实际问题与一元二次方程之面积问题

21.3实际问题与一元二次方程（第3课时）九年级上册•列一元二次方程解决有关“面积问题”的实际问题．•学习目标：1．能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二次方程；2．进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．•学习重点：利用面积之间的关系建立一元二次方程模型，解决实际问题．例1、用22cm长的铁丝，折成一个面积为30cm2的矩形。求这个矩形的长与宽.整理后，得x2-11x+30=0解这个方程，得x1=5,x2=6(与题设不符，舍去)答：这个矩形的长是6cm，宽是5cm。由x1=5得6x2225x222由x2=6，得解：设这个矩形的长为xcm，则宽为（cm）.根据题意，得x22230)x222(x例2、在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？32m20m则横向的路面面积为，32m20mx米分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2。解法一、如图，设道路的宽为x米，32x米2纵向的路面面积为。20x米2注意：这两个面积的重叠部分是x2米2所列的方程是不是540)2032(2032xx？图中的道路面积不是3220xx米2，而是从其中减去重叠部分，即应是22032xxx米2所以正确的方程是：540203220322xxx化简得，.2,50,010052212xxxx其中的x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.取x=2时，道路总面积为：22220232=100(米2)耕地面积=1002032=540（米2）答：所求道路的宽为2米。解法二：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）横向路面为，32m20mxmxm如图，设路宽为x米，32x米2纵向路面面积为。20x米2耕地矩形的长（横向）为，耕地矩形的宽（纵向）为。相等关系是：耕地长×耕地宽=540米2(20-x)米（32-x)米即.5402032xx化简得：2,50,010052212xxxx再往下的计算、格式书写与解法1相同。在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的框边宽。XX30cm解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得30×20–(30–2x)(20–2x)=400整理得x2–25x+100=0解得x1=20,x2=5当x=20时,20-2x=-20(舍去);当x=5时,20-2x=10答:这个长方形框的框边宽为5cm探究2分析:本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积从一块长300厘米,宽200厘米的铁片中间截去一个小长方形,使剩下的长方形方框四周的宽度都一样,并且小长方形的面积是原来面积的一半,求这个宽（只列方程，不解方程）问题4回顾前面几节课的学习内容，你能总结一下建立一元二次方程模型解决实际问题的基本步骤吗？需要注意哪些问题？4．归纳小结有关面积问题：常见的图形有下列几种：1.用一根长22厘米的铁丝，能否折成一个面积是30厘米的矩形？能否折成一个面积为32厘米的矩形？说明理由。当堂训练探究如图，是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?分析：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）解:设道路宽为x米，得(322)(20)570xx035362xx0)1)(35(xx1,3521xx其中的x=35超出了原矩形的宽，应舍去.答:道路的宽为1米.32-2X20-X联系中考：（2013上海）如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.ABCD解:设小路宽为x米，则2015246)215)(220(xx化简得，01233522xx0)412)(3(xx不合题意，舍去）(241,321xx答:小路的宽为3米.21.3实际问题与一元二次方程（第4课时）九年级上册几何与方程5xxxx（8－2x）8例1：一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的长为8cm，宽为5cm．如果镜框中央长方形图案的面积为18cm2，则花边多宽?解：设镜框的宽为xcm，则镜框中央长方形图案的长为cm,宽为cm,得（8－2x）（5－2x）１８m2宽为cm,得(8－2x)(5－2x)=18镜框有多宽?一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的长为8cm，宽为5cm．如果镜框中央长方形图案的面积为18cm2，则镜框多宽?解：设镜框的宽为xcm，则镜框中央长方形图案的长为cm,（8-2x）（5-2x）例1.即2X2－13X＋11＝0解得X1＝1，X2＝5.5(不合题意)答:镜框的宽为1cm.审设答解列练习：1.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,应该怎么设计?解:设苗圃的一边长为xm,则另一边长为（18-x）m,得81)18(xx化简得，081182xx0)9(2x答:应围成一个边长为9米的正方形.921xx探究如图，是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?解:设道路宽为x米，得(322)(20)570xx035362xx0)1)(35(xx1,3521xx其中的x=35超出了原矩形的宽，应舍去.答:道路的宽为1米.32-2X20-X联系中考：（2013上海）如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.ABCD解:设小路宽为x米，则2015246)215)(220(xx化简得，01233522xx0)412)(3(xx不合题意，舍去）(241,321xx答:小路的宽为3米.例2．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长。x解：设截去正方形的边长厘米，则图中虚线部分长等于______厘米，宽等于_________厘米60-240-2800xx依题意得：1210,40xx解得：240,1,.0xx不合题意应舍去经检验答：截去正方形的边长为10厘米。602x40-2x[例4]学校要建一个面积为150平方米的长方形自行车棚，为节约经费，一边利用18米长的教学楼后墙，另三边利用总长为35米的铁围栏围成，求自行车棚的长和宽.解：设与教学楼后墙垂直的一条边长为x米，则与教学楼后墙平行的那条边长为(352x)米，根据题意，得x(352x)150解得当时，352x2018不合题意，舍去；当x10时，352x15.符合题意.答：自行车棚的长和宽分别为15米和10米.1215,10.2xx152x3.(2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为S米2，（1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是多少米？【解析】(1)设宽AB为x米，则BC为(24-3x)米，这时面积S=x(24-3x)=-3x2+24x(2)由条件-3x2+24x=45化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3∵0＜24-3x≤10得14/3≤x＜8∴x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米练习：列一元二次方程解应题18米2米4、如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米？回味无穷•列方程解应用题的一般步骤是:•1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?•2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;•3.列:列代数式,列方程;•4.解:解所列的方程;•5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;•6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.•列方程解应用题的关键是:•找出相等关系.•关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:•a(1±x)2=A(其中a表示基数,x表表示增长(或降低)率,A表示新数)小结拓展