成考专升本高等数学(二)重点及解析(精简版)

1高等数学（二）重点知识及解析（占80分左右）Ⅰ、函数、极限一、基本初等函数(又称简单函数)：（1）常值函数：yc=（2）幂函数：ayx=（3）指数函数：xya=(a〉0,1)a≠且（4）对数函数：logayx=(a〉0,1)a≠且（5）三角函数：sinyx=，cosyx=，tanyx=，cotyx=（6）反三角函数：arcsinyx=，arccosyx=，arctanyx=，cotyarcx=二、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。例如：lncosyx=是由lnyu=，cosux=这两个个简单函数复合而成.例如：3arctanxye=是由arctanyu=，vue=和3vx=这三个简单函数复合而成.该部分是后面求导的关键！三、极限的计算1、利用函数连续性求极限（代入法）：对于一般的极限式（即非未定式），只要将0x代入到函数表达式中，函数值即是极限值，即00lim()()xxfxfx→=。注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关，即limCC=。（2）该方法的使用前提是当0xx→的时候，而x→∞时则不能用此方法。例1：lim44x→−∞=，1lim33x→−−=−，limlg2lg2x→∞=，6limxπππ→=，例2：220310301lim1101xxxx→+−+•−==−++例3：2tan(1)tan(21)limtan1121xxx→−−==−−（非特殊角的三角函数值不用计算出来）2、未定式极限的运算法（1）对于00未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将0x代入后函数值即是极限值。例1：计算239lim3xxx→−−.………00未定式，提取公因式2解：原式=33(3)(3)limlim(3)63xxxxxx→→−+=+=−例2：计算22121lim1xxxx→−+−.………00未定式，提取公因式解：原式=()()()211lim11xxxx→−−+=()()11lim1xxx→−+=002=（2）对于∞∞未定式：分子、分母同时除以未知量的昀高次幂，然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。例1：计算23lim31nnn→∞−+………∞∞未定式，分子分母同时除以n解：原式32202lim13033nnn→∞−−===++………无穷大倒数是无穷小例2：计算232321lim25xxxxx→∞−−−+.………∞∞未定式，分子分母同除以3x解：原式=233321lim152xxxxxx→∞−−−+=002=………无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是23、利用等价无穷小的代换求极限（1）定义：设α和β是同一变化过程中的两个无穷小，如果limβα=1，称β与α是等价无穷小，记作β～α.（2）定理：设α、'α、β、'β均为无穷小，又α～'α，β～'β，且'lim'βα存在则limβα='lim'βα或''limlimαβαβ•=•（3）常用的等价无穷小代换：当0x→时，sinx～x,tanx～x例1：当0x→时，sin2x～2x，tan(3)x−～3x−例2：极限0sin2lim5xxx→=02lim5xxx→=02lim5x→=25………sin2x用2x等价代换例3：极限0tan3limxxx→=03limxxx→=0lim33x→=………tan3x用3x等价代换3Ⅱ、一元函数的微分学一、导数的表示符号（1）函数()fx在点0x处的导数记作：'0()fx，0'xxy=或0xxdydx=（2）函数()fx在区间（a,b）内的导数记作：'()fx，'y或dydx二、求导公式（必须熟记）（1）'()0c=（C为常数）（2）'1()xxααα−=（3）'()xxee=（4）'1(ln)xx=（5）'(sin)cosxx=（6）'(cos)sinxx=−（7）'21(arcsin)1xx=−（8）'21(arctan)1xx=+例：1、()3x’=23x2、()1'212xx−=3、'sin6π⎛⎞⎜⎟⎝⎠=04、'0π=5、()''23212xxx−−⎛⎞==−⎜⎟⎝⎠6、'1x=三、导数的四则运算运算公式（设U，V是关于X的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的U和V即可，代入后用导数公式求解.）（1）'''()uvuv±=±（2）'''()uvuvuv•=+特别地''()CuCu=（C为常数）（3）'''2()uuvuvvv−=例1：已知函数43cos2yxx=+−，求'y.解：'y=()()''4'3cos2xx+−=343sin0xx−−=343sinxx−例2：已知函数2()lnfxxx=，求'()fx和'()fe.4解：'()fx=()()''22lnlnxxxx+=212lnxxxx⋅+⋅=2lnxxx⋅+所以'()fe=2ln23eeeeee⋅+=+=（注意：lne=1,ln1=0）例3：已知函数2()1xfxx=+，求'()fx.解：'()fx=()()()()''2222111xxxxx+−++=()()222121xxxx+−⋅+=()22211xx−+四、复合函数的求导1、方法一：例如求复合函数2sinyx=的导数.（1）首先判断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的.如2sinyx=由sinyu=和2ux=这两个简单函数复合而成（2）用导数公式求出每个简单函数的导数.即dydu=cosu，dudx=2x（3）每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量x替代回去.∴dydydudxdudx=•=2xcosu=2x2cosx2、方法二（直接求导法）：复合函数的导数等于构成该复合函数的简单函数导数的乘积。如果对导数公式熟悉，对复合函数的过程清楚，可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导.例1：设函数cos(3)yx=−，求'y.解：'y=()'(3)coxx−=sin(3)x−−·'(3)x−=sin(3)x−−·(3)−=3sin(3)x−例2：设函数lnxye=，求'y.解：'y=()'lnxe=lnxe·'(ln)x=1xlnxe注意：一个复合函数求几次导，取决于它由几个简单函数复合而成。五、高阶导数1、二阶导数记作：''y，''()fx或22dydx我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数.2、求法：（1）二阶导数就是对一阶导数再求一次导5（2）三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导例1：已知5sinyx=，求''y.解：∵'y=5cosx，∴''y=5sinx−例2：已知2xye=，求0''xy=.解：∵'y=2xe()'2x⋅=22xe，∴''y=2⋅2xe()'2x⋅=42xe即0''xy==4六、微分的求法：（1）求出函数()yfx=的导数'()fx.（2）再乘以dx即可.即'()dyfxdx=.例1：已知2lnyx=，求dy.解：∵'y=()'2lnx=()'221xx⋅=212xx⋅=2x∴dy=2xdx例2：设函数4cosyxx=⋅，求dy.解：∵'y=()()''44coscosxxxx+=344cossinxxxx−∴dy=()344cossinxxxxdx−6Ⅲ、二元函数的微分学一、多元函数的定义：由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多元函数．．．．。其自变量的变化范围称为定义域．．．，通常记作D。例如：二元函数通常记作：(,)zfxy=，(,)xyD∈二、二元函数的偏导数1、偏导数的表示方法：（1）设二元函数(,)zfxy=，则函数z在区域D内对x和对y的偏导数记为：zx∂∂，'(,)xfxy，'xz；zy∂∂，'(,)yfxy，'yz（2）设二元函数(,)zfxy=，则函数z在点()00,xy处对x和对y的偏导数记为：()00,xyzx∂∂，()'00,xfxy，()00',xxyz；()00,xyzy∂∂，()'00,yfxy，()00',yxyz；2、偏导数的求法（1）对x求偏导时，只要将y看成是常量，将x看成是变量，直接对x求导即可.（2）对y求偏导时，只要将x看成是常量，将y看成是变量，直接对y求导即可.如果要求函数在点()00,xy处的偏导数，只要求出上述偏导函数后将0x和0y代入即可.例1：已知函数322zxyyx=−，求zx∂∂和zy∂∂.解：zx∂∂=2232xyy−，zy∂∂=34xxy−例2：已知函数2sin2zxy=，求zx∂∂和zy∂∂.解：zx∂∂=2sin2xy，zy∂∂=22cos2xy三、全微分1、全微分公式：函数(,)zfxy=在点(,)xy处全微分公式为：zzdzdxdyxy∂∂=+∂∂2、全微分求法：（1）、先求出两个一阶偏导数zx∂∂和zy∂∂.（2）、然后代入上述公式即可.7例1：设函数2sin()31zxyxy=⋅++−，求dz.解：∵zx∂∂=cos()6yxyx⋅+，zy∂∂=cos()1xxy⋅+∴[][]cos()6cos()1zzdzdxdyyxyxdxxxydyxy∂∂=+=⋅++⋅+∂∂例2：设函数2xyze+=，求dz.解：∵zx∂∂=22xye+，zy∂∂=2xye+∴222xyxyzzdzdxdyedxedyxy++∂∂=+=+∂∂四、二阶偏导的表示方法和求法：（1）()zxx∂∂∂∂=22zx∂∂=''(,)xxfxy=''xxz……两次都对x求偏导（2）()zyx∂∂∂∂=2zxy∂∂∂=''(,)xyfxy=''xyz……先对x求偏导，再对y求偏导（3）()zxy∂∂∂∂=2zyx∂∂∂==''(,)yxfxy=''yxz……先对y求偏导，再对x求偏导（4）()zyy∂∂∂∂=22zy∂∂=''(,)yyfxy=''yyz……两次都对y求偏导可见二元函数的二阶偏导共四种．．．，它们都是,xy的函数。在求二阶偏导的时候一定要注意对变量的求导次序．．．．（写在符号前面的变量先求偏导）.例1：设函数32331zxyxyxy=−−+，求22zx∂∂，2zxy∂∂∂，2zyx∂∂∂和22zy∂∂.解：∵zx∂∂=22333xyyy−−，zy∂∂=3229xyxyx−−得22zx∂∂=26xy，2zxy∂∂∂=22691xyy−−，2zyx∂∂∂=22691xyy−−，22zy∂∂=3218xxy−例2：设函数coszyx=，求22zx∂∂，2zxy∂∂∂.解：∵zx∂∂=sinyx−得22zx∂∂=cosyx−，2zxy∂∂∂=sinx−8Ⅳ、一元函数的积分学一、原函数的定义：设()Fx是区间I上的一个可导函数，对于区间I上的任意一点x，都有'()()Fxfx=，则称()Fx是()fx在区间I上的一个原函数.例1：'(sin)cosxx=，因此sinx是cosx的一个原函数，cosx是sinx的导数.由于'(sin)cosxcx+=，可见只要函数有一个原函数，那么他的原函数就有无穷多个.例2：设()fx的一个原函数为1x，求'()fx.解：因为1x是()fx的一个原函数，即()Fx=1x，所以()fx='()Fx='1x⎛⎞⎜⎟⎝⎠=21x−.得'()fx='21x⎛⎞−⎜⎟⎝⎠=32x（注：11xx−=）二、不定积分（一）、定义：我们把()fx的所有原函数称为()fx在区间I上的不定积分，记作：()()fxdxFxC=+∫（其中'()()Fxfx=）注意：不定积分是原函数的的全体，因此计算结果常数．．C．勿忘．．！（二）、不定积分的性质〈1〉[]()()()()fxgxdxfxdxgxdx±=±∫∫∫〈2〉()()kfxdxkfxdx=∫∫（其中k为常数）（三）、基本积分公式（和导数公式一样，必须熟记）〈1〉0dxC=∫〈2〉kdxkxC=+∫（k为常数）〈3〉11xxdxCααα+=++∫(1)α≠−〈4〉1lndxxCx=+∫〈5〉xxedxeC=+∫〈6〉cossinxdxxC=+∫〈7〉sincosxdxxC=−+∫〈8〉2arcsin1dxxCx=+−∫〈9〉2arctan1dxxCx=++∫例1：33dxxC−=−+∫2sin-2cosxdxxC=+∫9434xxdxC=+∫211dxCxx=