10.--反比例函数-K的几何意义

反比例函数K的几何意义知识引入反比例函数)0(kxky中k的几何意义：双曲线)0(kxky上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为k。理由：如下图，过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线PMPN、所得的矩形PMON的面积PMONSPMPNyxxy矩形；kyx，xyk即Sk，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形面积均为k。下面两个结论是上述结论的拓展：如下图，则有kxySSAOBOPA2121（1）如图①，OPAOCDOPCADCPSSSS梯形；图①图②（2）如图②，BPEACEOAPBOBCASSSS梯形梯形；典型例题题型一：K意义的直接运用【例1】（2013•宜昌）如图，点B在反比例函数02xxy的图象上，横坐标为1，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为AC、，则矩形OABC的面积为_______2、（2013•淄博）如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数xky的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是__________【变式练习】：1、如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作ABy轴于点B，点P在x轴上：ABP的面积为2，则这个反比例函数的解析式为______________．2、如图，AB、为双曲线xy12上的点，ADx轴于D,BCy轴于点C，则四边形ABPxyOABCD的面积为。题型二：知K求面积【例2】①双曲线xy4在第一象限内的图像如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A点，交y轴于B点，点C为x轴上一点，连结AC交y轴于D点，连结BC，若DBC的面积为3，则ABD的面积为。②双曲线xy3在第一象限内的图象经过等边AOB的顶点A，过点B作xBD轴交双曲线于点D，则DB的长为。过AD、的直线分别交x轴y轴于EF、，则EOF的面积为。变式练习：1、直线l交y轴于点C，与双曲线0kykx交于AB、两点，P是线段AB上的点（不与AB、重合），过点APQ、、（Q在直线l上）分别向x轴作垂线，垂足分别为DEF、、，连接OAOPOQ、、，设AOD的面积为1S，POE的面积为2S，QOF的面积为3S，则123SSS、、的大小关系为．（用“”连接）2、如图是反比例函数5yx和3yx在第一象限内的图象，在3yx上取点M分别作两坐标轴的垂线交5yx于点AB、，连接OAOB、，则图中阴影部分的面积为3、如图，两个反比例函数xy4和xy2在第一象限内的图象分别是1C和2C，设点P在1C上，PAx轴于点A，交2C于点B，则POB的面积为_________4、（2013•乌鲁木齐）如上图，反比例函数03xxy的图象与矩形OABC的边长ABBC、分别交于点EF、且AEBE，则OEF的面积的值为____________5、如图已知双曲线)0(kxky经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C，若点A的坐标为（-6，4）,则AOC的面积为。6、如图，已知双曲线011xxy，042xxy，点P为双曲线xy42上的一点，且PAx轴于点A，PBy轴于点BPAPB、、分别交双曲线011xxy于DC、两点，则PCD的面积为。题型三：知面积求K【例3】①如图，已知双曲线y＝xk(x＞0)）经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k②如图，点AB、为双曲线xky上两点，过点A作yAC于点C，过点B作yBD轴于点D，连结OAOB、，OABD、交于点E，若EOD的面积为1，阴影部分的面积之和为9，则k的值为。变式练习：1、如图，如图，点AB、为双曲线)0(xxky上两点，过点A作yAC于点C，过点B作xBD轴于点D，OCBDAC51,9ABDCS四边形，则k的值为。2、（2013•玉溪）反比例函数xky0x的图象如上图，点B在图象上，连接OB并延长到点A，使2ABOB，过点A作//ACy轴，交xky0x的图象于点C，连接OC，5AOCS，则k________________3、已知双曲线0kykx经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若OBC的面积为3，则k____________．题型四：知线段（横，纵坐标的）差，比设坐标【例4】①如图，在OAB中，C是AB的中点，反比例函数)0(kxky在第一象限的图象经过AC、两点，若OAB面积为6，则k的值为____________②如图，已知梯形ABCD的底边AO在x轴上，//BCAO，ABAO，过点C的双曲线kyx交OB于D，且:1:2ODDB，若OBC的面积等于3，则k的值______变式练习：1、如图，直线与双曲线（）交于点A．将直线向右平移个单位后，与双曲线（）交于点B，与轴交于点C，若，则．题型五：反比例函数中的相似43yxkyx0x43yx92kyx0xx2AOBCkOxyABC【例5】如图6，直线6yx交x轴、y轴于AB、两点，P是反比例函数4(0)yxx图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F。则AFBE________。变式练习：1、如图，M为双曲线xy3上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线yxm点DC、两点，若直线yxm与y轴交于点A，与x轴相交于点B，则ADBC的值为_________．2、如图，直线33yxb与y轴交于点A，与双曲线kyx在第一象限交于BC、两点，且4ABAC，则k_________．题型六：反比例函数图像上的特殊多边形BAOxyC【例6】①如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数1yx（0x）的图象上，则点E的坐标是（，）.变式练习：1、如图，正方形1112ABPP的顶点1P、2P在反比例函数2(0)yxx的图象上，顶点1A、1B分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形2232BAPP，顶点3P在反比例函数2(0)yxx的图象上，顶点2A在x轴的正半轴上，则点3P的坐标为．中考链接：1P2P1A1B2A2B3PxyO1、（2009成都）如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函(00)kykxx，的图象上．若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为MN、，从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积，记剩余部分的面积为S．则当Sm(m为常数，且04m)时，点R的坐标是________________________(用含m的代数式表示)2、（2010年）已知n是正整数，111222(,),(,),,(,),nnnPxyPxyPxy是反比例函数kyx图象上的一列点，其中121,2,,,nxxxn．记112Axy，223Axy，1nnnAxy，，若1Aa（a是非零常数），则12nAAA的值是________________________（用含a和n的代数式表示）．3、（2011年）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数2(0)kykx满足：当0x时，y随x的增大而减小。若该反比例函数的图象与直线3yxk都经过点P，且7OP，则实数k_________.4、（2012成都）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点AB、，与反比例函数(为常数，且)在第一象限的图象交于点EF、．过点E作EMy轴于M，过点F作FNx轴于N，直线EM与FN交于点C．若1BEBFm(为大于l的常数)．记CEF的面积为，OEF的面积为，则12SS________．(用含的代数式表示)kyxk0km1S2Sm5、（2014成都）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线xy23与双曲线xy6相交于A，B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP，BC.若△PBC的面积是20，则点C的坐标为___________.6、（2014•孝感）如图，RtAOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线)0(xxky经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若9OCDS，则OBDS的值为。7、（2014•锦州）如图，点B1在反比例函数)0(2xxy的图象上，过点1B分别作x轴和y轴的垂线，垂足为C1和A，点1C的坐标为（1，0）取x轴上一点)0,23(2C，过点C2分别作x轴的垂线交反比例函数图象于点2B，过2B作线段11BC的垂线交11BC于点1A，依次在x轴上取点3(2,0)C，)0,25(4C…按此规律作矩形，则第n（2n，n为整数）个矩形）11nnnnACCB的面积为。能力提升1、如右图，直线AB交双曲线(0)kykx于AB、，交x轴于点CB、为线段AC的中点，过点B作BMx轴于M，连结OA。212OACOMMCS，则k的值为___________.2、如图，ABCD的顶点AB、的坐标分别是1002AB，，，，顶点CD、在双曲线kyx上，边ADy轴于点E，且四边形BCDE的面积是ABE面积的5倍，则k。3、（2013•自贡）如图，在函数80yxx的图象上有点1231nnPPPPP、、、、、，点1P的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点1231nnPPPPP、、、、、分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为123nSSSS、、、、，则1S_______，nS___________．（用含n的代数式表示）5、如图，点P是反比例函数0kykx图象上的点，PA垂直x轴于点A（-1，0），点C的坐标为（1，0），PC交y轴于点B，连结AB，已知5AB.若Mab，是该反比例函数图象上的点，且满足MBAABC，则a的取值范围是____________________________。5、如图，已知双曲线3kyx（k为常数）与直线l相交于AB、两点，第一象限内的点M（点M在A的左侧）在双曲线3kyx上，设直线AMBM、分别与y轴交于PQ、两点．若AMmMPBMnMQ，，则mn的值是______．课后作业1、（2013•六盘水）下列图形中，阴影部分面积最大的是（）A、B、C、D、2、如图，过点O作直线与双曲线(0)kykx交于AB、两点，过B点作BCx轴于C点，作BDy轴于D点，在x轴上分别取点EF、，使点AEF、、在同一直线上，且AEAF，设图中矩形ODBC的面积为1S，EOF的面积为2S，则12SS、的数量关系是（）A．12SSB．122SSC．123SSD．124SS3、（2013•柳州）如图，点Paa,是反比例函数xy16在第一象限内的图象上的一个点，以点P为顶点作等边PAB，使AB、落在x轴上，则POA的面积是_____4、如图，1P是反比例函数在第一象限图像上的一点，点1A的坐标为(2，0)，若112121nnnPOAPAAPAA、均为等边三角形，则nA点的坐标是5、如图，如图，点AB、为双曲线)0(xxky上两点，过点A作xAC于点C，过点B作yBD轴于点D，ACBD、交于点P，P是AC的中点，若ABP的面积为3，求k的值。6、已知，如图，动点P在函数1(0)2yxx的图像上运动，PMx轴于点M，PNy轴于点N，线段PMPN、分别与直线:1AByx交于点EF、，求AFBE的值7、如图,已知直线12yx与双曲线(0)kykx交AB、两点，且点A的横坐标为4.（1）求k的值；（2）若双曲线(0)kykx上一点