根式课件

第二章2.12.1.1第一课时根式2突破常考题型题型一1理解教材新知知识点一知识点二题型二题型三3跨越高分障碍4应用落实体验随堂即时演练课时达标检测2．1.1指数与指数幂的运算第一课时根式2.1指数函数根式[提出问题](1)若x2＝9，则x是9的平方根，且x＝±3；(2)若x3＝64，则x是64的立方根，且x＝4；(3)若x4＝81，则x是81的4次方根，且x＝±3；(4)若x5＝－32，则x是－32的5次方根，且x＝－2.问题1：观察(1)(3)，你认为正数的偶次方根都是两个吗？提示：是．问题2：一个数的奇次方根有几个？提示：1个．问题3：由于22＝4，小明说，2是4的平方根；小李说，4的平方根是2，你认为谁说的正确？提示：小明．[导入新知]根式及相关概念(1)a的n次方根定义：如果，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*.xn＝a(2)a的n次方根的表示：n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数naRn为偶数±na[0，＋∞)(3)根式：式子na叫做根式，这里n叫做，a叫做．根指数被开方数[化解疑难]根式记号的注意点(1)根式的概念中要求n1，且n∈N*.(2)当n为大于1的奇数时，a的n次方根表示为na(a∈R)；当n为大于1的偶数时，na(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是－na，从而±nan＝a.根式的性质[提出问题]问题1：323，3－23，424分别等于多少？提示：2，－2,2.问题2：3－23，323，4－24，424分别等于多少？提示：－2,2,2,2.问题3：等式a2＝a及(a)2＝a恒成立吗？提示：当a≥0时，两式恒成立；当a0时，a2＝－a，(a)2无意义．[导入新知]根式的性质(1)(na)n＝(n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n1)．(2)nan＝n为奇数，且n1，n为偶数，且n1.(3)n0＝.(4)负数没有方根．a|a|a0偶次[化解疑难](na)n与nan的区别(1)当n为奇数，且a∈R时，有nan＝(na)n＝a；(2)当n为偶数，且a≥0时，有nan＝(na)n＝a.根式的概念[例1](1)下列说法：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时才有意义．其中说法正确的序号为________．(2)若31a－3有意义，则实数a的取值范围是________．[解析](1)①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④.(2)要使31a－3有意义，则a－3≠0，即a≠3.∴a的取值范围是{a|a≠3}．[答案](1)③④(2){a|a≠3}[类题通法]判断关于n次方根的结论应关注两点(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．[活学活用]已知m10＝2，则m等于()A.102B．－102C.210D．±102解析：∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±102.答案：D[例2]化简：(1)nx－πn(xπ，n∈N*)；(2)4a2－4a＋1a≤12.利用根式的性质化简求值[解](1)∵xπ，∴x－π0，当n为偶数时，nx－πn＝|x－π|＝π－x；当n为奇数时，nx－πn＝x－π.综上，nx－πn＝π－x，n为偶数，n∈N*，x－π，n为奇数，n∈N*.(2)∵a≤12，∴1－2a≥0.∴4a2－4a＋1＝2a－12＝|2a－1|＝1－2a.[类题通法]根式化简应注意的问题(1)nan已暗含了na有意义，据n的奇偶性不同可知a的取值范围．(2)nan中的a可以是全体实数，nan的值取决于n的奇偶性．[活学活用]求下列各式的值：(1)8x－28；(2)3－22＋(31－2)3.解：(1)8x－28＝|x－2|＝x－2，x≥2，2－x，x2.(2)因为3－22＝12－22＋(2)2＝(2－1)2，所以3－22＋(31－2)3＝2－12＋1－2＝2－1＋1－2＝0.条件根式的化简[例3](1)若xy≠0，则使4x2y2＝－2xy成立的条件可能是()A．x0，y0B．x0，y0C．x≥0，y≥0D．x0，y0(2)设－3x3，求x2－2x＋1－x2＋6x＋9的值．(1)[解析]∵4x2y2＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0.又∵xy≠0，∴xy0，故选B.[答案]B(2)[解]原式＝x－12－x＋32＝|x－1|－|x＋3|.∵－3x3，∴当－3x1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2.当1≤x3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.∴原式＝－2x－2－3x1，－41≤x＜3.[类题通法]有条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．[活学活用]若nm0，则m2＋2mn＋n2－m2－2mn＋n2等于()A．2mB．2nC．－2mD．－2n解析：原式＝m＋n2－m－n2＝|m＋n|－|m－n|，∵nm0，∴m＋n0，m－n0，∴原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m.答案：C[典例]化简31＋23＋41－24＝________.5.忽略n的范围导致式子nana∈R化简出错[解析]31＋23＋41－24＝(1＋2)＋|1－2|＝1＋2＋2－1＝22.[答案]22[易错防范]1．本题易忽视41－240，而误认为41－24＝1－2而导致解题错误．2．对于根式nan的化简一定要注意n为正奇数还是正偶数，因为nan＝a(a∈R)成立的条件是n为正奇数，如果n为正偶数，那么nan＝|a|.[活学活用]当a，b∈R时，下列各式恒成立的是()A．(4a－4b)4＝a－bB．(4a＋b)4＝a＋bC.4a4－4b4＝a－bD.4a＋b4＝a＋b解析：当且仅当a＝b≥0时，(4a－4b)4＝a－b；当且仅当a≥0，b≥0时，4a4－4b4＝a－b；当且仅当a＋b≥0时，4a＋b4＝a＋b.由于a，b符号未知，因此选项A，C，D均不一定恒成立．选项B中，由4a＋b可知a＋b≥0，所以(4a＋b)4＝a＋b.故选B.答案：B[随堂即时演练]1．化简1－2x2x12的结果是()A．1－2xB．0C．2x－1D．(1－2x)2解析：∵1－2x2＝|1－2x|，x12，∴1－2x0，∴1－2x2＝2x－1.答案：C2．下列式子中成立的是()A．a－a＝－a3B．a－a＝－a3C．a－a＝－－a3D．a－a＝a3解析：要使a－a有意义，则a≤0，故a－a＝－(－a)－a＝－－a2－a＝－－a3，故选C.答案：C3．若x3，则x2－6x＋9－|2－x|＝________.解析：x2－6x＋9－|2－x|＝x－32－|2－x|＝|x－3|－|2－x|＝x－3－(x－2)＝－1.答案：－14．化简(a－1)2＋1－a2＋31－a3＝________.解析：由根式a－1有意义可得a－1≥0，即a≥1，∴原式＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1.答案：a－15．已知ab0，n1，n∈N*，化简na－bn＋na＋bn.解：∵ab0，∴a－b0，a＋b0.当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a.∴na－bn＋na＋bn＝2a，n为奇数，－2a，n为偶数.“课时达标检测”见“课时跟踪检测（十二）”