反比例函数中的数学思想

1/4反比例函数中的数学思想数学思想是对数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的一种本质认识。它是数学发现、发明的关键和动力，抓住数学思想方法，是提高解题能力的根本所在。在平时的学习过程中，如果能注意有意识地发现解题过程中的数学思想，并能加以归纳，则抓住了问题的本质，升华了思维，真正学到了数学方法。一、分类讨论思想例1.已知一次函数与反比例函数的图象交于点(3)(23)PmQ，，，．（1）求这两个函数的函数关系式；（2）在给定的直角坐标系（如图1）中，画出这两个函数的大致图象；（3）当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？当x为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？解：（1）设一次函数的关系式为ykxb，反比例函数的关系式为nyx，反比例函数的图象经过点(23)Q，，362nn，．所求反比例函数的关系式为6yx．将点(3)Pm，的坐标代入上式得2m，点P的坐标为(32)，．由于一次函数ykxb的图象过(32)P，和(23)Q，，3223.kbkb，解得11.kb，所求一次函数的关系式为1yx．O123456654321-1-2-3-4-5-6-1-2-3-4-5-6xyQ（2，-3）P（-3，2）图12/4（2）两个函数的大致图象如图．（3）由两个函数的图象可以看出．当3x和02x时，一次函数的值大于反比例函数的值．当30x和2x时，一次函数的值小于反比例函数的值．点评：分类讨论思想是解决函数类问题中常用的一种数学思想．分类要注意两点：（1）正确选择一个分类标准；（2）分类要科学，既不重复，又不遗漏．二、数形结合思想例2．利用图象解一元二次方程230xx时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线2yx和直线3yx，两图象交点的横坐标就是该方程的解．（1）填空：利用图象解一元二次方程230xx，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y和直线yx，其交点的横坐标就是该方程的解．（2）已知函数6yx的图象（如图2所示），利用图象求方程630xx的近似解（结果保留两个有效数字）．（6分）解：（1）32x；（2）画出直线3yx的图象．由图象得出方程的近似解为：图2yxO6yx3663-3-6-6-3图2yxO6yx3663-3-6-6-33/4121.44.4xx≈，≈．点评：本题体现了数形结合思想。数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合起来考虑，或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化．三、方程思想例3．已知一次函数y=ax＋b的图象与反比例函数4yx的图象交于A（2，2），B(－1，m)，求一次函数的解析式．解：因为B（－1，m）在4yx上，所以4m，所以点B的坐标为（－1，－4），又A、B两点在一次函数的图象上，所以42,222abaabb解得:＋，所以所求的一次函数为y=2x-2．评注：在解决函数问题时，从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化。要做到得心应手，就得善于挖掘隐含条件，具有方程的思想意识，在平时的学习，应该不断积累用方程思想解题的方法．四、转化思想例4.如图3，梯形AOBC的顶点A、C在反比例函数图象上，OA∥BC，上底边OA在直线y=x上，下底边BC交x轴于E（2，0），则四边形AOEC的面积为（）A．3B．3C．3-1D．3+1解析：过点C作CD⊥OE，垂足为D，由OA∥BC，A在直线y=x上，可知CD=ED=1，EC=2而OE=2，∴OD=3，则C（3，1）设反比例函数解析式为：kyx，则有k=3．∴3yx，设A（a,a）则有32a，∴A（3，3），于是有OA=6．过点E作EF⊥OA，则△OEF为等腰直角三角形，∴EF=2．∴由梯形面积公式可求四边形AOEC的面积为：1(62)22=3+1，故选D．图34/4评注：本题的主要是把已知条件中的点C的纵坐标，及OE的长，通过借助直线OA的解析式与OA和EC的平行关系，转化为梯形CAEO中的两底及高，从而求得梯形的面积．