章末综合测评(二)-一元二次函数、方程和不等式

1章末综合测评(二)一元二次函数、方程和不等式(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系为()A．f(x)g(x)B．f(x)＝g(x)C．f(x)g(x)D．随x值变化而变化A[因为f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋10，所以f(x)g(x)．]2．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是()A．－n＜m＜n＜－mB．－n＜m＜－m＜nC．m＜－n＜－m＜nD．m＜－n＜n＜－mD[法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验，可知D正确．法二：m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．]3．对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中：①若ab，c≠0，则acbc；②若ab，则ac2bc2；③若ac2bc2，则ab；④若ab0，cd，则acbd.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4A[若ab，c0时，acbc，①错；②中，若c＝0，则有ac2＝bc2，②错；③正确；④中，只有cd0时，acbd，④错，故选A.]4．不等式|x|(1－2x)＞0的解集为()2A．(－∞，0)∪0，12B.－∞，12C.12，＋∞D.0，12A[当x≥0时，原不等式即为x(1－2x)＞0，所以0＜x＜12；当x＜0时，原不等式即为－x(1－2x)＞0，所以x＜0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪0，12，故选A.]5．已知2x＋2y＝1(x0，y0)，则x＋y的最小值为()A．1B．2C．4D．8D[∵x0，y0，∴x＋y＝(x＋y)·2x＋2y＝4＋2xy＋yx≥4＋4xy·yx＝8.当且仅当xy＝yx，即x＝y＝4时取等号．]6．已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为()A.x－1＜x＜12B.xx＜－1或x＞12C．{x|－2＜x＜1}D．{x|x＜－2或x＞1}A[由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根．由根与系数的关系得－1＋2＝－ba，－1×2＝2a⇒a＝－1，b＝1.∴不等式2x2＋bx＋a＜0，即2x2＋x－1＜0.解得－1＜x＜12.]7．设A＝ba＋ab，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是()A．A≥BB．ABC．ABD．A≤B3B[∵a，b都是正实数，且a≠b，∴A＝ba＋ab2ba·ab＝2，即A2，B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2＝－(x－2)2＋2≤2，即B≤2，∴AB.]8．不等式组－2x－310，x2＋7x＋12≤0的解集为()A．{x|－4≤x≤－3}B．{x|－4≤x≤－2}C．{x|－3≤x≤－2}D．∅A[－2x－310，x2＋7x＋12≤0⇒x－3－5，x＋3x＋4≤0⇒x－2，－4≤x≤－3⇒－4≤x≤－3.]9．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A．5km处B．4km处C．3km处D．2km处A[设车站到仓库距离为x，土地费用为y1，运输费用为y2，由题意得y1＝k1x，y2＝k2x，∵x＝10时，y1＝2，y2＝8，∴k1＝20，k2＝45，∴费用之和为y＝y1＋y2＝20x＋45x≥220x×45x＝8，当且仅当20x＝4x5，即x＝5时取等号．]10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc0，T＝1a＋1b＋1c，则()A．T0B．T0C．T＝0D．T≥0B[法一：取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，则T＝－320，排除A，C，D，可知选B.4法二：由a＋b＋c＝0，abc0，知三数中一正两负，不妨设a0，b0，c0，则T＝1a＋1b＋1c＝ab＋bc＋caabc＝ab＋cb＋aabc＝ab－c2abc.∵ab0，－c20，abc0，故T0.]11．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是{x|－4≤x≤3}的子集，则实数a的取值范围是()A．－4≤x≤1B．－4≤x≤3C．1≤x≤3D．－1≤x≤3B[原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a＜1时，不等式的解集为{x|a≤x≤1}，此时只要a≥－4即可，即－4≤a＜1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a＞1时，不等式的解集为{x|1≤x≤a}，此时只要a≤3即可，即1＜a≤3.综上可得－4≤a≤3.]12．已知x0，y0.若2yx＋8xym2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥4或m≤－2B．m≥2或m≤－4C．－2m4D．－4m2D[∵x0，y0，∴2yx＋8xy≥8当且仅当2yx＝8xy时取“＝”.若2yx＋8xym2＋2m恒成立，则m2＋2m8，解之得－4m2.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知不等式x2－ax－b0的解集为{x|2＜x＜3}，则不等式bx2－ax－10的解集为________．x－12＜x＜－13[方程x2－ax－b＝0的根为2,3.根据根与系数的关系得：a＝5，b＝－6.所以不等式为6x2＋5x＋10，解得解集为x－12＜x＜－13.]14．a，b∈R，a＜b和1a＜1b同时成立的条件是________．5a＜0＜b[若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，1b＞1a，即1a＜1b；若ab＞0，则1a＞1b.所以a＜b和1a＜1b同时成立的条件是a＜0＜b.]15．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是________．223[对于x2＋3xy－1＝0可得y＝13·1x－x，∴x＋y＝2x3＋13x≥229＝223(当且仅当x＝22时等号成立)．]16．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x%，八月份的销售额比七月份增加x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7000万元，则x的最小值为________．20[由题意得七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，所以一月份至十月份的销售总额为3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7000，解得1＋x%≤－115(舍去)或1＋x%≥65，即x%≥20%，所以xmin＝20.]三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知全集U＝R，A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|2≤x＜5}，C＝{x|x＞a}．(1)求A∩(∁UB)．(2)若A∪C＝C，求a的取值范围．[解](1)A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，且B＝{x|2≤x＜5}，U＝R，所以∁UB＝{x|x＜2或x≥5}，所以A∩(∁UB)＝{x|－1≤x＜2}．(2)由A∪C＝C，得A⊆C，又C＝{x|x＞a}，A＝{x|－1≤x≤3}，6所以a的取值范围是a＜－1.18．(本小题满分12分)若x，y为正实数，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．[解]由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴2y＋8x＝1.∵x、y为正实数，∴x＋y＝(x＋y)8x＋2y＝10＋8yx＋2xy＝10＋24yx＋xy≥10＋2×2×4yx·xy＝18，当且仅当4yx＝xy，即x＝2y时，取等号．又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6.∴当x＝12，y＝6时，x＋y取得最小值18.19．(本小题满分12分)已知ax2＋2ax＋1≥0恒成立．(1)求a的取值范围；(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a0.[解](1)因为ax2＋2ax＋1≥0，恒成立．①当a＝0时，1≥0恒成立；②当a≠0时，则a0，Δ＝4a2－4a≤0，解得0a≤1.综上，a的取值范围为0≤a≤1.(2)由x2－x－a2＋a0得，(x－a)[x－(1－a)]0.因为0≤a≤1，所以①当1－aa，即0≤a12时，ax1－a；②当1－a＝a，即a＝12时，x－1220，不等式无解；③当1－aa，即12a≤1时，71－axa.综上所述，当0≤a12时，解集为{x|a＜x＜1－a}；当a＝12时，解集为∅；当12a≤1时，解集为{x|1－a＜x＜a}．20．(本小题满分12分)某商品计划两次提价，有甲、乙、丙三种方案如下，其中p＞q＞0，方案第一次(提价)第二次(提价)甲p%q%乙q%p%丙12(p＋q)%12(p＋q)%经过两次提价后，哪种方案提价幅度大？[解]设商品原价为a，设按甲、乙、丙三种方案两次提价后价格分别为N甲、N乙、N丙，则N甲＝a(1＋p%)(1＋q%)，N乙＝a(1＋q%)(1＋p%)，N丙＝a1＋12p＋q%1＋12p＋q%＝a1＋p＋q2002.显然甲、乙两种方案最终价格是一致的，因此，只需比较a1＋p＋q2002与a(1＋p%)(1＋q%)的大小．N甲－N丙＝a1＋p100＋q100＋pq1002－1－p＋q100－p＋q22002＝a2002(2pq－p2－q2)＝－a2002(p－q)2＜0.∴N丙＞N甲，∴按丙方案提价比甲、乙方案提价幅度大．821．(本小题满分12分)已知函数y＝x2＋3x－a(x≠a，a为非零常数)．(1)解不等式x2＋3x－ax；(2)设xa时，y＝x2＋3x－a有最小值为6，求a的值．[解](1)∵y＝x2＋3y－a，x2＋3x－ax，整理得(ax＋3)(x－a)0.当a0时，x＋3a(x－a)0，∴解集为x－3axa；当a0时，x＋3a(x－a)0，解集为xx－3a或xa.(2)设t＝x－a，则x＝t＋a(t0)，∴y＝t2＋2at＋a2＋3t＝t＋a2＋3t＋2a≥2t·a2＋3t＋2a＝2a2＋3＋2a.当且仅当t＝a2＋3t，即t＝a2＋3时，等号成立，即y有最小值2a2＋3＋2a.依题意有2a2＋3＋2a＝6，解得a＝1.22．(本小题满分12分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝920vv2＋3v＋1600(v0)．9(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？[解](1)y＝920vv2＋3v＋1600＝920v＋1600v＋3≤9202v·1600v＋3＝92083≈11.08.当v＝1600v，即v＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时．(2)据题意有：920vv2＋3v＋1600≥10，化简得v2－89v＋1600≤0，即(v－25)(v－64)≤0，所以25≤v≤64.所以汽车的平均速度应控制在25≤v≤64这个范围内．