矩阵论-最小多项式-JORDAN式子

矩阵一、矩阵的基本概念数域P上mn的矩阵的一般形式1111nijmnmmnaaAaaa，其中各ijaP.1A的某行（列）不为零：该行（列）的元素不全为零多项式；2A的：该子式是一个非零多项式；3A的秩为r：A有一个r级子式不为零，而所有的1r级子式（如果还有的话）全为零；4n级矩阵A可逆：存在n级矩阵B使ABBAE，这时记B为1A称为A的逆矩阵。A可逆A非零常数（即零次多项式）.5A与B等价：A与B可以经过初等变换互相转化。A与B等价存在可逆矩阵,PQ使PAQB.二、矩阵的标准准形及三种因子1每个矩阵A都可以经过初等变换（可以同时作行变换和列变换）化为标准形1200rddBd，其中12,,,rddd均为首一多项式，称为A的不变因子。它们满足依次整除关系：1iidd，1,2,,1ir.因为初等变换不改变A的秩，所以上述rrA.2A的所有k级子式的首一最大公因式kD称为A的k级行列式因子。（1）若rAr，则A的行列式因子恰有r个：12,,,rDDD.（2）初等变换不改变A的各级行列式因子，所以A与它的标准形B有相同的行列式因子。显然B的各级行列式因子为：1121212,,,rrDdDddDddd.所以A的行列式因子也满足依次整除关系：1iiDD，1,2,,1ir.（3）若A行列式因子已求出，则不必再做初等变换也可求出A的不变因子：211211,,,rrrDDdDddDD.（4）两种极端情况下求行列式因子的简易方法：若A有一个k级子式等于非零常数，则11kDD；若A有两个k级子式互素，则11kDD.3将A的各个不变因子在P上作标准分解，凡幂指数为正的因式（在多个不变因子中重复出现的要重复计算）都称为A的初等因子。A的所有初等因子编在一块称为A的初等因子组。初等因子组的求法有两种：（1）分解不变因子法。（2）先用初等变换将A化为1200rccCc（不一定是标准形），其中12,,,rccc均为首一多项式。再将它们在P上作标准分解，所有那些幂指数组为正的因式就构成A的初等因子组。4若已知A的秩r和初等因子组，则可按下列步骤确定A的不变因子：10将同底初等因子按升幂排成一个r元序列，不足r个时就在前面添上若于个1，使之构成r元序列；20将上述各序列的的同序号元素相乘就得到A的全部不变因子。三、数字方阵的特征矩阵数字方阵nnAC的特征矩阵EA是一个矩阵，我们称EA的三种因子为A的三种因子。1因为110nnnEAtrAA，所EA是满秩的，但不可逆，因为EA不等于非零常数。2A的行列式因子和不变因子（可能有些是1）的个数都是n，初等因子都是一元一次首一多项式的方幂，个数不超过n.3EA恰好等于它的各个不变因子的乘积，也是所有初等因子的乘积。4两个数字方阵,nnABP相似的充要条件是它们的特征矩阵等价或者说它们的三种因子对应相同。作业：消化346~360P的内容。第28、29讲四、数字矩阵的Jordan标准形1形如12sJJJJ，其中1,1,2,,1iiiiiinnJis.的n级准对角数字矩阵称为Jordan矩阵，其中iJ称为in级Jordan块。因为11iiiniiEJ有一个1in级子式等于11in是非零常数，而iniEJ的in级子式为ini，所以iniEJ的行列式因子为：111,iiinnniDDD；不变因子为：111,iiinnniddd；初等因子只有一个：ini.于是，经过初等变换可将iniEJ化为标准形：11iiiininnB（1）若还有一个in级矩阵iA也以ini为唯一的初等因子，即iniEA的初等因子只有ini，则iiniiniiiEABEJAJ.假定nnA的初等因子组为：11n，22n，，sns，其中12snnnn.则由上面的推理方法知：121122snnnsnsEJBEJBEJBEJ，所以J的初等因子组也是：11n，22n，，sns，AJ.Jordan定理复数域上的每个n级矩阵A都与一个Jordan矩阵J相似，这个J除了Jordan块的排列次序外是被A唯一确定的。例1求下列矩阵的Jordan标准形：（1）1115211762621A；（2）120020221B；（3）308316205C.解（1）21110015211717124062621221550EA22220010011005310010010221550100001.所以A的不变因子有：21231,1ddd；初等因子组为：21,0；Jordan标准形为：10100J.（2）120210020200221221EB1220010001200120011001.A的初等因子组为：1,2,1.Jordan标准形为：121J.（3）308205316316205308EC3322223220510001010001001.所以C的初等因子组为：1，21.Jordan标准形为：1111J.例2求下列矩阵的若尔当标准形：（1）1234012300120001B；（2）101abbaabCbbaabba.解（1）1234123121EB的3级子式中有两个是：311230121001M12223423412303121012012M20001041002.显然12,1MM（复数域上没有公共根的两多项式必互素），所以B的行列式因子为：1231DDD，441DEA；不变因子为：1231ddd，441d；初等因子只有一个：41.Jordan标准形为：1100011000110001J.（2）11abbaabECbaabba的右上角5级子式3Mb（非零常数），所以C的行列式因子中：151DD.下面计算6DEC：记6MEC，按第1,2行展开：落在这两行上的3个形式不为零的2级子式中，只有222ababababMba的余子式4M形式不为零，所以由拉普拉斯定理得1212624241MMMMM；同理又得422MMM.所以333662DMMabab.于是，C的不变因子为：331561,dddabab.初等因子组为：33,abab.Jordan标准形为：3311,11abababJdiagJabJabababab.五、Jordan标准形应用举例例1设A是n级方阵，若有自然数m使mAE，证明A可以对角化。证明设A的Jordan标准形为12sJJJJ，其中1,1,2,,1iiiiiinnJis.则存在可逆矩阵P使1JPAP，于是1112mmmmmsJJJPAPPEPEJ.所以iminJE，由此可以断定各个Jordan块都是1级的，从而A可对角化。否则，设有某个1in，则111111iiiiinmnmmimimimmiinmmiminnCCJEC（当lk时规定0lkC）.这就导致矛盾。口述：若2AE，则称A为对合矩阵，而对合矩阵可以对角化是我们过去证明过的。所以本题结论是过去结论的推广。例2证明：任一复方阵A都可以分解成AMN的形式，其中M为幂零矩阵（即存在自然数l使lMO），N是可对角化矩阵，且MNNM.证明设A的Jordan标准形为12sJJJJ，1,1,2,,1iiiiiinnJis.则存在可逆矩阵P使1JPAP.令010,10iiiiiiinnBC，1,2,,is.则1122ssBCBCJBCBC，其中1122,ssBCBCBCBC.令12max,,,slnnn，则lBO，于是11APJPPBCPMN，其中11,MPBPNPCP.11llMPBPPOPO；N与对角矩阵C相似。例5（日本京都大学）设n级方阵A在复数域上的全部特征值为12,,,n，10mmfxbxbxbCx，则10mmfAbAbAbE的全部特征值为：12,,,nfff.证明由Jordan定理，存在可逆矩阵T使112***nTAT（Jordan标准形）从而1110mmTfATTbAbAbET11110mmbTATbTATbTET1110mmbTATbTATbE112210****11**1mmmmnnbbb12***nfff