区间若函数xfxxfxxfbaxf.,limlim.:,,:,00000000000单侧导数右导数左导数左导数、右导数统称为其中＝，则记和处的在点函数xxfxxfxfxxfxxfxfxfxfxxfxx.)()(0000xfxfxxfxf导数都存在且是左导数和右处可导的充分必要条件在点存在即；求增量)()(1xfxxfy求导步骤；作比值xxfxxfxy)()(2取极限.)()(limlim)(300xxfxxfxyxfxx代入即可再令只需先求出导函数若求导数值.,)(),(00xxxfxf注例题.)()(处的导数在为正整数求函数axnxxfn1.解：.)(limlim)()(lim)(11221nnnnnaxnnaxaxnaaxaaxxaxaxaxafxfaf..1,1)(,2)1(;2122lim1)1()(lim)1(;2121lim1)1()(lim)1(11211点连续当然在可导在表明所以xxxffxxxfxffxxxfxffxxxx.1,1211)(2连续性与可导性在点讨论xxxxxxf2.解：.)1,1()(2程处的切线方程和法线方在点求曲线xxf3.解：.0321211:;012121:22)1((1,1),1yxxyyxxyxfkx　　　　　　　曲线的法线方程为　　　　　　　故曲线的切线方程为　　　　　　　　　点处的切线斜率为：曲线在由导数的几何意义可知2.1.2可导与连续的关系.)(,)(0　　　处一定连续在该点则函数处可导在点如果函数xfyxxfy定理注.0,,)(3处不可导点但在内连续在区间函数xxxfy例.该定理的逆命题不成立想一想?)()()(00有什么区别和联系导函数与函数的处的导数值在点函数xfxfxxf2.2函数的求导法则和基本公式掌握导数的四则运算；掌握反函数求导公式；掌握复合函数的求导公式；掌握隐函数求导方法及取对数求导方法；灵活运用公式求初等函数的导数.2.2.1导数的四则运算法则.)()()()()()()(2;)()(2;)()(1,)(,)()(2xvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvvxuu且都有导数分母为零的点除外和、差、积、商那么它们的都有导数及如果函数定理特别地.wuvwvuvwuuvw例题).2()(,2sincos4)(3fxfxxxf及求1.解：.4432sin423)2(;sin43)(222fxxxf由导数的加减法则得：.sectan2tantan2222xxxxxxxxy由导数的乘法法则得：.tan2的导数求函数xxy2.解：.,tanyxy求3.解：.seccos1cossincoscoscossincossincossintan:222222xxxxxxxxxxxxxy由导数的除法法则得2.2.2反函数的求导法则.1)(1)(:,),(|)(,0)()(11dydxdxdyyfxfIyxfxxIxfyyfIyfxyxy或　　　　　且有内可导在区间则它的反函数内单调、可导且在区间如果函数定理例题.arcsin的导数求x解：.11sin11cos1sin1arcsin:1,1,,0cossin,2,2sin22xyyyxIyyIyxxy内有在区间根据反函数求导公式且内单调、可导在开区间函数.11cot;11arctan;11arccos222xxarcxxxx同理可得2.2.3导数基本公式为常数cc0)(1是任意实数1)(2xx;10ln)(3aaaaaxx且xxae)e(e,时：当特别地;10ln1)'(log4aaaxxa且xxa1)'(lne,时：当特别地xxcos)'(sin5xxsin)'(cos6xxx22cos1sec)'(tan7xxx22sin1csc)'(cot8211)'(arcsin9xx211)'(arccos10xx211)'(arctan11xx211)'cot(12xxarc2.2.4复合函数的导数.)()(:,)(,)()(,)()(dxdududydxdyuyyxufdxdyxxfyufdudyuufyxdxduxxuxux或或　　　　　且处也有导数在点则复合函数有导数处在点函数处有导数在点设函数定理注复合函数求导数法则又称为链锁法则.运用法则时,因子的个数比中间变量的个数多一个,注意不要遗漏任何一个中间变量,且最后一个因子一定是某个中间变量对自变量的导数..的情况定理可推广到多次复合.:)))(((),(),(),(dxdvdvdududydxdyxfyxvvuufy　　　　　　　　　　　　的导数为则复合函数设例例题.)ln(22的导数求axxy解：.11121111:2222222222222222axaxxaxxaxaxaxxaxxaxxy得由复合函数的求导法则2.2.5隐函数的导数.,,,,0),(即可然后从中解出的方程式会得到一个含有看作中间变量此时把求导端同时对可将方程两所确定函数的导数求将由二元方程yyyxyxF隐函数求导方法.2)(1:数多因子积、商及幂的导的函数指幂、指位置都是变量求幂指函数的导数；对数求导法适用于幂指函数对数求导法.,,)(的导数求出然后再使函数转换成隐函数的两边取对数先在yxfy例题.0的导数所确定的隐函数求由方程yexyey1.解：).0(:00,yyyyexexyyyxyyeexyex整理得得：求导方程两边每一项都对.323,2191622处的切线方程在求椭圆yx2.解：yxyyyxx1690928,得：求导方程两边每一项都对:,432故所求切线方程为切线斜率由导数的几何意义可知xyk.03843243233yxxy　即　　　　　例题.)0(sin的导数求函数xxyx1.解：.sin1lncossin1lncos:sin1lncos1:,lnsinln,sinxxxxxxyxxxxyxxxxyyxxxy整理得得求导两边再对得：两边取对数.4321的导数求函数xxxxy2.解：.4321)41312111(21:)41312111(211:,)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln),4(xxxxxxxxyxxxxyyxxxxxyx整理得得求导两边再对得：假定两边取对数2.2.6由参数方程所确定的函数的导数.)()(,)()(.,)()(ttdtdxdtdydxdytytxtytxxy　　　　　　　　则都可导和若所确定的函数关系由参数方程与设例题.4)20(sincos点处的切线方程在相应于求椭圆tttbytax解：.022222.224sin,224cos:..cotsincoscossin004abaybxaxabbybbyaaxabdxdyktabtatbtatbdxdyt即故所求切线的方程为：切点坐标为故所求切线的斜率为利用公式得：想一想该注意什么？在对复合函数求导时应1.对数求导法？在什么情况下考虑采取2.2.3高阶导数了解高阶导数的定义；掌握高阶导数的运算；能够灵活运用公式解决实际问题..)()()(一阶导数的称为导数xfyxfxfy.)(:.)()(22dxydxfyxfyxfy或，记作的的导数称为二阶导数.)(:.)(3333dxydxfyxfy或，记作的二阶导数的导数称为三阶导数.)(:.)()1(,nnnndxydxfynxfyn或，记作的阶导数的导数称为类似地阶导数.)(高阶导数数统称为的二阶及二阶以上的导函数xfy相关定义例题).1(,1ln2yxy求设1.解：