对数函数及其性质的应用-课件

•第2课时对数函数及其性质的应用自主学习新知突破•1．对数函数的定义•一般地，我们把函数_____________(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．y＝logax•2．对数函数的图象与性质定义y＝logax(a0，且a≠1)底数a10a1图象定义域____________值域_____(0，＋∞)R定义y＝logax(a0，且a≠1)单调性在___________上是增函数在___________上是减函数共点性图象过点_________，即loga1＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈______________；x∈[1，＋∞)时，y∈______________x∈(0,1)时，y∈_____________；x∈[1，＋∞)时，y∈_____________对称性函数y＝logax与y＝log1ax的图象关于_______对称(0，＋∞)(0，＋∞)(1,0)(－∞，0)[0，＋∞)(0，＋∞)(－∞，0]x轴•3.反函数•对数函数y＝logax(a0，且a≠1)和指数函数__________互为反函数．y＝ax•1．会利用对数函数的单调性比较两个对数的大小或解对数不等式．•2．会求与对数函数有关的函数的最大(小)值或值域．•3．能综合应用对数函数的图象和性质解决有关问题．1．设a＝log132，b＝log1213，c＝120.3，则()A．acbB．abcC．bcaD．bac解析：∵log132log131＝0，log1213log1212＝1，0120.3120＝1，∴acb，故选A.答案：A2．若loga341(a0，且a≠1)，则实数a的取值范围是()A.0，34B.0，34∪(1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0,1)解析：当a1时，loga3401，成立．当0a1时，y＝logax为减函数．由loga341＝logaa，得0a34.综上所述，0a34或a1.答案：B•3．函数f(x)＝log3(4x－x2)的递增区间是________．•解析：由4x－x20得0x4，•函数y＝log3(4x－x2)的定义域为(0,4)．•令u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，•当x∈(0,2]时，u＝4x－x2是增函数，•当x∈(2,4)时，u＝4x－x2是减函数．•又∵y＝log3u是增函数，•∴函数y＝log3(4x－x2)的增区间为(0,2]．•答案：(0,2]•4．已知函数f(x)＝loga(3＋2x)，g(x)＝loga(3－2x)(a0，且a≠1)．•(1)求函数f(x)－g(x)的定义域；•(2)判断函数f(x)－g(x)的奇偶性，并予以证明；•(3)求使f(x)－g(x)0的x的取值范围．解析：(1)要使函数f(x)－g(x)有意义，必须有3＋2x0，3－2x0，解得－32x32.所以函数f(x)－g(x)的定义域是x－32x32.(2)由(1)知函数f(x)－g(x)的定义域关于原点对称．f(－x)－g(－x)＝loga(3－2x)－loga(3＋2x)＝－[loga(3＋2x)－loga(3－2x)]＝－[f(x)－g(x)]，∴函数f(x)－g(x)是奇函数．(3)f(x)－g(x)0，即loga(3＋2x)loga(3－2x)．当a1时，有3＋2x3－2x，3－2x0，3＋2x0，解得x的取值范围是0，32.当0a1时，有3＋2x3－2x，3－2x0，3＋2x0，解得x的取值范围是－32，0.综上所述：当a1时x的取值范围是0，32，当0a1时x的取值范围是－32，0.合作探究课堂互动•对数函数单调性的应用比较下列各组对数值的大小：(1)log151.6，log152.9；(2)log21.7，log23.5；(3)log123与log153；(4)log130.3与log20.8.•[思路探究]•1．同底数的两个对数如何比较大小？•2．真数相同的两个对数比较大小可以用什么方法？•3．不同底数不同真数的两个对数比较大小可以选取什么数作为中间量？[边听边记](1)∵y＝log15x在(0，＋∞)上单调递减，1.62.9，∴log151.6log152.9.(2)∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，而1.73.5，∴log21.7log23.5.(3)借助y＝log12x及y＝log15x的图象，如图所示．在(1，＋∞)上，前者在后者的下方，∴log123log153.(4)由对数函数性质知，log130.30，log20.80，∴log130.3log20.8.•比较对数值大小时常用的三种方法1．(1)下列大小关系正确的是()A．0.4330.4log40.3B．0.43log40.330.4C．log40.30.4330.4D．log40.330.40.43(2)比较下列各组值的大小．①log534与log543；②log132与log152；③log23与log54.解析：(1)00.431,30.41，log40.30，故选C.(2)①方法一：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数．而3443，∴log534log543.方法二：∵log5340，log5430，∴log534log543.②由于log132＝1log213，log152＝1log215.又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且1315，∴0log213log215，∴1log2131log215，∴log132log152.③取中间值1，∵log23log22＝1＝log55log54，∴log23log54.答案：(1)C•(1)已知log0.72xlog0.7(x－1)，则x的取值范围为________；•(2)已知loga(x－1)≥loga(3－x)(a0，且a≠1)，求x的取值范围．•解对数不等式•[思路探究]•解对数不等式的依据是什么？对数的底数含有字母时，解对数不等式要注意什么?解析：(1)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，∴由log0.72xlog0.7(x－1)得2x0，x－10，2xx－1，解得x1，即x的取值范围是(1，＋∞)．(2)loga(x－1)≥loga(3－x)，当a1时，有x－10，3－x0，x－1≥3－x，解得2≤x3.当0a1时，有x－10，3－x0，x－1≤3－x，解得1x≤2.综上可得，当a1时，不等式f(x)≥g(x)中x的取值范围为[2,3)；当0a1时，不等式f(x)≥g(x)中x的取值范围为(1,2]．答案：(1)(1，＋∞)•两类对数不等式的解法•(1)形如logaf(x)logag(x)的不等式．•①当0a1时，可转化为f(x)g(x)0；•②当a1时，可转化为0f(x)g(x)．•(2)形如logaf(x)b的不等式可变形为logaf(x)b＝logaab.•①当0a1时，可转化为f(x)ab；•②当a1时，可转化为0f(x)ab.2．(1)若loga251，则a的取值范围为________．(2)满足不等式log3x1的x的取值集合为________．(3)根据下列各式，确定实数a的取值范围：①log1.5(2a)log1.5(a－1)；②log0.5(a＋1)log0.5(3－a)．解析：(1)loga251，即loga25logaa，当a1时，函数y＝logax在定义域内是增函数，所以loga25logaa，总成立；当0a1时，函数y＝logax在定义域内是减函数，由loga25logaa，得a25，即0a25.故0a25或a1.(2)因为log3x1＝log33，所以x满足的条件为x0，log3xlog33，即0x3.所以x的取值集合为{x|0x3}．(3)①函数y＝log1.5x在(0，＋∞)上是增函数．因为log1.5(2a)log1.5(a－1)，所以2aa－1，a－10，解得a1，即实数a的取值范围是a1.②函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，因为log0.5(a＋1)log0.5(3－a)，所以a＋10，3－a0，a＋13－a，解得－1a1.即实数a的取值范围是－1a1.答案：(1)0a25或a1(2){x|0x3}•已知函数f(x)＝log2(1＋x2)．•求证：(1)函数f(x)是偶函数；•(2)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．•对数函数性质的综合应用•[思路探究]•如何证明函数的奇偶性与单调性?[规范解答](1)函数f(x)的定义域是R，f(－x)＝log2[1＋(－x)2]＝log2(1＋x2)＝f(x)，2分所以函数f(x)是偶函数.3分(2)设任意的x1，x2，且0x1x2，则f(x1)－f(x2)＝log2(1＋x21)－log2(1＋x22)＝log21＋x211＋x22，6分由于0x1x2，则0x21x22，7分则01＋x211＋x22，所以01＋x211＋x221.9分又函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，所以log21＋x211＋x220.所以f(x1)f(x2).11分所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数.12分•解决对数函数综合问题的方法•对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算．解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．3．已知函数f(x)＝logax＋1x－1(a0，且a≠1)，(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性．解析：(1)要使此函数有意义，则有x＋10，x－10或x＋10，x－10，解得x1或x－1，此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．(2)f(－x)＝loga－x＋1－x－1＝logax－1x＋1＝－logax＋1x－1＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．f(x)＝logax＋1x－1＝loga1＋2x－1，函数u＝1＋2x－1分别在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减，所以当a1时，f(x)＝logax＋1x－1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减；当0a1时，f(x)＝logax＋1x－1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增．•◎求y＝log2(x2－2x－3)的单调递增区间．•【错解】由y＝log2u在(0，＋∞)上单调递增，要求解y＝log2(x2－2x－3)的单调递增区间，只需求解u＝x2－2x－3＝(x－1)2－4的单调递增区间．•故y＝log2(x2－2x－3)在[1，＋∞)上单调递增．•【错因】忽略函数定义域，导致出错．•【正解】令x2－2x－30得x－1或x3，•故y＝log2(x2－2x－3)在(3，＋∞)上单调递增.