22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》练习题(含答案)

22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质01基础题知识点1二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质1．(山西农业大学附中月考)若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝(x－2)2＋k，则b，k的值分别为(D)A．0，4B．0，1C．－4，5D．－4，12．(南充中考)抛物线y＝x2＋4x＋3的对称轴是(C)A．直线x＝1B．直线x＝－1C．直线x＝－2D．直线x＝23．(怀化中考)二次函数y＝3x2＋6x－1的开口方向、顶点坐标分别是(A)A．开口向上，顶点坐标为(－1，－4)B．开口向下，顶点坐标为(1，4)C．开口向上，顶点坐标为(1，4)D．开口向下，顶点坐标为(－1，－4)4．(阳泉市平定县月考)抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在(A)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．(天水中考)二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是(D)A．－3B．－1C．2D．36．(吕梁市孝义县期末)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的x、y的部分对应值如下表：x－10123y51－1－11则该二次函数图象的对称轴为(D)A．y轴B．直线x＝52C．直线x＝2D．直线x＝327．点P1(1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(C)A．y3y2y1B．y3y1y2C．y1y2y3D．y1＝y2y38．(广东中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是(D)A．函数有最小值B．对称轴是直线x＝12C．当x12，y随x的增大而减小D．当－1x2时，y09．(南通中考)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点是(－4，0)，(2，0)，则这条抛物线的对称轴是直线x＝－1．10．(阳泉市平定县月考)已知抛物线y＝x2－3x－4.先确定该抛物线的开口方向、对称轴和顶点，再在下面网格中画出抛物线．解：y＝x2－3x－4＝(x－32)2－254.∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝32，顶点坐标为(32，－254)．画图如图所示．知识点2二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象变换11．(山西中考)将抛物线y＝x2－4x－4先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到抛物线的表达式为(D)A．y＝(x＋1)2－13B．y＝(x－5)2－3C．y＝(x－5)2－13D．y＝(x＋1)2－312．(上海中考)如果将抛物线y＝x2＋2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的解析式是y＝x2＋2x＋3．02中档题13．(牡丹江中考)若抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点(－2，3)，则2c－4b－9的值是(A)A．5B．－1C．4D．1814．(山西农业大学附中月考)若二次函数y＝(m＋1)x2－mx＋m2－2m－3的图象经过原点，则m的值为(C)A．－1或3B．－1C．3D．－3或115．(山西中考)抛物线y＝－2x2－4x－5经过平移得到y＝－2x2，平移方法是(D)A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位16．(眉山中考)若一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2－ax(B)A．有最大值a4B．有最大值－a4C．有最小值a4D．有最小值－a417．(阳泉市盂县期中)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表：x…－3－2－101…y…－60466…给出下列说法：①抛物线与y轴的交点为(0，6)；②抛物线的对称轴在y轴的左侧；③抛物线一定经过点(3，0)；④在对称轴左侧y随x的增大而增大．从表中可知，其中正确的个数为(B)A．4B．3C．2D．118．(辽阳中考)如图，抛物线y＝x2－2x－3与y轴交于点C，点D的坐标为(0，－1)，在第四象限抛物线上有一点P.若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为(A)A．1＋2B．1－2C.2－1D．1－2或1＋2提示：令x＝0，则y＝－3，∴点C的坐标为(0，－3)．∵点D的坐标为(0，－1)，∴线段CD中点的纵坐标为12×(－1－3)＝－2.∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形，∴点P的纵坐标为－2.∴x2－2x－3＝－2，解得x1＝1－2，x2＝1＋2，∵点P在第四象限，∴点P的横坐标为1＋2.故选A.19．如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4a与x轴相交于点A、B，且过点C(5，4)．(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．解：(1)把点C(5，4)代入抛物线y＝ax2－5ax＋4a，得25a－25a＋4a＝4，解得a＝1.∴该二次函数的解析式为y＝x2－5x＋4.∵y＝x2－5x＋4＝(x－52)2－94，∴顶点P的坐标为(52，－94)．(2)答案不唯一，如：先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的二次函数解析式为y＝(x－52＋3)2－94＋4＝(x＋12)2＋74，即y＝x2＋x＋2.03综合题20．设二次函数y1，y2的图象的顶点坐标分别为(a，b)，(c，d)．若a＝－2c，b＝－2d，且开口方向相同，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．(1)请写出二次函数y＝x2－x＋1的一个“反倍顶二次函数”；(2)已知关于x的二次函数y1＝x2＋nx和二次函数y2＝2x2－nx＋1.若函数y1恰是y2的“反倍顶二次函数”，求n的值．解：(1)∵y2＝x2－x＋1＝(x－12)2＋34，顶点坐标为(12，34)，∴y1的顶点坐标为(－1，－32)．又∵开口方向相同，∴二次函数y＝x2－x＋1的一个“反倍顶二次函数”可以是y1＝(x＋1)2－32.(2)∵y1＝x2＋nx＝(x＋n2)2－n24，y2＝2x2－nx＋1＝2(x－n4)2－n2－88，由题意，得－n24＝(－2)×(－n2－88)，解得n＝±2.第2课时用待定系数法求二次函数的解析式01基础题知识点1利用“三点式”求二次函数解析式1．已知二次函数y＝x2＋bx＋1的图象经过点(1，3)，则该二次函数的解析式为y＝x2＋x＋1．2．(河南中考)已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是(1，4)．3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式．解：由题意，得a＋b＋c＝0，a－b＋c＝6，c＝1，解得a＝2，b＝－3，c＝1.∴这个二次函数的解析式为y＝2x2－3x＋1.4．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，∴1－b＋c＝0，9＋3b＋c＝0.解得b＝－2，c＝－3.∴该抛物线的解析式是y＝x2－2x－3.(2)∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－4)．知识点2利用“顶点式”求二次函数解析式5．(上海中考)已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是y＝2x2－1(答案不唯一)．(只需写一个)6．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：x－7－6－5－4－3－2y－27－13－3353则此二次函数的解析式为y＝－2x2－12x－13.7．已知抛物线的顶点坐标是(3，－1)，与y轴的交点是(0，－4)，求这个二次函数的解析式．解：∵抛物线的顶点坐标是(3，－1)，∴设二次函数解析式为y＝a(x－3)2－1.又∵图象过点(0，－4)，∴－4＝a(0－3)2－1，解得a＝－13.∴这个二次函数的解析式为y＝－13(x－3)2－1.知识点3利用“交点式”求二次函数解析式8．(教材P57习题T6变式)如图所示，抛物线的函数解析式是(D)A．y＝12x2－x＋4B．y＝－12x2－x＋4C．y＝12x2＋x＋4D．y＝－12x2＋x＋49．(教材P40练习T2变式)(百色中考)经过A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三点的抛物线的解析式是y＝－38(x－4)(x＋2)(或写成y＝－38x2＋34x＋3)．10．已知抛物线与x轴交于点A(－3，0)，对称轴是直线x＝－1，且过点(2，4)，求抛物线的解析式．解：∵抛物线与x轴交于点A(－3，0)，对称轴是直线x＝－1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(1，0)．设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)，将点(2，4)代入，得4＝a(2＋3)(2－1)，解得a＝45.∴抛物线的解析式为y＝45(x＋3)(x－1)，即y＝45x2＋85x－125.02中档题11．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是(D)A．y＝x2－x－2B．y＝－12x2－12x＋2C．y＝－12x2－12x＋1D．y＝－x2＋x＋212．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c的值分别是(D)A．b＝2，c＝4B．b＝2，c＝－4C．b＝－2，c＝4D．b＝－2，c＝－413．二次函数的图象如图所示，则其解析式为y＝－x2＋2x＋3．14．(杭州中考)设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为y＝18x2－14x＋2或y＝－18x2＋34x＋2．15．(宁波中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的解析式．解：(1)设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－3)．∵抛物线过点C(0，－3)，∴－3＝a(－1)×(－3)．解得a＝－1.∴y＝－(x－1)(x－3)＝－x2＋4x－3.∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴顶点坐标为(2，1)．(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)落在直线y＝－x上．16．(牡丹江中考)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，对称轴是直线x＝－3，B(－1，0)，F(0，1)，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)直接写出抛物线顶点E的坐标，并判断AC与EF的位置关系，不需要说明理由．解：(1)∵B(－1，0)，抛物线的对称轴是直线x＝－3，∴A(－5，0)．根据题意，得－25－5b＋c＝0，－1－b＋c＝0.解得b＝－6，c＝－5.∴抛物线的解析式为y＝－x2－6x－5.(2)E(－3，4)，AC∥EF.03综合题17．(凉山中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数解析式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标．解：(1)由题意，得y＝ax2＋bx－3.将A(－1，0)、B(3，0)代入y＝ax2＋bx＋c，得a－b－3＝0，9a＋3b－3＝0，解得a＝1，b＝－2.∴抛物线的函数解析式为y＝x2－2x－3.(2)当P点在x轴上，P，A，B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短，此时直