力学第三章-平面任意力系

第三章平面任意力系第一节力对点之矩第二节平面力偶系第三节力线平移定理第四节平面任意力系的简化第五节平面任意力系的平衡方程及应用第六节静定与静不定问题的概念第七节物体系统的平衡问题第八节考虑摩擦时物体的平衡问题第一节力对点之矩一、力对点之矩的概念力对物体的作用效应有两种情况：①如果力的作用线通过物体的质心，将使物体在力的方向上平动，例如放在光滑桌面上的矩形玻璃板（图３⁃１ａ），在力Ｆ作用下平动；②如果力Ｆ的作用线不通过物体的质心，物体将在力Ｆ作用下边平动边转动（图３⁃１ｂ）。图３-１第一节力对点之矩图３-２二、力矩的性质第一节力对点之矩(１)力对点之矩不仅取决于力的大小，同时还与矩心的位置有关；力的大小等于零或力的作用线通过矩心时，力矩等于零。(２)力对点之矩不因该力沿其作用线移动而改变，因为此时力和力臂的大小均未改变。(３)互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和等于零。(４)合力对作用面内任一点之矩，等于该力在同平面内各分力对同一点之矩的代数和，即ＭＯ（Ｆ）＝ＭＯ（Ｆ１）＋ＭＯ（Ｆ２）（３⁃２）图３-３第一节力对点之矩三、力矩的计算对于力臂容易求出的，可直接按式（３⁃１）进行计算。图３-４第一节力对点之矩例３-１图３-４中带轮直径Ｄ＝４００ｍｍ，平带拉力Ｆ１＝１５００Ｎ，７５０Ｎ，与水平线夹角θ＝１５°。求平带拉力Ｆ１、Ｆ２对轮心Ｏ之矩。解平带拉力沿带轮的切线方向，则力臂ｄ＝Ｄ／２，而与θ角无关。根据式(３-１)得ＭＯ（Ｆ１）＝－Ｆ１ｄ＝－Ｆ１Ｄ/２＝－１５００×０．４/２Ｎ·ｍ图３-５第一节力对点之矩例３-２作用于圆柱直齿轮上的啮合力Ｆ＝１ｋＮ，节圆直径Ｄ＝１６０ｍｍ，压力角α＝２０°，如图３-５ａ所示。求啮合力Ｆ对轮心Ｏ之矩。解将力Ｆ正交分解为和Ｆｒ两个分力，如图３-５ｂ所示，其中，＝Ｆｃｏｓα，Ｆｓｉｎα。根据合力矩定理，有第二节平面力偶系一、力偶的概念在实践中常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线互相平行的两个力的作用。例如，拧水嘴、转动方向盘等，如图３⁃６ａ、ｂ所示，其上作用的力都是一对反向平行力，由于这两个力不满足二力平衡条件，显然不会平衡。在力学上把大小相等、方向相反、作用线互相平行的两个力，称为力偶，记作（Ｆ，Ｆ′）。力偶的两个力所在的平面，叫做力偶作用面，两力作用线间的垂直距离，叫做力偶臂，以ｄ表示，见图３⁃６ｃ。图３-６第二节平面力偶系图３-７第二节平面力偶系图３-８二、平面力偶的等效条件第二节平面力偶系作用在同一平面内的力偶，称为平面力偶。平面力偶的等效是指它们对物体的转动效应相同。因为力偶对物体只产生转动效应，而转动效应取决于力偶的三要素，因此，平面力偶的等效条件是：它们的力偶矩保持不变。换句话说，力偶的三要素是平面力偶的等效条件。例如，图３⁃９ａ中作用在方向盘上的力偶（Ｆ１，Ｆ）或（Ｆ２，Ｆ），虽然它们的作用位置不同，但如果它们的力偶矩大小相等、转向相同，则对方向盘的作用效应就一样。又如，图３⁃９ｂ中作用在丝锥扳手上的力偶（Ｆ１，Ｆ）或（Ｆ２，Ｆ），虽然Ｆ１≠Ｆ２，ｄ１≠ｄ２，但如果两力偶矩相等，即Ｆ１ｄ１＝Ｆ２ｄ２，则它们对扳手的作用效应就相同。第二节平面力偶系图３-９第二节平面力偶系图３-10三、力偶的性质(１)力偶无合力，即力偶不能与一个力等效，因此，力偶也不能与一个力平衡。第二节平面力偶系(２)在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，力偶可以在其作用面内任意转移，或同时改变力和力偶臂的大小，而不改变它对刚体作用的效应。(３)在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，力偶可以从一个平面移到另一平行平面上去，而不改变它对刚体作用的效应。图３-１１第二节平面力偶系四、平面力偶系的合成与平衡作用在同一平面的一群力偶，称为平面力偶系。图３-１２例３-３梁ＡＢ受一力偶作用，其矩Ｍ＝－１００ｋＮ·ｍ，第二节平面力偶系尺寸见图３-１２，求支座Ａ、Ｂ的约束力。解取梁ＡＢ为研究对象。作用于梁上的有矩为Ｍ的力偶，支座Ａ、Ｂ的约束力ＦＡ和ＦＢ。由支座的约束性质可知，ＦＢ的方位可定，而ＦＡ的方位不定。若不计梁的重量，根据力偶只能与力偶相平衡的性质，可知ＦＡ必与ＦＢ组成一个力偶(ＦＡ，ＦＢ)，即ＦＡ与ＦＢ大小相等、方向相反、作用线平行，指向假设。据平面力偶系的平衡方程解得ＦＡ＝Ｍ/５＝１００/５ｋＮ＝２０ｋＮ因此ＦＢ＝ＦＡ＝２０ｋＮ第二节平面力偶系图３-１３例３-４电动机轴通过联轴器与工作轴相连接，第二节平面力偶系联轴器上四个螺栓Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ的孔心均匀地分布在同一圆周上，如图３-１３所示，此圆的直径ｄ＝１５０ｍｍ，电动机轴传给联轴器的力偶矩Ｍ＝２.５ｋＮ·ｍ，求每个螺栓所受的力。解取联轴器为研究对象。作用于联轴器上的力有电动机传给联轴器的力偶矩Ｍ、四个螺栓的约束力，假设四个螺栓的受力均匀，即Ｆ１＝Ｆ２＝Ｆ３＝Ｆ４＝Ｆ，其方向如图示，则Ｆ１与Ｆ３、Ｆ２与Ｆ４组成两个力偶，并与电动机传给联轴器的力偶矩Ｍ相平衡。据平面力偶系的平衡方程。解得Ｆ＝Ｍ/２ｄ＝2．5/２×０．５ｋＮ＝８.３３ｋＮ第三节力线平移定理图３-１４第三节力线平移定理图３-15第三节力线平移定理图３-１６第三节力线平移定理图３-１7第四节平面任意力系的简化图３-１８第四节平面任意力系的简化图３-１９(１)若Ｆ′＝０，ＭＯ≠０，则原力系简化为一个力偶，第四节平面任意力系的简化其矩等于原力系对简化中心的主矩。(２)若Ｆ′≠０，ＭＯ＝０，则原力系简化为一个力。(３)若Ｆ′≠０，ＭＯ≠０，则原力系简化为一个力和一个力偶。ｄ＝(４)若Ｆ′＝０，ＭＯ＝０，则原力系是平衡力系。第五节平面任意力系的平衡方程及应用图３-２０例３-５悬臂吊车如图３-２０所示。第五节平面任意力系的平衡方程及应用横梁ＡＢ，长ｌ＝2.５ｍ，重力Ｗ＝１.２ｋＮ。拉杆ＣＤ延长线与ＡＢ梁相交于Ｂ点，其倾角α＝３０°，重力不计。电葫芦连同重物重力Ｇ＝７.５ｋＮ。试求当电葫芦在ｘ＝２ｍ的位置时，拉杆的拉力Ｆ和铰链Ａ的约束力。解１)选横梁ＡＢ为研究对象。２)画受力图。３)选图示坐标。􀰐Ｆｘ＝０ＦＡｘ－Ｆｃｏｓα＝０解得Ｆ＝ｌ/ｌｓｉｎα＝１/2．5ｓｉｎ３０°×(1.2×1.25＋7.5×２)ｋＮ＝１３．２ｋＮ４)讨论。第五节平面任意力系的平衡方程及应用Ｆｍａｘ＝１/ｓｉｎα＝１/ｓｉｎ３０°ｋＮ＝１６．２ｋＮ５)校核计算结果。例如，再取Ｃ点为简化中心，列力矩方程解得ＦＡｘ＝ｃｏｔα＝ｃｏｔ３０°ｋＮ＝１１．４３ｋＮ图３-２１第五节平面任意力系的平衡方程及应用例３-６悬臂梁ＡＢ长为ｌ，在均布载荷ｑ，集中力偶Ｍ和集中力Ｆ作用下平衡，如图３-２１所示。设Ｍ＝ｑｌ２，Ｆ＝ｑｌ，试求固定端Ａ处的约束力。在解题时应注意以下几点：(１)固定端Ａ处的约束力，除了ＦＡｘ、ＦＡｙ之外，还有约束力偶ＭＡ。(２)力偶对任一轴的投影均为零；力偶对作用面内任一点之矩恒等于力偶矩。(３)均布载荷ｑ是单位长度上受的力，其单位为Ｎ／ｍ或ｋＮ／ｍ。解取悬臂梁ＡＢ为研究对象。受力图及所取坐标如图３-２１所示。列平衡方程求解第五节平面任意力系的平衡方程及应用􀰐Ｆｘ＝０ＦＡｘ＝０解得ＭＡ＝１/２ｑｌ２－Ｆｌ－Ｍ＝１/２ｑｌ２－ｑｌ２－ｑｌ２＝－３/２ｑｌ２(１)二力矩式平衡方程（３⁃１１）(２)三力矩式平衡方程（３⁃１２）图３-２２第五节平面任意力系的平衡方程及应用例３-７塔式起重机的结构简图见图３-２２。设机架重力５００ｋＮ，重心在Ｇ点，与右轨Ｂ相距ａ＝１.５ｍ。最大起重量２５０ｋＮ，与右轨Ｂ最远距离ｌ＝１０ｍ。平衡物重力为Ｇ，与左轨Ａ相距ｘ＝６ｍ，两轨相距ｂ＝３ｍ。试求起重机在满载与空载时都不致翻倒的平衡物重Ｇ的范围。解取起重机整机为研究对象。起重机在起吊重物时，作用其上的力有机架重力Ｗ，平衡物重力Ｇ，起重量Ｐ以及轨道对轮Ａ、Ｂ的约束力ＦＡ、ＦＢ，这些力组成平面平行力系，受力图如图３-２２所示。起重机在平衡时，力系具有ＦＡ、ＦＢ和Ｇ三个未知量，而力系只有两个独立的平衡方程，问题成为不可解。第五节平面任意力系的平衡方程及应用解得Ｇｍｉｎ＝Ｗａ＋Ｐｌ/ｘ＋ｂ＝５００×1．5＋２５０×１０/６＋３ｋＮ＝３６１.１ｋＮ空载（Ｐ＝０）时，起重机可能绕Ａ轨左翻，在平衡的临界情况，右轮Ｂ将悬空，ＦＢ＝０，这时由平衡方程求出的是平衡物重力Ｇ的最大值Ｇｍａｘ。列平衡方程解得Ｇｍａｘ＝Ｗ（ａ＋ｂ）/ｘ＝５００（1．5＋３）/６ｋＮ＝３７５ｋＮ在取定ｘ＝６ｍ的条件下，平衡物重力Ｇ的范围为３６１．１ｋＮ≤Ｇ≤３７５ｋＮ。第七节物体系统的平衡问题例３-８人字梯由ＡＢ、ＡＣ两杆在Ａ点铰接又在Ｄ、Ｅ两点用水平绳连接。梯子放在光滑的水平面上，其一边有人攀梯而上，梯子处于平衡。已知人重力Ｗ＝６０ｋＮ，ＡＢ＝ＡＣ＝ｌ＝３ｍ，ａ＝４５°，梯子重力不计，其他尺寸见图３-２３ａ。求绳子的张力和铰链Ａ的约束力。图３-２３解１)先取人字梯ＢＡＣ为研究对象。受力如图３-２３ｂ所示。第六节静定与静不定问题的概念第七节物体系统的平衡问题显然梯子在Ｗ、ＦＢ、ＦＣ组成的平面平行力系作用下处于平衡。列平衡方程求解􀰐ＭＣ（Ｆ）＝０－ＦＢ＋Ｗ＝０解得ＦＢ＝２/３Ｗ＝２/３×６０ｋＮ＝４０ｋＮ􀰐ＭＢ（Ｆ）＝０ＦＣ－Ｗ＝０解得ＦＣ＝１/３Ｗ＝１/３×６０ｋＮ＝２０ｋＮ２)再选ＡＣ杆为研究对象。􀰐Ｆｙ＝０ＦＣ－ＦＡｙ＝０(１)选择“最佳解题方案”问题。(２)选择平衡方程形式问题。第七节物体系统的平衡问题例３-９图３-２４ａ所示多跨梁，由ＡＢ梁和ＢＣ梁用中间铰Ｂ连接而成。Ｃ端为固定端，Ａ端由活动铰支座支承。已知Ｍ＝２０ｋＮ·ｍ，ｑ＝１５ｋＮ／ｍ。试求Ａ、Ｂ、Ｃ三点的约束力。图３-２４解若取ＡＢＣ梁为研究对象，由于作用力较多，则计算较繁。从多跨梁结构来看，梁ＡＢ上未知力较少，故将多跨梁拆开来分析为最佳解题方案。第七节物体系统的平衡问题１)先取ＡＢ梁为研究对象，受力如图３-２４ｂ所示，均布载荷ｑ可以化为作用于Ｄ点的集中力Ｆ(在受力图上不再画ｑ，以免重复)。􀰐ＭＢ（Ｆ）＝０－３ＦＡ＋Ｆ＝０解得ＦＡ＝Ｆ/３＝３０/３ｋＮ＝１０ｋＮ􀰐ＭＡ（Ｆ）＝０３ＦＢｙ－２Ｆ＝０解得ＦＢｙ＝２/３Ｆ＝２/３×３０ｋＮ＝２０ｋＮ２)再取ＢＣ梁为研究对象，受力如图３-２４ｃ所示。􀰐Ｆｙ＝０ＦＣｙ－Ｆ＝０解得ＦＣｙ＝Ｆ＝２０ｋＮ􀰐ＭＢ（Ｆ）＝０ＭＣ＋Ｍ＋２ＦＣｙ＝０第七节物体系统的平衡问题解得ＭＣ＝－Ｍ－２ＦＣｙ＝(－２０－２×２０)ｋＮ·ｍ＝－６０ｋＮ·ｍ负值表示Ｃ端约束力偶的实际转向是顺时针。(１)首先弄清题意，明确要求，正确选择研究对象。(２)分析研究对象的受力情况，并画出受力图。(３)选取坐标轴，列平衡方程。(４)解方程，求未知量。(５)讨论和校核计算结果。第八节考虑摩擦时物体的平衡问题一、摩擦现象摩擦在自然界里是普遍存在的现象。前面讨论物体平衡问题时，总是假定两物体的接触表面是绝对光滑的，将摩擦忽略不计，但绝对光滑的表面事实上并不存在。工程实际中，许多构件的接触面比较光滑而且具有良好的润滑条件，摩擦力不起重要作用，为了简化问题而略去摩擦。但在许多问题中，摩擦力对物体的平衡与运动起着主要作用，因此必须考虑摩擦。例如，制动器靠摩擦制动（图３⁃２５ａ）、传动带靠摩擦传递运动、车床的卡盘靠摩擦夹固工件（图３⁃２５ｂ）等。第八节考虑摩擦时物体的平衡问题图３-２５二、滑动摩擦第八节考虑摩擦时物体的平衡问题两物体接触面作相对滑动或具有相对滑动趋势时的摩擦，称为滑动摩擦。1.静滑动摩擦图３-２６第八节考虑摩擦时物体的平衡问题2.动滑动摩擦继续上述实验，若力Ｇ再增加，只要略大于Ｆｆｍａｘ，Ｂ盘就产生滑动。把两物体间有相对滑动时的摩擦，称为动滑动摩擦，简称动摩擦。此时，出现的阻碍物体滑动的力，称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，以Ｆ表示。三、考虑摩擦时物体的平衡问题第八节考虑摩擦时物体的平衡问题考虑摩擦时物体的平衡问题也是用平衡条件来求解，解题方法与步骤与前面相同。只是在画受力图时必须加上摩擦力Ｆｆ。当物体处于平衡状态时，静摩擦力Ｆｆ为零与Ｆｆｍａｘ之间的任何值，应由平衡方程来确定；其方向与物体相对滑动趋势方向相反。由于Ｆｆ是一