1导数的概念及其几何意义-简单难度-讲义---副本

导数的概念及其几何意义知识讲解一、导数的概念1.函数的平均变化率：定义：一般地，已知函数()yfx，0x，1x是其定义域内不同的两点，记10xxx，10yyy10()()fxfx00()()fxxfx，则当0x时，商00()()fxxfxyxx称作函数()yfx在区间00[,]xxx（或00[,]xxx）的平均变化率．注：这里x，y可为正值，也可为负值．但0x，y可以为0．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：瞬时变化率：设函数()yfx在0x附近有定义，当自变量在0xx附近改变量为x时，函数值相应的改变00()()yfxxfx．如果当x趋近于0时，平均变化率00()()fxxfxyxx趋近于一个常数l（也就是说平均变化率与某个常数l的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l称为函数()fx在点0x的瞬时变化率．函数的导数：“当x趋近于零时，00()()fxxfxx趋近于常数l”可以用符号“”记作：“当0x时，00()()fxxfxlx”，或记作“000()()limxfxxfxlx”，符号“”读作“趋近于”．函数在0x的瞬时变化率，通常称为()fx在0xx处的导数，并记作0()fx．这时又称()fx在0xx处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x时，000()()()fxxfxfxx”或“0000()()lim()xfxxfxfxx”．3．可导与导函数：定义：如果()fx在开区间(,)ab内每一点都是可导的，则称()fx在区间(,)ab可导．这样，对开区间(,)ab内每个值x，都对应一个确定的导数()fx．于是，在区间(,)ab内，()fx构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()yfx的导函数．记为()fx或y（或xy）．注：导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．二、导数的几何意义1.导数的几何意义：意义：设函数()yfx的图象如图所示．AB为过点00(,())Axfx与00(,())Bxxfxx的一条割线．由此割线的斜率是00()()fxxfxyxx，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线过点A的切线，即000()()limxfxxfxx切线AD的斜率．由导数意义可知，曲线()yfx过点00(,())xfx的切线的斜率等于0()fx．2.求曲线的切线方程方法：若曲线()yfx在点00(,)Pxy及其附近有意义，给横坐标0x一个增量x，相应的纵坐标也有一个增量00()()yfxxfx，对应的点00(,)Qxxyy.则PQ为曲线()yfx的割线.当0x时QP,如果割线PQ趋近于一确定的直线，则这条确定的直线即为曲线的切线.当然，此时割线PQ的斜率yx就趋近于切线的斜率.切线的方程为00()yykxx.x0xyxODCBA典型例题一．选择题（共14小题）1．（2018•德阳模拟）已知函数f（x）在R上存在导数f′（x），下列关于f（x），f′（x）的描述正确的是（）A．若f（x）为奇函数，则f′（x）必为奇函数B．若f（x）为周期函数，则f′（x）必为周期函数C．若f（x）不为周期函数，则f′（x）必不为周期函数D．若f（x）为偶函数，则f′（x）必为偶函数【解答】解：对于A：例如：f（x）=x3为奇函数，则f′（x）=3x2，为偶函数，故A错误，对于B：f（x）是可导函数，则f（x+T）=f（x），两边对x求导得（x+T）′f'（x+T）=f'（x），f'（x+T）=f'（x），周期为T．故若f（x）为周期函数，则f′（x）必为周期函数．故B正确，对于C：例如：f（x）=sinx+x不是周期函数，当f′（x）=cosx+1为周期函数，故C错误，对于D：例如：f（x）=x2为偶函数，则f′（x）=2x为奇函数，故D错误，故选：B．2．（2018春•东安区校级期中）设点P是曲线𝑦=𝑥3−√3𝑥+35上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[0，2𝜋3]B．[0，𝜋2）∪[2𝜋3，π）C．(𝜋2，2𝜋3]D．[𝜋3，2𝜋3]【解答】解：y′=3x2﹣√3≥﹣√3，tanα≥﹣√3，∴α∈[0，𝜋2）∪[2𝜋3，π），故选：B．3．（2018春•福州期末）已知函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是𝑦=12𝑥+2，则f（1）+f′（1）的值等于（）A．1B．52C．3D．0【解答】解：由已知点点M（1，f（1））在切线上，所以f（1）=12+2=52，切点处的导数为切线斜率，所以𝑓′(1)=12，即f（1）+f'（1）=3，故选C．4．（2018春•咸阳期末）若y=f（x）在（﹣∞，+∞）可导，且𝑙𝑖𝑚△𝑥→0𝑓(𝑎+2△𝑥)−𝑓(𝑎)3△𝑥=1，则f′（a）=（）A．23B．2C．3D．32【解答】解：∵𝑙𝑖𝑚△𝑥→0𝑓(𝑎+2△𝑥)−𝑓(𝑎)3△𝑥=1，∴23•𝑙𝑖𝑚△𝑥→0𝑓(𝑎+2△𝑥)−𝑓(𝑎)2△𝑥=1，即23f′（a）=1，则f′（a）=32，故选：D．5．（2018春•吉安期中）设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能为（）A．B．C．D．【解答】解：由f（x）的图象判断出可得从左到右函数的单调性在y轴左侧先增，再减，在y轴的右侧，函数单调递减，∴导函数y=f′（x）的图象可能为区间（﹣∞，0）内，先有f′（x）＞0，再有f′（x）＜0，在（0，+∞）再有f′（x）＞0．故选：A．6．（2018春•思明区校级月考）已知函数f（x）的图象如图所示，f′（x）是函数f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（）A．2f′（2）＜f（4）﹣f（2）＜2f′（4）B．2f′（4）＜2f′（2）＜f（4）﹣f（2）C．2f′（2）＜2f′（4）＜f（4）﹣f（2）D．f（4）﹣f（2）＜2f′（4）＜2f′（2）【解答】解：由函数f（x）的图象知：当x≥0时，f（x）单调递增，且当x=0时，f（0）＞0，∴f′（2），f′（4），f（4）﹣f（2）＞0，由此可知f′（x）在（0，+∞）上恒大于0，其图象为一条直线，∵直线的斜率逐渐增大，∴f′（x）单调递增，∴f′（2）＜f′（4），∴2f′（2）＜2f′（4），∵f′（2）＜𝑓(4)−𝑓(2)4−2＜f′（4），∴2f′（2）＜f（4）﹣f（2）＜2f′（4）故选：A．7．（2018春•菏泽期中）已知函数y=f（x），其导函数y=f'（x）的图象如图，则对于函数y=f（x）的描述正确的是（）A．在（﹣∞，0）上为减函数B．在x=0处取得最大值C．在（4，+∞）上为减函数D．在x=2处取得最小值【解答】解：当0＜x＜2或x＞4时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，2），（4，+∞）上单调递减，当2＜x＜4或x＜0时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（2，4）（﹣∞，0）上单调递增，∴当x=0或x=4时函数取的极大值，∴函数f（x）最大值为，max{f（0），f（4）}，无最小值，故选：C．8．（2018春•镇安县校级期中）定义在R上函数f（x），若（x﹣1）f′（x）≤0，则下列各式正确的是（）A．f（0）+f（2）＞2f（1）B．f（0）+f（2）＜2f（1）C．f（0）+f（1）=2f（1）D．f（0）+f（2）与2f（1）大小不定【解答】解：当x＜1时，则f′（x）≥0；当x＞1时，则f′（x）≤0，所以，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），单调递减区间为（1，+∞），所以，f（0）＜f（1），f（2）＜f（1），将上述两个不等式相加得f（0）+f（2）＜2f（1），故选：B．9．（2018•榆林三模）定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足𝑓′(𝑥1)=𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎，𝑓′(𝑥2)=𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A．(13，12)B．（32，3）C．（12，1）D．（13，1）【解答】解：由题意可知，∵f（x）=x3﹣x2+a，f′（x）=3x2﹣2x在区间[0，a]存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）=f′（x2）=𝑓(𝑎)−𝑓(0)𝑎=a2﹣a，∵f（x）=x3﹣x2+a，∴f′（x）=3x2﹣2x，∴方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个不相等的解．令g（x）=3x2﹣2x﹣a2+a，（0＜x＜a）则，{△=4−12(−𝑎2+𝑎)＞0𝑔(0)=−𝑎2+𝑎＞0𝑔(𝑎)=2𝑎2−𝑎＞00＜13＜𝑎解得；12＜𝑎＜1．∴实数a的取值范围是（12，1）故选：C．10．（2018春•商丘期中）已知函数f（x）=（x3﹣2x）ex，则𝑙𝑖𝑚△𝑥→0𝑓(1+△𝑥)−𝑓(1)△𝑥的值为（）A．﹣eB．1C．eD．0【解答】解：∵f（x）=（x3﹣2x）ex，∴f′（x）=（x3+3x2﹣2x﹣2）ex，∴𝑙𝑖𝑚△𝑥→0𝑓(1+△𝑥)−𝑓(1)△𝑥=f′（1）=（1+3﹣2﹣2）e=0，故选：D．11．（2018春•路南区校级期中）过函数f（x）=𝑥1−𝑥图象上一点（2，﹣2）及邻近一点（2+△x，﹣2+△y）作割线，则当△x=0.25时割线的斜率为（）A．15B．45C．1D．−95【解答】解：根据题意，函数f（x）=𝑥1−𝑥，当△x=0.25时，2+△x=2.25，故﹣2+△y=2.251−2.25=﹣95，则△y=﹣95﹣（﹣2）=15，此时割线的斜率K=△𝑦△𝑥=45；故选：B．12．（2016秋•宿州期末）一个物体的运动方程为s=t2﹣t+2（其中s的单位是米，t的单位是秒），那么物体在t=4秒的瞬时速度是（）A．6米/秒B．7米/秒C．8米/秒D．9米/秒【解答】解：∵s=s（t）=t2﹣t+2，∴s'（t）=2t﹣1，∴根据导数的物理意义可知物体在4秒末的瞬时速度为为s'（4），即s'（4）=2×4﹣1=7（米/秒），故选：B．13．（2016秋•福州期末）一质点做直线运动，由始点经过t秒后的距离为s=t3﹣t2+2t，则t=2秒时的瞬时速度为（）A．8m/sB．10m/sC．16m/sD．18m/s【解答】解：s′=3t2﹣2t+2∴s′（2）=12﹣4+2=10∴t=2时的瞬时速度为10m/s．故选：B．14．（2017春•东坡区校级月考）函数f（x）的图象如图所示，则下列关系正确的是（）A．0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）B．0＜f'（2）＜f（3）﹣f（2）＜f'（3）C．0＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）＜f'（2）D．0＜f（3）﹣f（2）＜f'（2）﹣f'（3）【解答】解：由函数f（x）的图象可知：当x≥0时，f（x）单调递增，且当x=0时，f（0）＜0，∴f′（2），f′（3），f（3）﹣f（2）＞0，由此可知f′（x）＞0，∵直线的斜率逐渐减小，∴f′（x）单调递减，∴f′（2）＞f′（3），∵f（x）为凸函数，∴f（3）﹣f（2）＜f′（2）∴0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2），故选：C．二．填空题（共4小题）15．（2018•南开区一模）若曲线y=ex+e﹣x的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为ln2．【解答】解：∵f（x）=ex+e﹣x，∴f′（x）=ex﹣e﹣x，设切点的横坐标为x0，可得ex0﹣e