第2章2-矩阵的Jordan标准型-(1)

问题：如果给定的矩阵不与任何对角阵相似，能否找一最简单的矩阵与之相似？如何找。等价的问题：若线性空间上给定的线性变换不可对角化，如何找线性空间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。第二章矩阵的Jordan标准型§2.1矩阵的Jordan标准型一.Cayley-Hamilton定理第二章矩阵的Jordan标准型凯莱[英]A.Cayley(1821.8-1895.1)哈密尔顿[英]W.R.Hamilton(1805.8-1865.9)约当[法]M.E.C.Jordan(1838.1-1922.1)矩阵的多项式表示定义：已知和关于变量的多项式那么我们称为的矩阵多项式。Ax1110()nnnnfxaxaxaxa1110()nnnnfAaAaAaAaEnnAC化零多项式定理2.1.c()=|E–Ann|则c(A)=O.注:c(A)=|AE–A|?|E–Ann|=a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann=n+an1n1+…+a1+a0=ntr(A)n1+…+(1)n|A|.c()=n+an1n1+…+a1+a0c(A)=An+an1An1+…+a1A+a0Ec(A)=OAn+an1An1+…+a1A=a0E=A(An1+an1An2+…+a1E)当A可逆时,a0=(1)n|A|0,于是A1=1a0(An1+an1An2+…+a1E)A*=|A|A1=…110c(),nnnEAaa则c(A)=An+an-1An-1+…+a0E=0。对于一般的n阶矩阵组成的集合，需要取出n2+1个才能保证是线性相关的。但是对于矩阵序列I,A,A2,A3…，按顺序取到第n+1个时，An一定可以被前面的矩阵线性表出。则An=-an-1An-1-…-a0E例1.已知A=122103112,求A100.解:c()=|E–A|=(+1)2(1).分别将=1,1代入上式得10099=(100)1=a+b+c,设100=c()g()+a2+b+c,1=ab+c.=[c()g()+a2+b+c]=c()g()+c()g()+2a+b将=1代入上式得100=2a+b.于是可得a=50,b=0,c=49.=50A249E故A100=c(A)g(A)+50A249E=50即100=c()g()+50249,308214205490004900049=199040010012001000201.例1.已知A=122103112,求A100.A=011010112①c()=|E–A|=(1)3满足c(A)=O②f()=(1)2=22+1满足f(A)=O.c()的次数为3f()的次数为2③不存在更低次数的多项式g()使得g(A)=O.A的化零多项式次数最低,首项系数为1例2.二.最小多项式1.定义:A的次数最低的最高次项系数为1的化零多项式称为A的最小多项式.2.性质:(1)A的最小多项式|A的任一化零多项式.(2)A的最小多项式是唯一的,记为mA()或简记为m().(3)则m(0)=0c(0)=0.(4)A~BmA()=mB().但反之未必!11000100001000021100010000200002例如:与的最小多项式都是(1)2(2),但是它们的特征多项式分别为因而这两个矩阵不相似.(1)3(2)和(1)2(2)2,定理12A00AA设矩阵为一个准对角矩阵A=112212,,AmAmAmm并设的最小多项式为的最小多项式为则的最小多项式为和的最小公倍数定理1rAA=A例aaaaaaaaa11,01,式：求下列矩阵的最小多项推论.设A,B分别为sn矩阵和nt矩阵,则r(AB)r(A)+r(B)n.引理.设A1,A2,…,As都是n阶方阵,且A1A2As=O,…则r(Ai)(s1)n.i=1sr(A1A2As)r(A1)+r(A2As)n………r(A1)+r(A2)+r(A3As)2n…r(A1)+r(A2)+…+r(As)(s1)n.三.最小多项式与对角化的关系定理3.A相似于对角矩阵mA()没有重根.②对角阵的最小多项式没有重根.因而r(iEA)(s1)n,i=1s证明:()①相似的矩阵的最小多项式相同;()设mA()=(1)(2)…(s),则(1EA)(2EA)…(sEA)=O,故[nr(iEA)]n.i=1si1dimisVni1i1dimissiVpndim=iiiVqp定理：阶矩阵可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。AnnA有个线性无关的特征向量。1()()ispiifVVC设：的特征多项式是，则下述条件是等价的：是可对角化的；f.1;dim.2ipVii，sVVVV21.31212-1=rpprpEEPAPE综合4.iip有个线性无关的特征向量例3.若n阶方阵A满足A23A+2E=O,r(AE)=r,则行列式|A+3E|=____.解:A23A+2E=O(AE)(A2E)=O存在可逆矩阵P使得P1AP=|A+3E|=|P1||A+3E||P|EnrOO2Er秩(AE)=r=|P1(A+3E)P|=|P1AP+3E|=4EnrOO5Er=4nr5r.例4.求解矩阵方程X25X+6E=O,n阶方阵X令r(A3E)=r,解:f(x)=x25x+6=(x3)(x2)为X的零化多项式存在可逆矩阵P使得P1XP=2ErOO3Enr由X25X+6E=O(A2E)(A3E)=Of(x)=(x3)(x2)无重因式，故为最小多项式m(x)矩阵X的特征值为3和2，且X可以相似对角化2ErOO3EnrX=PP1例5.设m阶方阵J0为证明:J0特征多项式为c()=(-a)maaa11ammOEm-1OO证明:J0必不可以对角化。J0-aE==NNk不等于O，Nm=O四.Jordan标准形000110mmm阶Jordan块:例如:(0)0100010001000注:01000110011010010=一阶Jordan块是一阶矩阵J1J2JsJordan形矩阵:若当块例如:100020003010001000210020003110020003但不是Jordan形矩阵.Jordan标准型定理5：设A是n阶复矩阵，则必存在可逆矩阵S，使得1s1diag,(),...,()SASJJJ其中1,…,s是A的互不相同的特征值，1()diag(),...,(),1,...,,iiiqiJJJis1(),1,...,,1jjinnijiiiJCjq111.iqssjiijinpn而且这个标准型在除去对角块顺序后是唯一的。1()()ispiiC即且若A与Jordan形矩阵J相似,则称J为A的Jordan当标准形.注:J1OOJ2OEEOOEEO1J2OOJ1=推论.两个复方阵相似它们具有相同的Jordan标准形.推论.两个复方阵相似，特征值、秩？Jordan矩阵的结构与几个结论:(1)Jordan块的个数k是线性无关特征向量的个数;(2)矩阵可对角化,当且仅当s=n;(3)相应于一个已知特征值的Jordan块的个数是该特征值的几何重数,它是相应的特征子空间的维数,相应于一个的所有Jordan块的阶数之和是该特征值的代数重数.特征值的几何重数代数重数(4)矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关.iq1iqjijnpiqipiiiJ的对角元素给出了特征值的信息。221221212J22212212J推论：设nnAC,则下列命题等价：(1)是可对角化矩阵A;(2)存在由的特征值向量构成的一组基底。nCA(3)A的Jordan标准形中的Jordan块都是一阶的。(4)12iiqp(i,,,r)12121=rpprpEEPAPE推论：阶矩阵可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。AnnA有个线性无关的特征向量。1()()ispiiAC设方阵的特征多项式是，则下述条件是等价的：可相似对角化；A.1;dim.2iipqVii，sVVVV21.312121=rpprpEEPAPE综合：4.iip有个线性无关的特征向量()0iiVXAEX特征子空间1,2,…,sA11,…,1q,1线性无关11,…,1q,21,…,2q,…,s1,…,sq线性无关12s2线性无关21,…,2q,…,s线性无关s1,…,sq121112121=,,,sqqssqP，，，，，，iipqViidim，相似矩阵P的求法1s1diag,(),...,()SASJJJ定理5：1,…,s是n阶复矩阵A的互不相同的特征值，1()diag(),...,(),1,...,,iiiqiJJJis1(),1,...,,1jjinnijiiiJCjq111.iqssjiijinpn1()()ispiiC即且(1)则必存在可逆矩阵S，使得则下面是等价的2.dim，iiiiVqp3iiq有个线性无关的特征向量124()0isipiVRRRRAE，其中()0iipiiRAEA是的关于的根子空间则V上必然存在一个线性变换T，使得T()iiRR亦即中必然存在一组基(个)，使得T在这组基下的矩阵为iR1()diag(),...,(),1,...,,iiiqiJJJis1(),1,...,,1jjinnijiiiJCjqip1,2,…,sA11,…,1q,1线性无关11,…,1q,21,…,2q,…,s1,…,sq线性无关12s2线性无关21,…,2q,…,s线性无关s1,…,sq1112111111211=,,,sssqqppssqsqspS，，，，，，，，，，dim，iiiiVqp相似矩阵S的求法五.Jordan标准型与最小多项式的关系设A是n阶复矩阵，则必存在可逆矩阵S，使得1s1diag,(),...,()SASJJJ其中1,…,s是A的互不相同的特征值，1()diag(),...,(),1,...,,iiiqiJJJis1(),1,...,,1jjinnijiiiJCjq111.iqssjiijinpn1()()ispiiC即且1maxiiijqrn则A的最小多项式为：1()()isriim.iiAJordanJordanr的标准形中以为主对角元的块的最高阶数为12112=212212JJJ12