22平面向量的加法

知识回顾1.向量与数量有何区别?2.怎样来表示向量向量?3.什么叫相等向量向量?数量只有大小没有方向,如:长度,质量,面积等向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等1)用有向线段来表示,线段的长度表示线段的大小，箭头所指方向表示向量的方向。AB2）用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.如aAB,长度相等,方向相同的向量相等.(正因为如此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的大小和方向的前提下,移到任何位置.)规定：零向量与任一向量平行;记作:0//a如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线.平行向量:方向相同或相反的非零向量叫平行向量.表示为：//ab4.什么叫平行(共线)向量?两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的.我们希望两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则.上海香港台北引入1：由于大陆和台湾没有直航，因此要到台北，乘飞机要先从上海到香港，再从香港到台北，则飞机的位移是多少?上海香港台北OAB飞机从上海到香港，再从香港到台北，两次位移的结果与飞机直接从上海到台北的位移显然是相同的，物理中把后一次位移称为前两次位移的和类似地，我们可以获得向量的加法运算，OA+AB=OB向量加法的三角形法则：abbaabCAB,,,,abAABaBCbACabababABBCAC、内点，则与，记则这称为已知非零向量在平面任取一作向量叫做的和作即种求向量和向量加法的三角方法，形法的。首尾连首尾相接作法（1）在平面内任取一点A,,abab+已知向量求作向量.,)2(bBCaAB作baAC则位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型尝试练习一：ACABCDE_____ABBC_____BCCD_____ABBCCDBDAD（1）根据图示填空：_____ABBCCDDEAE例1.如图，已知向量，求作向量。,ababab则OBabOABaba三角形法则作法1：在平面内任取一点O，作，，OAaABbb例题讲解：思考1：如图，当在数轴上两个向量共线时，加法的三角形法则是否还适用？如何作出两个向量的和？abab（1）（2）||||||ababab若，方向相同，则ABCBCAabab00aaa规定：||||||||||abababba若，方向相反，则（或）当向量不共线时，和向量的长度与向量的长度和之间的大小关系如何？ab、||abab、||||ababab三角形的两边之和大于第三边||||||ababab当向量、不共线时有综合以上探究我们可得结论：||||||ababOFEGEGABEOCF1F2FGOCF1F2F为F1与F2的合力引入2：图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度EO。图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO从力学的观点分析，力F与F1、F2之间的关系如何？abABC作法（1）在平面内任取一点OOAaOBb==(2)作,OCab作=+(3)向量加法的平行四边形法则这种作法叫做向量加法的平行四边形法则力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型O,OabOACBOOCaabbabOAOBOC点为点两个为邻边则为点对线与这平行四边则称为以同一起的已知向量、作,以起的角就是的和即向量加法的种求向量和的方法，形法。起点相同例1.如图，已知向量，求作向量。,ababab则OBabOABaba三角形法则作法1：在平面内任取一点O，作，，OAaABbb例题讲解：例1.如图，已知向量，求作向量。,abababO例题讲解：作法2：在平面内任取一点O，作，，OAaOBbOAOB、以为邻边作OACB，.OCOAOBab连结OC，则abbaBCA平行四边形法则尝试练习二：(3)已知向量，用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出ab、ab①②abbbaBCDAa+b+ca+bb+cabcBCDAbabaa+b数的加法满足交换律与结合律,即对任意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)任意向量a,b的加法是否也满足交换律与结合律?abba()().abcabc例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。23ADBC,ADABADABABCDAC图，，，、为邻边则实际.解：（1）如所示表示船速表示水速以作表示船航行的速度例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。23(2)||2,||23RtABCABBC解：在中，2222||||||2(23)4ACABBC23tan32CAB60.CAB答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º。ADBCABCDEFO1(2)(3)OABCDEFOAOCBCFEOAFE例1：已知为正六边形的中心，作出下列向量（）;1OBOCOA）解：（;2ADFEBC）（.03FEOA）（补充练习例2:求向量之和.AB+DF+CD+BC+FA解:∵=AB+BC+CD+DF+FA=AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA=0AB+DF+CD+BC+FA∴AB+DF+CD+BC+FA=0)4()3()2()1(edcdbadcba１.化简________)1(BCCDAB________)2(CBACBNMA________)3(DCCABDAB２.根据图示填空abcdefgABDECcfgfADMN0巩固练习:课堂小结：向量加法的定义向量加法的运算律三角形法则平行四边形法则向量加法的运算)+=+++=++abba(ab)ca(bc1、向量加法的三角形法则baOaaaaaaaabbbbbbbBbaAa+b温故知新首尾相接，连首尾baAaaaaaaaabbbBbaDaCba+b2、向量加法的平行四边形法则起点相同连对角3、向量加法的交换律：4、向量加法的交换律：)()(cbacba.abba探究向量是否有减法?如何理解向量的减法?我们知道,减去一个数等于加上这个数的相反数，如:5-1=5+(-1)向量的减法是否也有类似的法则：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量？一、相反向量a定义：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作：aa结论：（1）)(a（2）零向量的相反向量仍是零向量,aaaa)()()3(（4）如果是a,b互为相反的向量，那么baba,,00a0ba0a  a在计算中常用,BAAB二、向量减法：定义：)(baba即：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。把也叫做与的差。与的差也是一个向量。baabab三、向量减法的作图方法：呢？如何作出根据减法的定义，已知baba,,abBACab设,ABbACaDEb()AEab又bBCa所以BCabababab不借助向量的加法法则你能直接作出吗？ab,,,abab已知根据减法的定义如何作出呢？你能利用我们学过的向量的加法法则作出吗？()ab:ab的作图方法四、向量减法的几何意义:abaOAbBab①将两向量平移,使它们有相同的起点.②连接两向量的终点.③箭头的方向是指向“被减数”的终点.baab减向量的终点被减向量的终，这就是向量点减表示从指向的向量法的几何意义.abba表示与的和等于也可理解为：的向量.“共起点，连终点，指向被减向量”abab、线则应样：若向量共，怎作出呢？思考abab（1）（2）OABABOabab||||||||||||||||ababababababba若，方向相反，若，方向相同，（或）||||||||||任意向量，，有||abababab||||||||||任意向量，，有||abababab||||||||||任意向量，，有||abababab1.,,,,,.abcdabcd例已知向量求作向量ababccddABCDO.,,,.2.,,,,.1:为所求则作作在平面上任取点作法dcDCbaBADCBAdODcOCbOBaOAO练习,,.abab如图，已知求作abaaabbb（1）（2）（3）（4）abababABoABoABoABBAOAOBaboabab例2：选择题：()()()()ABACDBAADBACCCDDDC（2）()()()()ABBCADAADBCDCDBDDC（1）DCDBACbabADaABABCD,,,,,.3表示向量用已知平行四边形例abABCD解：有向量加法的平行四边形法则，得ACab;由向量的减法可得，.DBABADababABCD变式训练一：当a,b满足什么条件时，a+b与ab垂直？_____________||||ab变式训练二：当a,b满足什么条件时，|a+b|=|ab|？_____________________ab和互相垂直baba练习1_____;______;______;______;______.ABADBABCBCBAODOAOAOB填空：DBBAADACCABAAB重要提示你能将减法运算转化为加法运算吗？(一)知识1．理解相反向量的概念2.理解向量减法的定义，3.正确熟练地掌握向量减法的三角形法则小结:(二)重点重点：向量减法的定义、向量减法的三角形法则“共起点，连终点，指向被减向量”练习:2CDBDACAB化简)1(:0CBBDCDCDCD解原式COBOOCOA化简)2(:()()()0OABOOCCOOAOBBA解原式3、判断下列命题是否正确，若不正确，说明理由01BAAB、OBOAAB、23、相反向量就是方向相反的量4、若，则A、B、C三点是一个三角形的定点0CABCABaa05、（）（）（）（）（）6、两个向量是互为相反向量，则两个向量共线（）√√练习._____BC,5AC,8AB的取值范围是则若13BC3ABACABACABAC,ABACBC解：,,120||||3||||oABaADbDABababab如图已知向量练习3:，，且，求和120oabADBCO`|ba||DB||ba||AC|baDBbaAC3|AB||AD|ABCDADAB，故，由向量的加减法知，故此四边形为菱形由于，为邻边作平行四边形、解：以120oabADBCO`333||||sin60322oAODODAD由于菱形对角线互相垂直平分,所以是直角三角形，33|ba|3|ba|，所以3|AC|ADC60DAC120DABOO是正三角形，则所以，所以因为