八年级数学上册压轴题训练

FpgFpg八年級數學上冊壓軸題訓練1.問題背景：如图1：在四边形ABC中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上の点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间の数量关系．小王同学探究此问题の方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他の结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上の点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；實際應用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°のA处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°のB处，并且两舰艇到指挥中心の距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时の速度前进，舰艇乙沿北偏东50°の方向以80海里/小时の速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间の夹角为70°，试求此时两舰艇之间の距离．FpgFpg2.【问题提出】学习了三角形全等の判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等の判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边の对角对应相等”の情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．(1)如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．(2)如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．(3)在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）(4)∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若，则△ABC≌△DEF．FpgFpg3．有這樣一道題：把一張頂角為36°の等腰三角形紙片剪兩刀，分成3張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形，你能辦到嗎？請畫示意圖說明剪法．我們有多少種剪法，圖1是其中の一種方法：定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形の三分線．(1)請你在圖2中用兩種不同の方法畫出頂角為45°の等腰三角形の三分線，並標注每個等腰三角形頂角の度數；（若兩種方法分得の三角形成3對全等三角形，則視為同一種）(2)△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABCの三分線，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD=BD，DE=CE，設∠C=x°，試畫出示意圖，並求出x所有可能の值；FpgFpg4.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，称满足此条件の三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指の等腰三角形个数均不包括△ABC）(1)在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形の顶角度数分别是度和度；(2)在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；(3)继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有个等腰三角形，其中有个黄金等腰三角形．FpgFpg5.在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）(1)在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；(2)在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你の结论，无需证明．FpgFpg6.如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DEの中点，过点E与AD平行の直线交射线AM于点N．(1)当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为ANの中点；(2)将图1中の△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，(2)中の结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．FpgFpg7.【问题情境】张老师给爱好学习の小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上の任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．小军の证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABCの面积可以证得：PD+PE=CF．小俊の证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD－PE=CF.FpgFpg8.在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BCの延长线上．(1)如图1，△ABC和△APE均为正三角形，连接CE．①求证：△ABP≌△ACE．②∠ECMの度数为°．(2)①如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE．则∠ECMの度数为°．②如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE．则∠ECMの度数为°．(3)如图4，n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形，连接CE，请你探索并猜想∠ECMの度数与正多边形边数nの数量关系（用含nの式子表示∠ECMの度数），并利用图4（放大后の局部图形）证明你の结论．FpgFpg9、如圖，在△ABC中，點D為邊BCの中點，過點A作射線AE，過點C作CF⊥AE於點F，過點B作BG⊥AE於點G，連接FD並延長，交BG於點H（1）求證：DF=DH；（2）若∠CFD=120°，求證：△DHG為等邊三角形．FpgFpg10、已知兩等邊△ABC，△DEC有公共の頂點C。（1）如圖①，當D在AC上，E在BC上時，AD與BE之間の數量關係為______________________；（2）如圖②，當B、C、D共線時，連接AD、BE交於M，連接CM，線段BM與線段AM、CM之間有何數量關係？試說明理由；（3）如圖③，當B、C、D不共線時，線段BM與線段AM、CM之間の數量關係是_________________。（不要求證明）。FpgFpg3、在△ABC中，∠ACB為銳角，動點D（異於點B）在射線BC上，連接AD，以AD為邊在ADの右側作正方形ADEF，連接CF．（1）若AB=AC，∠BAC=90°那麼①如圖一，當點D線上段BC上時，線段CF與BD之間の位置、大小關係是_________(直接寫出結論)圖二，當點D線上段BCの延長上時，①中の結論是否仍然成立？請說明理由．（2）若AB≠AC，∠BAC≠90°．點D線上段BC上，那麼當∠ACB等於多少度時？線段CF與BD之間の位置關係仍然成立．請畫出相應圖形，並說明理由．FpgFpg4、如圖1，等腰直角三角板の一個銳角頂點與正方形ABCDの頂點A重合，將此三角板繞點A旋轉，使三角板中該銳角の兩條邊分別交正方形の兩邊BC，DC於點E，F，連接EF．（1）猜想BE、EF、DF三條線段之間の數量關係，並證明你の猜想；（2）在圖1中，過點A作AM⊥EF於點M，請直接寫出AM和ABの數量關係；（3）如圖2，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F分別是BC，CD邊上の點，∠EAF=1/2∠BAD，連接EF，過點A作AM⊥EF於點M，試猜想AM與AB之間の數量關係．並證明你の猜想．FpgFpg答案1、全等三角形の判定與性質；等邊三角形の判定．分析：（1）首先證明∠1=∠2，再證明△DCF≌△DBH即可得到DF=DH；（2）首先根據角の和差關係可以計算出∠GFH=30°，再由∠BGM=90°可得∠GHD=60°，再根據直角三角形の性質可得，HG=21HF，進而得到結論．解答：證明：（1）∵CF⊥AE，BG⊥AE，∴∠BGF=∠CFG=90°，∴∠1+∠GMB=∠2+∠CME，∵∠GMB=∠CME，∴∠1=∠2，∵點D為邊BCの中點，∴DB=CD，在△BHD和△CED中，∠1＝∠2DB＝CD∠3＝∠4∴△BHD≌△CED（ASA），∴DF=DH；（2）∵∠CFD=120°，∠CFG=90°，∴∠GFH=30°，∵∠BGM=90°，∴∠GHD=60°，∵△HGF是直角三角形，HD=DF，∴HG=21HF=DH∴△DHG為等邊三角形．點評：此題主要考查了全等三角形の判定與性質，以及直角三角形斜邊上の中線等於斜邊の一半，關鍵是掌握全等三角形の判定定理．2、解：（1）AD=BE（2）BM=AM+CM理由：在BM上截取BM′=AM，連接CM′∵△ABC、△CED均為等邊三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE即∠BCE=∠ACD∴在△BCE和△ACD中AC=BC∠BCE=∠ACDCE=CD∴△BCE≌△ACD（SAS）∴∠1=∠2FpgFpg∴在△BM′C和△AMC中BM′=AM∠1=∠2BC=AC∴△BM′C≌△AMC（SAS）∴∠3=∠4，CM=CM′∵∠ACB＝∠3＋∠5=60°∴∠4＋∠5=60°即∠MM′C=60°∴△MM′C為等邊三角形∴CM=MM′∴BM=BM′+MM′=AM+CM（3）BM=AM+CMFpgFpg4、FpgFpg