7.李雅普诺夫指数

李雅普诺夫指数与奇怪吸引子1.1.1.1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数2.2.2.2.菲根鲍姆常数菲根鲍姆常数菲根鲍姆常数菲根鲍姆常数3333....奇怪奇怪奇怪奇怪吸引子吸引子吸引子吸引子混沌的描述性定义混沌混沌混沌混沌混沌混沌混沌混沌如果一个函数（或映射）构成迭代，在迭代过程中具有下面三个特征：1、对初始条件具有敏感的依赖性；2、它是非周期的；3、存在着奇怪吸引子。那么就说这个函数（或映射）具有混沌特性，迭代出的轨迹就称为近似的混沌吸引子或奇异（怪）吸引子。注意1、不是严格的数学定义，不断的发展中；2、迭代出的轨迹是近似的混沌吸引子，混沌吸引子为极限点的集合。去掉初始点。1.1.1.1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数奇怪吸引子奇怪吸引子奇怪吸引子奇怪吸引子吸引子吸引子吸引子吸引子能量耗散系统最终收缩到的一种定常状态。这是一个动力系统在t→∞时所呈现的与时间无关的定态，并且不管选取什么样的初始值其终值的定态只有一个，也就是说终值与初始值无关。这类吸引子也称平庸吸引子。如：阻尼单摆有不动点吸引子，范德玻耳方程有极限环吸引子，等等。奇怪吸引子奇怪吸引子奇怪吸引子奇怪吸引子相对于平庸吸引子而言，它们的特点之一是终态值与初始值密切相关，或者说对初始值具有极端敏感性；初始取值的细微差别可能会导致完全不同的结果，这时的吸引子毫无周期可言，即所谓混沌。1.李雅普诺夫指数奇怪吸引子奇怪吸引子奇怪吸引子奇怪吸引子考察平方映射的两个迭代运算xxxyyyn1nnn1nn++=−=−⎧⎨⎩µµ()()110.9990.5010.1470.0380.9900.4510.8700.6800.2170.9420.380Yn0.1670.9560.6050.8140.7150.7670.7410.7540.2520.9320.370Xn109876543210N取µ=4，并取有一点微小的差别的两个初始值x0=0.370与y0=0.380。运算结果如表所列，经过前第四次迭代经过前第四次迭代经过前第四次迭代经过前第四次迭代,,,,两个运算结果还两个运算结果还两个运算结果还两个运算结果还没有显出太大差别没有显出太大差别没有显出太大差别没有显出太大差别，，，，但是从第五次开始迭代结果的差别就非常显著第五次开始迭代结果的差别就非常显著第五次开始迭代结果的差别就非常显著第五次开始迭代结果的差别就非常显著了。奇怪吸引子奇怪吸引子奇怪吸引子奇怪吸引子1.1.1.1.李雅普诺夫指数奇怪吸引子奇怪吸引子奇怪吸引子奇怪吸引子取µ=2.1，并取有较大差别的三个初始值x01=0.08，x02=0.12,x03=0.16。运算结果如左图，经过五次迭代经过五次迭代经过五次迭代经过五次迭代,,,,三个运算结果趋于一致三个运算结果趋于一致三个运算结果趋于一致三个运算结果趋于一致，，，，~045~045~045~045....取µ=3.7，取差别很小两个初始值x01=0.04，x02=0.05。运算结果如右图，第二迭代差别就已显示出来第二迭代差别就已显示出来第二迭代差别就已显示出来第二迭代差别就已显示出来,,,,以后虽在第七次迭代时很接以后虽在第七次迭代时很接以后虽在第七次迭代时很接以后虽在第七次迭代时很接近，但随后又快速分离开来。近，但随后又快速分离开来。近，但随后又快速分离开来。近，但随后又快速分离开来。1.1.1.1.李雅普诺夫指数xy00−xyfxfyfxfyxyxydfdxxy1100000000000−=−=−−−≈−()()()()x0000yxx)()(lim000yxyfxfdxdf−−=→两个系统：设其初始值微小误差，经过一次迭代以后有：式中：由第二次迭代得：经过第n次迭代得：∏为多重乘号。李雅普诺夫指数公式李雅普诺夫指数公式李雅普诺夫指数公式李雅普诺夫指数公式xydfdxxydfdxdfdxxy22xxx−≈−≈−110110000x1-n0=n,nnn)(yxdxxdfyxn−≈−∏µ)(),(11nnnnyfyxfx==++1.1.1.1.李雅普诺夫指数可见，两个系统对初始扰动的敏感度由导数决定，它与初始值x0有关。映射整体对初值敏感性需对全部初始条件平均，要进行n次迭代：两个系统如初始存在微小误差，随时间(或迭代)产生分离，分离程度常用李雅普诺夫李雅普诺夫李雅普诺夫李雅普诺夫(Lyapunov)(Lyapunov)(Lyapunov)(Lyapunov)指数指数指数指数来度量,它为几何平均值的对数：式中xn为第n次迭代值。取，得李雅普诺夫指数计算公式：00x1-n0=n,nnn)(yxdxxdfyxn−≈−∏µdfdxn=0n-1xnn∏⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟1/李雅普诺夫指数公式李雅普诺夫指数公式李雅普诺夫指数公式李雅普诺夫指数公式dfdx/x0⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∏nx1-n0=n,)(ln1dxxdfnnµλ∞→n每次迭代平每次迭代平每次迭代平每次迭代平均分离值为：均分离值为：均分离值为：均分离值为：∑−=∞→=10,)(ln1limnnnndxxdfnµλ1.1.1.1.李雅普诺夫指数利用李雅普诺夫指数λ，相空间内初始时刻的两点距离将随时间(迭代次数)作指数分离：在一维映射中λ只有一个值，而在多维相空间情况下一般就有多个λi，而且沿相空间的不同方向，其λi(i=1,2,…)值一般也不同。)exp(00nnλ⋅⋅−≈−nyxyx0λiε0tietλεε0)(≅0iλ李雅普诺夫指数应用李雅普诺夫指数应用李雅普诺夫指数应用李雅普诺夫指数应用设为多维相空间中两点的初始距离，经n次迭代后两点的距离为：式中指数λi值可正可负。表示沿该方向扩展，表示沿该方向收缩。在经过一段时间(数次迭代)以后，两个不同李雅普诺夫指数值将使相空间中原来的圆演圆演圆演圆演变为椭圆变为椭圆变为椭圆变为椭圆。1.1.1.1.李雅普诺夫指数稳定体系的相轨线相应于趋向某个平衡点，如果出现越来越远离平衡点，则体系是不稳定的。系统只系统只系统只系统只要有一个正值的就可要有一个正值的就可要有一个正值的就可要有一个正值的就可出现混沌运动出现混沌运动出现混沌运动出现混沌运动。判别一个非线性系统是否存在混沌运动时，需要检查它的最大李雅普诺夫指数λ是否为正值。吸引子与李雅普诺夫指数吸引子与李雅普诺夫指数吸引子与李雅普诺夫指数吸引子与李雅普诺夫指数1.1.1.1.李雅普诺夫指数吸引子与李雅普诺夫指数吸引子与李雅普诺夫指数吸引子与李雅普诺夫指数吸引子与李雅普诺夫指数吸引子可存在于高维相空间内。在这相空间中大于零的李雅普诺夫指数可能不止一个，这样体系的运动将为更复杂。人们称高维相空间中有多个正值指数的混沌为超混沌超混沌超混沌超混沌。推广到高维空间后，由指数的值决定的各种类型的吸引子归纳如下：),,,,(432,1⋯λλλλ),,,,(432,1⋯λλλλ),,,,0(⋯−−−),,,,(⋯−−−−),,,0,0(⋯−−),,0,0,0(⋯−),,,0,(⋯−−+),,0,,(⋯−++D=高于3非整数超混沌D=2~3（非整数）奇怪吸引子（混沌）D=2三维环面D=2二维环面D=1极限环D=0不动点维数吸引子类型1.1.1.1.李雅普诺夫指数平方映射的平方映射的平方映射的平方映射的λλλλ指数指数指数指数利用计算程序可以方便地求得一维映射的λ。分析分析分析分析：由图可见平方映射的指数指数指数指数λλλλ随参数μ值变化起伏很大，有一个临界值,当时指数变化但始终处于负值。当指数开始转为正值，就是说平方映射从这里开始由规则运动转为混沌，进入到混沌状态。1.001.001.001.00µµµµ3.003.003.003.00周期周期周期周期1111轨道轨道轨道轨道((((不动点不动点不动点不动点))))3.003.003.003.00µµµµ3.44953.44953.44953.4495周期周期周期周期2222轨道轨道轨道轨道3333.4495.4495.4495.4495µµµµ3.55413.55413.55413.5541周期周期周期周期4444轨道轨道轨道轨道3.55413.55413.55413.5541µµµµ3.56443.56443.56443.5644周期周期周期周期8888轨道轨道轨道轨道3.56443.56443.56443.5644µµµµ3.56883.56883.56883.5688周期周期周期周期16161616轨道轨道轨道轨道⋯5699.3=cµcµµcµµ1.1.1.1.李雅普诺夫指数倍周期分岔李氏指数当μ=μc以后，映射迭代的终态值已无周期，进入了混沌状态。进入混沌后，从图象的深浅程度上仍可区分出不同的区域，说明混沌不是混乱一片，而存在着一定层次；倍周期分岔序列与李氏指数密切关联。在μ=μc后，指数λ便转为正值，但在混沌区的各个窗口中指数值λ又转为负值，即这里仍是规则运动。展现一幅规则―随机―规则―随机…交织起来的丰富多彩的图象，说明混沌是一种特殊的、包含着无穷层次的运动形态。1.1.1.1.李雅普诺夫指数费根鲍姆常数七十年代初,在梅（R.May）发现了平方映射的异常复杂的特性后。年轻的费根鲍姆(M.Feigenbum)用一台普通计算器进行计算。在计算中他注意到数学家斯梅尔(S.Smale)指出过的非线性系统由周期运动变到混沌的转变区域遗留着一些尚未解决的问题。他每算一次记录一次结果，发现每次分岔的μ值之间的间隔越来越小。他将各个前后间隔相除，发现平方映射是以恒定的速率接近临界值μc。混沌…周期16轨道周期8轨道周期4轨道周期2轨道周期1轨道0xn+13.5699…3.5644～3.56883.5441～3.56443.4995～3.54413～3.49951～31µ2．费根鲍姆常数6692.4limn1n1nnk==−−+−∞→δµµµµ5029.21+nn==αdd设μn为第n次分岔的μ值，则相继两次分岔的间隔之比δ趋于一个常数，被称为费根鲍姆第一常数。此外，他发现2n周期分岔的超稳定点之间的距离dn之比也趋于一个常数：α，称为费根鲍姆第二常数。费根鲍姆常数2．费根鲍姆常数研究发现，对于所有在[0，1]区间内的单峰光滑映射，如正弦映射、圆与椭圆映射等，都可计算得同样常数。而且许多包含耗散的非线性系统，只要发生倍周期分岔也会有同样的常数。两个费根鲍姆常数δ与α都反映了非线性系统沿倍周期分岔系列通向混沌过程所具有的某种普适特性。可见费根鲍姆常数具有普遍意义。大自然中存在一些普适常数，例如长度与直径之比的圆周率，反映物理量随时间衰变的自然对数e，反映物质微观量度的普朗克常数h，真空中光速c等，但普适常数为数不太，它们代表了大自然运动所遵循的某些规律它们代表了大自然运动所遵循的某些规律它们代表了大自然运动所遵循的某些规律它们代表了大自然运动所遵循的某些规律。费根鲍姆常数发现说明在对自然规律的认识上又前进一步，它的所包含的意义还有待进一步去发掘。费根鲍姆常数的意义2．费根鲍姆常数3333....奇怪吸引子----埃侬吸引子埃侬映射埃侬映射埃侬映射埃侬映射⎩⎨⎧=+−=n1+nn21+n1bxyyxxnµ埃侬映射是一个二维映射。这是天文学家埃侬(M.Henon)首先计算的离散型映射,它有两个控制参数µ和b：埃侬映射所描述的体系随参数b的取值不同而不同：当b=1时系统在运动中保持相平面积不变，描述的是保守系统；当b1，系统在运动中相平面面积逐渐缩小，因此描述的是耗散系统。当b=0时退化为一维映射：当xn与xn+1的取值[0，1]时，则参数µ的取值[0，2]。这个一维映射与平方映射有相同的复杂动力学性质。21+n1nxxµ−=埃侬吸引子埃侬吸引子埃侬吸引子埃侬吸引子小方块是放大20倍后的局部图形取参数µ＝1.4，b＝0.3（即b1的耗散体系），进行计算，结果显示在(x,y)相平面上：开始时，计算出得点在平面上随机地出现，随着计算继续，计算得的点开