2-利息理论.

第二章利息理论1人们在生命期内都会面临生、老、病、死的风险，都需要通过商业保险和社会保险得到经济安全保障。但无论是商业人寿和年多保险，还是社会养老保险或企业年金，都有资金投资和利息问题，因而利息理论成为保险精算学的基础。学习要点利息的基本理论和计算确定年金的相关理论累积函数、利率、贴现率、年金现值与终值年金在债务偿还和债券价格计算中的应用2第一节利息基本理论利息在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值。资金周转使用的时间越长，实现的价值增值就越大。另一方面，受通货膨胀的影响，等额的货币在不同时间上的价值也不同。转让货币使用权就得到与放弃这个使用机会时期长短相应的报酬，利息正是借入资本需要支付的使用代价，或者是出让资本使用权应得的报酬。3资金在周转中实现价值何二从丁一处买一头猪，欠1000元张三从何二处买四条狗，欠1000元李四从张三处买一双皮鞋，欠1000元赵六从王五处买两套书，支付1000元王五从李四处买一套衣服，欠1000元王五立即还李四，李四立即还张三，张三立即还何二，何二立即还丁一，于是，仅用1000元，完成了5个1000元的交易，谁也不欠谁了。4货币的发明真是人类经济生活中的伟大事件！一、累积函数(一)总额函数本金：最初投资的滋生利息的款项。累积额：本金经过一段时期后形成的金额称为累积额，它是本金与利息之和，又称本利和。()()(0)ItAtA()(0)()AtAIt()At总额函数()It利息函数5累积函数是单位本金的经过t时期后的增值额函数，以表示:(二)累积函数)(ta)0()()(AtAta1)0(a)()0()(taAtA显然a(t)01ta(t)01ta(t)01t图2-1图2-2图2-3a(t)通常为t的连续函数，在坐标平面上表现为通过（0，1）点的曲线，如图2-1和图2-2所示a(t)为增函数时才能保证总额函数的递增性和存在正的利息。有时，当利息定期结算时，也表现为不连续的阶梯函数，在定期内，为常数，定期结算后，上一个台阶，如图2-3所示。67(三)利息率利息率1年内1单位本金的利息就是实际年利息率以表示第n个基本计息时间单位的实际利率()()(1)1(1)(1)nanAnAnianAnni)0()0()1(1)1(1AAAai8二、单利和复利单利：只在本金上生息设第t年实际利率it，1年末的累积额为:第2年末的累积额为:当各年利率均为i时，有itta1)()1)(0()0()0()1(11iAiAAA1212(2)(0)(1)(0)(0)(1)AAiAiAii)1)(0()(itAtA9复利：在本金和利息上生息设第t年实际利率it，1年末的累积额为:第2年末的累积额为:当各年利率均为i时，有)1)(0()0()0()1(11iAiAAA)1)(1)(0()1)(0()1)(0()2(21211iiAiiAiAAniAnA)1)(0()(tita)1()(例2.1某人1997年1月1日借款1000元，假设借款年利息为5%,试分别以单利和复利计算：（1）如果1999年1月1日还款，需要的还款总额为多少？（2）如果1997年5月20日还款，需要的还款总额为多少？（3）借款多长时间需要还款1200元？10（1）在单利下，还款总额为(2)(0)(12)1000(125%)1100AAi（元）在复利下，还款总额为22(2)(0)(1)1000(15%)1102.5AAi（元）（2）计自成息天数为139天。在单利下，还款总额为在复利下，还款总额为1391000(15%)1019.4365（元）1393651000(15%)1018.75（元）解：(3)设借款t年后需要还款1200元。在单利下，有12001000(15%)t解得t=4（年）在复利下，有12001000(15%)t解得3.74()t年例2.2以10000元本金进行5年投资，前2年的利率为5%，后3年的利率为6%，以单利和复利分别计算5年后的累积资金。解：在复利下，有(5)10000(125%36%)12800()A元23(5)10000(15%)(16%)13130.95()A元在单利下，有13三、现值和贴现率我们把1单位元在t年前的值或者未来t年1单位元在现在的值称为t年的现值。贴现因子14现值和贴现率在单利下，1元的t年现值为,当年利率相等时，为1211tiii11it单利下的现值与累积值15现值和贴现率在复利下，1元的t年现值为,当年利率相同时，为，即121(1)(1)(1)tiii1(1)ti.tv复利下的现值与累积值16贴现额：如果将应在未来某时期支付的金额提前到现在支付，则支付额中应扣除一部分金额，这个扣除额称为贴现额。它相当于资金投资在期初的预付利息。贴现和利息的区别：区别于分析的出发点不同，利息是在本金基础上的增加额。贴现是在累积额基础上的减少额。1000元本金经过一年投资成为1100元，增加的100元是利息。反过来，在1100元的基础上减少100元成为一年前的价值1000元，其中减少的100元是贴现额。例贴现率：单位货币在单位时间内的贴现额，单位时间以年度衡量时，成为实际贴现率。dn表示第n年贴现率:d表示一年的贴现率:iiiiaaAAAd1111)1(1)1()1()0()1()()1()()()1()(nanananAnAnAdn171000元本金经过一年投资成为1100元，增加的100元是利息。反过来，在1100元的基础上减少100元成为一年前的价值1000元，其中减少的100元是贴现额。如上例利息率=利息100元与本金1000元之比=10%贴现率=贴现额100元与累积额11000元之比=9.1%1819利率和贴现率的关系iiiiiaad111)1()1(1)1(iiid11111ddi1可见，di20（用贴现率表示）复利下的现值与累积值（用利率表示）利率和贴现率都表示投资金额的时间价值21在直角坐标系上，1元加上其在一年产生的利息i正是累积函数在一年后的值；1元减去其在一年的预付利息（即贴现值d），正是累积函数在一年前的值。例2.3计算1998年1月1日1000元在复利贴现率5%下1995年1月1日的现值及利息率。22解:（2）年利息率为31000(10.05)857.38()元0.050.05310.95did(1)1995年1月1日的现值为例2.41998年8月1日某投资资金的价值为14000元，计算：（1）在年利率为6%时，以复利计息，这笔资金在1996年8月1日的现值。（2）在复利贴现率为6%时，这笔资金在1996年8月1日的现值。解：2(1)140001.0612459.95()元2(2)14000(10.06)12370.4()元24四、名义利率与名义贴现率利息可以按年结算、也可以按半年、季和月结算。在单利下，计息时间单位不影响利息额：ti在复利下，年利率不变，但结算时间单位不同，也会使实际利息值不同。例如，1元本金，半年结算一次，年利率10%，则年末累积额为21.05元，1年的利息额为0.1025，1年结算的实际利率为10.25%25名义利率:一年结算多次的规定的年利率。如上例中的名义年利率为10%。以表示名义利率，m表示结算次数，1年的实际利率为i,则有)(mimmmii]1[1)(由于复利计算期与基本的时间单位不一致，就产生了利息率的名不副实。()[1]1mmiim1()m[(1)1]mmiim1234612∞0.060000.059130.058840.058700.058550.058410.05827()mimmmii]1[1)(由得是m的递减函数，当i=6%时，一年不同结算次数的名义利率如下表()mi2627名义贴现率:一年结算多次的规定的年贴现率。以表示，m表示结算次数，()mdmmmdd]1[1)(()1[1]mmddm名义贴现率和利率、名义利率的关系1,1,11iddii由有故1()()11(1)1mmmiidmm1()[1(1)]mmdmi()()()1mmmidim()()111mmdmi28m1234612∞0.056600.057430.057710.057850.057990.058130.05827是m的递增函数，当i=6%时，一年不同结算次数的名义年贴现率()md()md(),mmdi（）若m为无穷，有这是巧合，还是必然？i=6%时,1()[1(1)]mmdmi问题例2.5某人以每月3%的利率从银行贷款1000元，那么在复利计息下，3年后他欠银行多少钱？30解：3%日月结利率，3年后的累积欠额可以直接按36年月的复利计算，所以3610001.032898.28()元例2.6（1）求每月结算的年利率为12%的实际利率。（2）求每季结算的年贴现率为10%的实际贴现率。（3）求相当于每月结算的年利率为12%的半年结算的贴现率。解：()1212%(1)1(1)112.68%12mmiim(1)实际利率为()410%1(1)1(1)9.63%4mmddm(2)实际贴现率为1(3)(1)1,id由有()()(1)(1)mnmnidmn(2)12212%(1)(1)122d(2)612%2[1(1)]11.59%12d例2.7某人从银行借款4000元，这笔借款的利息每年结算4次，年利率为16%。那么，他在借款21个月后欠银行的款为多少？解：每3个月结算一次，每次结算利息率为16%/4=4%，21个月结算7次，所以74000(14%)5263.73()元33五、利息力利息力：衡量确切时点上利率水平的指标。()limmmi1ei，故，1.1+ei对于名义利率，当结算次数m趋于无穷大时便可以表示确切时点上的利率水平。()mi1lim[1]1]mmmi10(1)(1+)lim1mmiim0(1+)|xxdidx0(1+)ln(1)|xxiiln(1)i定义利息力δ为，利息力与累积函数的关系(1+)ln(1)(1+)ttiidtidtln(1)i(1+)(1+)ttdiidt()()datatdt0()trdr将上式两边积分，有0()()tardrar0()()tdarar0ln(())|tarln(())at()()atat所以，有0()()trdrate0tdrete34()limmmi1ei，1.1+eiln(1)i0()()trdratete例2.8某人在1998年7月22日贷款4000元，如果利息率是14%，在复利下，试求解以下问题：（1）贷款在2003年7月22日的价值。（2）年利率i。（3）名义利率。(12)i解：1ei，（1）54000(1)i54000()e0.74000e8055.010.14(2)110.15027iee(12)120.14(1)1,12iie(3)由1(12)0.1412()12120.14082ie得35六、利息问题求解举例例2.9某人以每半年结算一次的年利率6%借款50000元，两年后他还了30000元，又过了3年他再还20000元，求7年后的欠款额为多少。解：设他在7年后的欠款额为X，有14104500001.03300001.03200001.03X12801.8250000020000300001234567X36例2.10某