概率论与数理统计古典概型

一、等可能概型二、典型例题三、几何概率四、小结第四节等可能概型(古典概型)..)2(;)1(古典概型验称为等可能概型或具有以上两个特点的试生的可能性相同试验中每个基本事件发有限个元素试验的样本空间只包含1.定义一、等可能概型(古典概型)设试验E的样本空间由n个样本点构成，A为E的任意一个事件，且包含m个样本点，则事件A出现的概率记为:2.古典概型中事件概率的计算公式.)(样本点总数所包含样本点的个数AnmAP称此为概率的古典定义.3.古典概型的基本模型:摸球模型(1)无放回地摸球问题1设袋中有4只白球和2只黑球,现从袋中无放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率.解},2{只球都是白球摸得设A基本事件总数为,26A所包含基本事件的个数为,242624)(AP故.52(2)有放回地摸球问题2设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球的概率.解}3,2{次摸到红球第次摸到黑球前设A第1次摸球10种第2次摸球10种第3次摸球10种6种第1次摸到黑球6种第2次摸到黑球4种第3次摸到红球基本事件总数为,101010103A所包含基本事件的个数为,466310466)(AP故.144.0课堂练习1o电话号码问题在7位数的电话号码中,第一位不能为0，求数字0出现3次的概率.2o骰子问题掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的概率.)109913619:(633p答案)63:(3p答案4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量无限问题1把4个球放到3个杯子中去,求第1、2个杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可放任意多个球.33334个球放到3个杯子的所有放法,333334种个2种24个2种22因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为432224p.272(2)每个杯子只能放一个球问题2把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能放一个球,求第1至第4个杯子各放一个球的概率.解第1至第4个杯子各放一个球的概率为41044ppp789101234.21012o生日问题某班有20个学生都是同一年出生的,求有10个学生生日是1月1日,另外10个学生生日是12月31日的概率.)92:(答案)36510101020:(20p答案课堂练习1o分房问题将张三、李四、王五3人等可能地分配到3间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.解}.,,,,,,,{TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS则}.,,{1TTHTHTHTTA而.83)(1AP得}.,,,,,,{)2(2TTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHA.87)(2AP因此).(,)2().(,)1(.2211APAAPA求次出现正面”“至少有一为设事件求”次出现正面为“恰有一设事件将一枚硬币抛掷三次.,)1(为出现反面为出现正面设TH二、典型例题1例在N件产品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法共有,种knDNkD于是所求的概率为.nNknDNkDp解在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有,种nN?)(,,,件次品的概率是多少问其中恰有件今从中任取件次品其中有件产品设有DkknDN2例例3在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?设A为事件“取到的数能被6整除”,B为事件“取到的数能被8整除”，则所求概率为).(BAP)()(BAPBAP)(1BAP)}.()()({1ABPBPAP解,33462000333因为,2000333)(AP所以,8424200083由于.200083)(ABP得于是所求概率为)(BAP200083200025020003331)}()()({1ABPBPAP.43.2000250)(BP故得,25082000由于例4将15名新生随机地平均分配到三个班级中去,这15名新生中有3名是优秀生.问(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3名优秀生分配在同一个班级的概率是多少?解15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:55510515.!5!5!5!15(1)每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有.)!4!4!4()!12!3(种因此所求概率为!5!5!5!15!4!4!4!12!31p.9125(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种,对于每一种分法,其余12名新生的分法有.!5!5!2!12种因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有,)!5!5!2()!123(种因此所求概率为!5!5!5!15!5!5!2!1232p.916例5某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的.假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日.712种12341277777故一周内接待12次来访共有.212种121272p.3000000.0小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从而可知接待时间是有规定的.周一周二周三周四周五周六周日周二周四1234122222212次接待都是在周二和周四进行的共有故12次接待都是在周二和周四进行的概率为例6假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64个人中至少有2人生日相同的概率.64个人生日各不相同的概率为.365)164365(364365641p故64个人中至少有2人生日相同的概率为64365)164365(3643651p.997.0解率为概他们的生日各不相同的个人随机选取,)365(n.365)1365(364365nnp日相同的概率为个人中至少有两个人生而n.365)1365(3643651nnp说明我们利用软件包进行数值计算.定义当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量(长度、面积、体积)相同的子区域是等可能的，则事件A的概率可定义为.)(SSAPA说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概型.三、几何概型..),(几何概型定的概率称为量来合理规这样借助于几何上的度区域的度量的子是构成事件是样本空间的度量其中ASSA那么.0,0TyTx两人会面的充要条件为,tyx例7甲、乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间t(tT)后离去.设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.会面问题解,,时刻的分别为甲、乙两人到达设yx故所求的概率为正方形面积阴影部分面积p222)(TtTT.)1(12Ttxoytxytyx若以x,y表示平面上点的坐标,则有tTT最简单的随机现象古典概型古典概率样本点总数所包含样本点的个数AnmAP)(几何概型试验结果连续无穷四、小结