2017年高考真题——数学(理)(天津卷)含解析

1绝密★启用前本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：·如果事件A，B互斥，那么·如果事件A，B相互独立，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A)P(B)．·棱柱的体积公式V=Sh.·球的体积公式343VR.其中S表示棱柱的底面面积，其中R表示球的半径．h表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}ABCxxR，则()ABC（A）{2}（B）{1,2,4}（C）{1,2,4,6}（D）{|15}xxR【答案】B【解析】(){1246}[15]{124}ABC，，，，，，,选B.（2）设变量,xy满足约束条件20,220,0,3,xyxyxy则目标函数zxy的最大值为（A）23（B）1（C）32（D）3【答案】D【解析】目标函数为四边形ABCD及其内部，其中324(0,1),(0,3),(,3),(,)233ABCD，所以直线2zxy过点B时取最大值3，选D.（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】C【解析】依次为8N,7,6,2NNN，输出2N，选C.（4）设R，则“ππ||1212”是“1sin2”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A（5）已知双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点为F，离心率为2.若经过F和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A）22144xy（B）22188xy（C）22148xy（D）22184xy【答案】B【解析】由题意得224,14,22188xyabcabc，选B.（6）已知奇函数()fx在R上是增函数，()()gxxfx.若2(log5.1)ag，0.8(2)bg，(3)cg，则a，b，c的大小关系为（A）abc（B）cba（C）bac（D）bca【答案】C3（7）设函数()2sin()fxx，xR，其中0，||.若5()28f，()08f，且()fx的最小正周期大于2，则（A）23，12（B）23，12（C）13，24（D）13，24【答案】A【解析】由题意125282118kk，其中12,kkZ，所以2142(2)33kk，又22T，所以01，所以23，11212k，由得12，故选A．（8）已知函数23,1,()2,1.xxxfxxxx设aR，若关于x的不等式()||2xfxa在R上恒成立，则a的取值范围是（A）47[,2]16（B）4739[,]1616（C）[23,2]（D）39[23,]16【答案】A4所以232a，综上47216a．故选A．第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2．本卷共12小题，共110分。二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）已知aR，i为虚数单位，若i2ia为实数，则a的值为.【答案】2【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555aiaiiaaiaaiiii为实数，则20,25aa.（10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为.【答案】92【解析】设正方体边长为，则226183aa，外接球直径为344279233,πππ3382RaVR5（11）在极坐标系中，直线4cos()106与圆2sin的公共点的个数为___________.【答案】2【解析】直线为23210xy，圆为22(1)1xy，因为314d，所以有两个交点（12）若,abR，0ab，则4441abab的最小值为___________.【答案】【解析】442241414abababab，当且仅当21ab时取等号（13）在ABC△中，60A∠，3AB，2AC.若2BDDC，()AEACABR，且4ADAE，则的值为___________.【答案】311（14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】1080【解析】413454541080ACCA三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）在ABC△中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc.已知ab，5,6ac，3sin5B.（Ⅰ）求和sinA的值；（Ⅱ）求πsin(2)4A的值.【答案】(1)13b.(2)7226616.（本小题满分13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234.（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.【答案】(1)1312(2)1148【解析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.1111(0)(1)(1)(1)2344PX，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424PX，1111111111(2)(1)(1)(1)2342342344PX，1111(3)23424PX.所以，随机变量X的分布列为X0123P14112414124随机变量X的数学期望1111113()012342442412EX.（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)(0)(1)(1)(0)PYZPYZPYZPYPZPYPZ71111111142424448.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.（17）（本小题满分13分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，90BAC.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长.【答案】（1）证明见解析（2）10521（3）85或12（Ⅰ）证明：DE=（0，2，0），DB=（2，0，2）.设(,,)xyzn，为平面BDE的法向量，则00DEDBnn，即20220yxz.不妨设1z，可得(1,0,1)n.又MN=（1，2，1），可得0MNn.8所以，线段AH的长为或12.18.（本小题满分13分）已知{}na为等差数列，前n项和为()nSnN，{}nb是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312bb,3412baa，11411Sb.（Ⅰ）求{}na和{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}nnab的前n项和()nN.【答案】（1）32nan.2nnb.（2）1328433nnnT.【解析】（I）设等差数列{}na的公差为d，等比数列{}nb的公比为.9由262nan，12124nnb，有221(31)4nnnabn，故23245484(31)4nnTn，23414245484(34)4(31)4nnnTnn，上述两式相减，得231324343434(31)4nnnTn1112(14)4(31)414(32)48.nnnnn得1328433nnnT.所以，数列221{}nnab的前项和为1328433nn.（19）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12.已知A是抛物线22(0)ypxp的焦点，F到抛物线的准线的距离为12.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点P，Q关于轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与轴相交于点D.若APD△的面积为62，求直线AP的方程.【答案】（1）22413yx，24yx.（2）3630xy，或3630xy.10【解析】（Ⅰ）解：设F的坐标为(,0)c.依题意，12ca，2pa，12ac，解得1a，12c，2p，于是22234bac.所以，椭圆的方程为22413yx，抛物线的方程为24yx.所以，直线AP的方程为3630xy，或3630xy.（20）（本小题满分14分）设aZ，已知定义在R上的函数432()2336fxxxxxa在区间(1,2)内有一个零点0x，()gx为()fx的导函数.（Ⅰ）求()gx的单调区间；（Ⅱ）设00[1,)(,2]mxx，函数0()()()()hxgxmxfm，求证：0()()0hmhx；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数,pq，且00[1,)(,2],pxxq满足041||pxqAq.【答案】（1）增区间是(,1)，1(,)4，减区间是1(1,)4.（2）（3）证明见解析【解析】（Ⅰ）由432()2336fxxxxxa，可得32()()8966gxfxxxx，进而可得2()24186gxxx.令()0gx，解得1x，或14x.当x变化时，(),()gxgx的变化情况如下表：x(,1)1(1,)41(,)4()gx+-+11()gx↗↘↗所以，()gx的单调递增区间是(,1)，1(,)4，单调递减区间是1(1,)4.（Ⅱ）证明：由0()()()()hxgxmxfm，得0()()()()hmgmmxfm，000()()()()hxgxmxfm.（III）证明：对于任意的正整数p，，且00[1)(,],2pxxq，令pmq，函数0()()()()hgmxxxmf.由（II）知，当0[1),mx时，()hx在区间0(,)mx内有零点；当0(,2]mx时，()hx在区间0(),xm内有零点.所以041|2|()pxqgq.所以，只要取()2Ag，就有041||pxqAq.12